第01講 一元二次方程（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）

第01講一元二次方程掌握一元二次方程有關(guān)概念；會把一元二次方程化成一般形式并確定各項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)；會用整體思想求解知識點(diǎn)1：一元二次方程的概念等號兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：（1）是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式方程，即等號兩邊都是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式。方程中如果有\(zhòng)t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分母，且未知數(shù)在分母上，那么這個(gè)方程就是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根號，且未知數(shù)在根號內(nèi)，那么這個(gè)方程也不是一元二次方程（是無理方程）（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2。知識點(diǎn)2：一元二次方程的一般形式一元二次方程經(jīng)過整理都可化成一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫作二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫作一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c叫作常數(shù)項(xiàng)。注意：（1）ax2+bx+c=0中的a≠0．因當(dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程（2）在求各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)不要漏掉前面的性質(zhì)符號。知識點(diǎn)3：一元二次方程的解能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進(jìn)行求解.知識點(diǎn)4：一元二次方程的重要結(jié)論：（1）若a+b+c=0,則一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為x=1;若x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個(gè)根，則a+b+c=0。（2）若a-b+c=0,則一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為x=-1;若x=11是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個(gè)根，則a-b+c=0。【題型1一元二次方程的概念】【典例1】（2023春?海曙區(qū)校級期中）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0【答案】D【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，選項(xiàng)A不符合題意；B．方程x2+3＝是分式方程，選項(xiàng)B不符合題意；C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，選項(xiàng)C不符合題意；D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【變式1-1】（2023春?鹿城區(qū)校級期中）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x2﹣y+2＝0 B．x2+2x﹣5＝0 C． D．x﹣y＝2【答案】B【解答】解：A．方程x2﹣y+2＝0是二元二次方程，選項(xiàng)A不符合題意；B．方程x2+2x﹣5＝0是一元二次方程，選項(xiàng)B符合題意；C．方程是分式方程，選項(xiàng)C不符合題意；D．x﹣y＝2是二元一次方程，選項(xiàng)D不符合題意．故選：B．【變式1-2】（2023春?洞頭區(qū)期中）在下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x2＝2+3x B．2（x﹣1）+x＝2 C． D．x2﹣xy+4＝0【答案】A【解答】解：A、由原方程，得x2﹣3x﹣2＝0，符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；B、由原方程，得3x﹣4＝0，未知數(shù)x的最高次數(shù)是1；故本選項(xiàng)不符合題意；C、該方程是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、未知數(shù)x的最高次數(shù)是2，含兩個(gè)未知數(shù)；故本選項(xiàng)錯(cuò)不符合題意；故選：A．【變式1-3】（2023春?龍灣區(qū)期中）下列方程是一元二次方程的是（）A． B．x2+xy﹣5＝0 C．x2+2x＝3 D．x+3（x﹣1）＝5x【答案】C【解答】解：A．方程x2+＝3為分式方程，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．方程x2+xy﹣5＝0為二元二次方程，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．方程x2+2x＝3為一元二次方程，所以C選項(xiàng)符合題意；D．方程x+3（x﹣1）＝5x為一元一次方程，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【題型2一元二次方程定義-求含參數(shù)取值范圍】【典例2】（2023?桐柏縣一模）關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，則m的值是（）A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1【答案】C【解答】解：∵關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，∴|m|+1＝2且m+1≠0，解得m＝1．故選：C．【變式2-1】（2023春?西湖區(qū)校級期中）若是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2【答案】D【解答】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程，∴m2﹣2＝2，∴m＝2或m＝﹣2，故選：D．【變式2-2】（2023?龍川縣校級開學(xué)）若（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A．m≠2 B．m≠﹣2 C．m≠﹣2，或m≠2 D．m≠﹣2，且m≠2【答案】D【解答】解：∵（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴m2﹣4≠0，解得：m≠﹣2且m≠2，故選：D．【變式2-3】（2022秋?渭濱區(qū)期末）已知x|m|+x＝1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是（）A．2 B．2或﹣2 C．0 D．﹣2【答案】B【解答】解：∵x|m|+x＝1是關(guān)于x的一元二次方程，∴|m|＝2，∴m＝±2．故選：B．【題型3一元二次方程的一般形式】【典例3】（2023?魚峰區(qū)模擬）將方程3x2＝5x﹣1化為一元二次方程一般式后得（）A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0【答案】C【解答】解：將方程3x2＝5x﹣1化成一元二次方程的一般形式得3x2﹣5x+1＝0．故選：C．【變式3-1】（2022秋?天元區(qū)校級期末）將方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正確的是（）A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0【答案】B【解答】解：（x﹣1）2＝6，x2﹣2x+1﹣6＝0，x2﹣2x﹣5＝0，即將方程（x﹣1）2＝6化成一般形式為x2﹣2x﹣5＝0，故選：B．【變式3-2】（2022秋?禹州市期中）將一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式，正確的是（）A．2x2﹣7x﹣8＝0 B．2x2﹣5x﹣8＝0 C．2x2﹣7x+2＝0 D．2x2﹣5x+2＝0【答案】B【解答】解：將一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式得2x2﹣5x+8＝0．故選：B．【變式3-3】（2022秋?新會區(qū)期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，則a、b、c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝6【答案】D【解答】解：去括號得，x2+x＝3x﹣6，移項(xiàng)得，x2﹣2x+6＝0，所以a、b、c的值可以分別是1，﹣2，6．故選：D．【典例4】（2023春?甌海區(qū)月考）將方程2x2﹣1＝3x化為一元二次方程的一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為（）A．2，1，3 B．2，﹣1，3 C．2，﹣3，﹣1 D．2，﹣3，1【答案】C【解答】解：由方程2x2﹣1＝3x可得：2x2﹣3x﹣1＝0，則有a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1；故選：C．【變式4-1】（2023春?定遠(yuǎn)縣期中）方程2x2＝8x+2化為一般式后的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．2x2，8x，2 B．﹣2x2，﹣8x，﹣2 C．2x2，﹣8x，﹣2 D．2x2，﹣8x，2【答案】C【解答】解：方程整理得：2x2﹣8x﹣2＝0，則二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)分別為2x2，﹣8x，﹣2．故選：C．【變式4-2】（2023春?拱墅區(qū)校級期中）方程3x2﹣2x﹣6＝0，一次項(xiàng)系數(shù)為（）A．﹣2 B．﹣2x C．﹣6 D．6【答案】A【解答】解：方程3x2﹣2x﹣6＝0，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣2．故選：A．【變式4-3】（2022秋?簡陽市期末）把一元二次方程x2﹣9＝8x化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)的一半為（）A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4【答案】D【解答】解：一元二次方程x2﹣9＝8x的一般形式x2﹣8x﹣9＝0，其一次項(xiàng)系數(shù)﹣8，所以一次項(xiàng)系數(shù)的一半為﹣4．故選：D．【變式4-4】（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）將方程4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c，的值分別為（）A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25【答案】C【解答】解：方程整理得：4x2+8x﹣25＝0，則a＝4，b＝8，c＝﹣25．故選：C．【題型4一元二次方程的解】【典例5】（2023?蚌埠二模）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一個(gè)解，則a的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【答案】B【解答】解：∵x＝1是方程的解，∴1+1+2a＝0，∴a＝﹣1．故選：B．【變式5-1】（2023春?龍鳳區(qū)期中）若關(guān)于x的方程x2﹣kx+3＝0有一個(gè)根為﹣1，則k的值為（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【答案】A【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣kx+3＝0有一個(gè)根為﹣1，∴（﹣1）2﹣k×（﹣1）+3＝0，解得k＝﹣4，故選：A．【變式5-2】（2023?阜陽三模）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一個(gè)根為0，則m的值為（）A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣3或3【答案】C【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一個(gè)根為0，∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3．故選：C．【變式5-3】（2023春?淮北月考）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+x﹣m2+1＝0的一個(gè)根為﹣1，則m的值為（）A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或1【答案】B【解答】解：把x＝﹣1代入方程，得m﹣1﹣m2+1＝0，解得：m＝0或m＝1，當(dāng)m＝0時(shí)，此方程不是關(guān)于x的一元二次方程，故m＝1．故選：B．【典例6】（2023春?樂清市期中）已知t為一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一個(gè)解，則2t2﹣2022t值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4【答案】C【解答】解：∵t為一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一個(gè)解，∴t2﹣1011t+3＝0，∴t2﹣1011t＝﹣3，∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣3）＝﹣6．故選：C．【變式6-1】（2023?青山區(qū)模擬）若m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2m2﹣2m的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4【答案】D【解答】解：由題意得：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中得：m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2，∴2m2﹣2m＝4，故選：D．【變式6-2】（2023春?淮北月考）若x＝﹣2是關(guān)于x的方程x2+ax+2b＝0的一個(gè)根，則a﹣b的值為（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【答案】A【解答】解：∵x＝﹣2是關(guān)于x的方程x2+ax+2b＝0的一個(gè)根，∴4﹣2a+2b＝0，∴2a﹣2b＝4，∴a﹣b＝2．故選：A．【變式6-3】（2023?襄州區(qū)開學(xué)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一個(gè)根是x＝﹣1，則2018﹣a+b的值是（）A．2013 B．2016 C．2023 D．2021【答案】C【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，所以a﹣b＝﹣5，所以2018﹣a+b＝2018﹣（a﹣b）＝2018﹣（﹣5）＝2023．故選：C．1．（2021?聊城）關(guān)于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一個(gè)解是﹣2，則k值為（）A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2【答案】B【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4﹣8k+2k2＝4，整理得k2﹣4k＝0，解得k1＝0，k2＝4，即k的值為0或4．故選：B．2．（2021?黔東南州）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一個(gè)根是2，則a的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一個(gè)根是2，∴22﹣2a+6＝0，解得a＝5．故選：D．3．（2021?黑龍江）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化為一般形式后不含一次項(xiàng)，則m的值為（）A．0 B．±3 C．3 D．﹣3【答案】D【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，由題意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3，故選：D．4．（2022?遂寧）已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值為（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044【答案】B【解答】解：∵m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，∴m2+3m﹣2022＝0，∴m2+3m＝2022，∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022＝2022m﹣2022﹣2022m+2022＝0．故選：B．5．（2021?深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一個(gè)根是1，則m的值為2．【答案】2．【解答】解：把x＝1代入x2+mx﹣3＝0得12+m﹣3＝0，解得m＝2．故答案是：2．6．（2022?連云港）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個(gè)根是x＝1，則m+n的值是1．【答案】1．【解答】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，解得m+n＝1．故答案為：1．7．（2022?廣東）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，則a＝1．【答案】1．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，得1﹣2+a＝0，解得a＝1．故答案為：1．8．（2022?衢州）將一個(gè)容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示．利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：15x（10﹣x）＝360（不必化簡）．【答案】15x（10﹣x）＝360．【解答】解：由題意可得：長方體的高為：15cm，寬為：（20﹣2x）÷2（cm），則根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為：15x（10﹣x）＝360．故答案為：15x（10﹣x）＝360．9．（2022?資陽）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，則2a2+4a的值是6．【答案】6．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，∴a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，故答案為：6．10．（2021?廣東）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，則符合條件的一個(gè)方程為x2﹣2＝0（答案不唯一）．【答案】x2﹣2＝0（答案不唯一）．【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，∴滿足條件的方程可以為：x2﹣2＝0（答案不唯一），故答案為：x2﹣2＝0（答案不唯一）．1．（2022秋?銅梁區(qū)校級期末）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．xy+x＝1 B．2x+6＝0 C． D．3x2+2x+6＝0【答案】D【解答】解：A、xy+x＝1，含有兩個(gè)未知數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、2x+6＝0，是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、3x2+2x+6＝0是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．（2022秋?南充期末）關(guān)于x的一元二次方程為（m﹣2）x2﹣x+3＝0，則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．m≠2【答案】D【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程為（m﹣2）x2﹣x+3＝0，∴m﹣2≠0．∴m≠2．故選：D．3．（2022秋?平昌縣校級期末）若方程（m﹣2）x|m|﹣2x＝3是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．不存在【答案】B【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣2x＝3是關(guān)于x的一元二次方程，∴|m|＝2，且m﹣2≠0．解得m＝﹣2．故選：B．4．（2022秋?天元區(qū)校級期末）將方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正確的是（）A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0【答案】B【解答】解：（x﹣1）2＝6，x2﹣2x+1﹣6＝0，x2﹣2x﹣5＝0，即將方程（x﹣1）2＝6化成一般形式為x2﹣2x﹣5＝0，故選：B．5.（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為（）A．1，4，7 B．1，﹣4，﹣7 C．1，4，﹣7 D．4，1，7【答案】B【解答】解：x2﹣4x﹣7＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為1，﹣4，﹣7，故選：B．6．（2022秋?寬城區(qū)校級期末）關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值為（）A．1 B．2 C．0或2 D．0【答案】B【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，∴，解得：m＝2，∴m的值為2．故選：B．7．（2022秋?臨朐縣期末）一元二次方程3x2﹣x＝1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．3，1，1 B．3，﹣1，﹣1 C．3，﹣1，0 D．3，1，0【答案】B【解答】解：3x2﹣x＝1，3x2﹣x﹣1＝0，所以二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是3，﹣1，﹣1，故選：B．8．（2022秋?江陽區(qū)期末）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有一個(gè)根為﹣3，則m的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【答案】B【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣m＝0有一個(gè)根為﹣3，∴32+2×（﹣3）﹣m＝0，解得m＝3．故選：B．9．（2022秋?宜陽縣期末）關(guān)于x的方程mx2﹣3x＝2x2+x﹣1是一元二次方程，則m應(yīng)滿足的條件是（）A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m≠2 D．m＝2【答案】C【解答】解：由原方程得：（m﹣2）x2﹣4x+1＝0，∵該方程是一元二次方程，∴m﹣2≠0，解得m≠2，故選：C．10．（2022秋?雷州市期末）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一個(gè)根是m，則代數(shù)式3m2﹣6m+2017的值為（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的一個(gè)根是m，∴m2﹣2m﹣2＝0，即m2﹣2m＝2，∴3m2﹣6m+2017＝3（m2﹣2m）+2017＝6+2017＝2023，故選：B．11．（2023?河?xùn)|區(qū)校級