高考數學一輪復習 第八章 平面解析幾何 8.3 圓的方程課時提升作業(yè) 理試題

圓的方程(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圓的充要條件的是()A.QUOTE<m<1 B.m<QUOTE或m>1C.m<QUOTE D.m>1【解析】選B.由(4m)2+4-4×5m>0,得m<QUOTE或m>1.2.當a為任意實數時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C,則以C為圓心,QUOTE為半徑的圓的方程為()A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0【解析】選C.由(a-1)x-y+a+1=0得a(x+1)-(x+y-1)=0,所以直線恒過定點(-1,2).所以圓的方程為(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.3.方程|x|-1=QUOTE所表示的曲線是()A.一個圓 B.兩個圓C.半個圓 D.兩個半圓【解析】選D.由題意得QUOTE即QUOTE或QUOTE故原方程表示兩個半圓.4.(2016·運城模擬)若圓x2+y2-2ax+3by=0的圓心位于第三象限,那么直線x+ay+b=0一定不經過()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.圓x2+y2-2ax+3by=0的圓心為QUOTE,則a<0,b>0.直線y=-QUOTEx-QUOTE,k=-QUOTE>0,-QUOTE>0,直線不經過第四象限.5.若曲線C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的點均在第二象限內,則a的取值范圍為()A.(-∞,-2) B.(-∞,-1)C.(1,+∞) D.(2,+∞)【解題提示】圓上的所有點都在第二象限,因此圓心必在第二象限,且圓心到兩坐標軸的距離大于半徑.【解析】選D.曲線C的方程可化為(x+a)2+(y-2a)2=4,其為圓心為(-a,2a),半徑為2的圓,要使圓C的所有的點均在第二象限內,則圓心(-a,2a)必須在第二象限,從而有a>0,并且圓心到兩坐標軸的最小距離應大于圓C的半徑,易知圓心到坐標軸的最小距離為|a|,則有|a|>2,得a>2.6.(2016·忻州模擬)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓有最大的面積,則取最大面積時,該圓的圓心的坐標為()A.(-1,1) B.(-1,0)C.(1,-1) D.(0,-1)【解析】選D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圓的半徑r=QUOTE=QUOTE,當k=0時,rmax=QUOTE=1,此時圓的方程為x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圓心為(0,-1).二、填空題(每小題5分,共20分)7.(2016·太原模擬)在平面直角坐標系xOy中已知圓C:x2+(y-1)2=5,A為圓C與x軸負半軸的交點,過點A作圓C的弦AB,記線段AB的中點為M.若OA=OM,則直線AB的斜率為.【解析】C(0,1),所以A(-2,0),連接CM,顯然CM⊥AB,因此,四點C,M,A,O共圓,且AC就是該圓的直徑,2R=AC=QUOTE,在三角形OCM中,利用正弦定理得2R=QUOTE,根據題意,OA=OM=2,所以,QUOTE=QUOTE,所以sin∠OCM=QUOTE,tan∠OCM=-2(∠OCM為鈍角),而∠OCM與∠OAM互補,所以tan∠OAM=2,即直線AB的斜率為2.答案:28.(2016·新鄉(xiāng)模擬)已知在Rt△ABC中,A(0,0),B(6,0),則直角頂點C的軌跡方程為.【解析】依題意,頂點C的軌跡是以AB為直徑的圓,且去掉端點A,B,圓心坐標為(3,0),半徑為3,故直角頂點C的軌跡方程為(x-3)2+y2=9(y≠0).答案:(x-3)2+y2=9(y≠0)【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決:設頂點C的坐標為(x,y),由于AC⊥BC,故kAC·kBC=-1,所以QUOTE·QUOTE=-1,所以x2+y2-6x=0,即直角頂點C的軌跡方程為(x-3)2+y2=9(y≠0).答案:(x-3)2+y2=9(y≠0)9.當方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓的面積取最大值時,直線y=(k-1)x+2的傾斜角α=.【解析】由題意知,圓的半徑r=QUOTE=QUOTE≤1,當半徑r取最大值時,圓的面積最大,此時k=0,r=1,所以直線方程為y=-x+2,則有tanα=-1,又α∈[0,π),故α=QUOTE.答案:QUOTE10.定義:曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離,則實數a=.【解題提示】先求出圓C2上的點到直線y=x的最小值,從而得出曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離,再利用平行線的距離即可求出a的值.【解析】x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離為QUOTE-QUOTE=QUOTE,所以y=x2+a到直線l:y=x的距離為QUOTE,而與y=x平行且距離為QUOTE的直線有兩條,分別是y=x+2與y=x-2,而拋物線y=x2+a與y=x+2相切,可求得a=QUOTE.答案:QUOTE(20分鐘40分)1.(5分)設兩圓C1,C2都和兩坐標軸相切,且都過點(4,1),則兩圓圓心的距離|C1C2|=()A.4 B.4QUOTE C.8 D.8QUOTE【解題提示】由已知可知兩圓均在第一象限,且圓心的橫、縱坐標相等,再由已知條件得出關于圓心的方程,進而求出兩圓心的距離.【解析】選C.因為兩圓與兩坐標軸都相切,且都經過點(4,1),所以兩圓圓心均在第一象限且橫、縱坐標相等.設兩圓的圓心分別為(a,a),(b,b),則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b為方程(4-x)2+(1-x)2=x2的兩個根,整理得x2-10x+17=0,所以a+b=10,ab=17.所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,所以|C1C2|=QUOTE=QUOTE=8.2.(5分)(2016·邯鄲模擬)若△PAB是圓C:(x-2)2+(y-2)2=4的內接三角形,且PA=PB,∠APB=120°,則線段AB的中點的軌跡方程為()A.(x-2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y-2)2=2C.(x-2)2+(y-2)2=3D.x2+y2=1【解析】選A.設線段AB的中點為D,則由題意,PA=PB,∠APB=120°,所以∠ACB=120°,因為CB=2,所以CD=1,所以線段AB的中點的軌跡是以C為圓心,1為半徑的圓,所以線段AB的中點的軌跡方程是:(x-2)2+(y-2)2=1.3.(5分)已知直線QUOTEax+by=1(a,b是實數)與圓O:x2+y2=1(O是坐標原點)相交于A,B兩點,且△AOB是直角三角形,點P(a,b)是以點M(0,1)為圓心的圓M上的任意一點,則圓M的面積的最小值為.【解析】因為直線與圓O相交所得△AOB是直角三角形,可知∠AOB=90°,所以圓心O到直線的距離為QUOTE=QUOTE,所以a2=1-QUOTEb2≥0,即-QUOTE≤b≤QUOTE.設圓M的半徑為r,則r=|PM|=QUOTE=QUOTE=QUOTE(2-b),又-QUOTE≤b≤QUOTE,所以QUOTE+1≥|PM|≥QUOTE-1,所以圓M的面積的最小值為(3-2QUOTE)π.答案:(3-2QUOTE)π【加固訓練】已知AC,BD為圓O:x2+y2=4的兩條相互垂直的弦,垂足為M(1,QUOTE),則四邊形ABCD的面積的最大值為.【解析】如圖,取AC的中點F,BD的中點E,則OE⊥BD,OF⊥AC.又AC⊥BD,所以四邊形OEMF為矩形,設|OF|=d1,|OE|=d2,所以QUOTE+QUOTE=|OM|2=3.又|AC|=2QUOTE,|BD|=2QUOTE,所以S四邊形ABCD=QUOTE|AC|·|BD|=2QUOTE·QUOTE=2QUOTE=2QUOTE=2QUOTE.因為0≤QUOTE≤3.所以當QUOTE=QUOTE時,S四邊形ABCD有最大值是5.答案:54.(12分)(2016·許昌模擬)在平面直角坐標系xOy中,已知圓心在第二象限,半徑為2QUOTE的圓C與直線y=x相切于坐標原點O.(1)求圓C的方程.(2)試探求C上是否存在異于原點的點Q,使Q到定點F(4,0)的距離等于線段OF的長?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】(1)設圓C的圓心為C(a,b),則圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=8.因為直線y=x與圓C相切于原點O,所以O點在圓C上,且OC垂直于直線y=x,于是有QUOTE?QUOTE或QUOTE由于點C(a,b)在第二象限,故a<0,b>0,所以圓C的方程為(x+2)2+(y-2)2=8.(2)假設存在點Q符合要求,設Q(x,y),則有QUOTE解之得x=QUOTE或x=0(舍去),y=QUOTE.所以存在點QQUOTE,使Q到定點F(4,0)的距離等于線段OF的長.5.(13分)(2016·朔州模擬)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-3,4),B(9,0),C,D分別為線段OA,OB上的動點,且滿足AC=BD.(1)若AC=4,求直線CD的方程.(2)證明:△OCD的外接圓恒過定點.【解析】(1)若AC=4,則BD=4,因為B(9,0),所以D(5,0).因為A(-3,4),所以|OA|=QUOTE=5,則|OC|=1,直線OA的方程為y=-QUOTEx,設C(3a,-4a),-1<a<0,則|OC|=QUOTE=QUOTE=5|a|=-5a=1,解得a=-QUOTE,則CQUOTE,則CD的方程為QUOTE=QUOTE,整理得x+7y-5=0,即直線CD的方程為x+7y-5=0.(2)設C(3a,-4a),-1<a<0,則|AC|=QUOTE=QUOTE=5|