獨立性檢驗的基本思想及其應(yīng)用教學(xué)設(shè)計

“3．2獨立性檢驗的基本思想及其應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計課例 1教材版本新課標(biāo)教材人教A版《數(shù)學(xué)2-3》(選修)第三章統(tǒng)計案例第二節(jié)獨立性檢驗的基本思想及其應(yīng)用2目標(biāo)確立（1）教材分析《獨立性檢驗》為新課標(biāo)教材中新增加的內(nèi)容.雖然本節(jié)是新增內(nèi)容，理論比較復(fù)雜，教學(xué)時間也不長(1-2課時)，但由于它貼近實際生活，在整個高中數(shù)學(xué)中，地位不可小視.在近幾年各省新課標(biāo)高考試題中，本節(jié)內(nèi)容屢屢出現(xiàn)，其重要性可見一斑.該內(nèi)容是前面學(xué)生在《數(shù)學(xué)3》(必修)中的統(tǒng)計知識的進一步應(yīng)用，并與本冊課本前面提到的事件的獨立性一節(jié)關(guān)系緊密，此外還涉及到與《數(shù)學(xué)2-2》(選修)中講到的“反證法”類似的思想.獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用2×2列聯(lián)表臨界值問題背景分析統(tǒng)計量允許犯錯誤的概率的上界分類變量在“犯錯誤概率不超過”前提下，兩分類變量有/無關(guān)觀測值等高條形圖分類變量間的關(guān)系獨立性檢驗本小節(jié)的知識內(nèi)容如右圖?！蔼毩⑿詸z驗”是在考察兩個分類變量之間是否具有相關(guān)性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分類變量的概念，并給出了考察兩個分類變量之間是否相關(guān)的一種簡單的思路，即借助等高條形圖的方法，隨后引出相對更精確地解決辦法——獨立性檢驗。獨立性檢驗的思想，建立在統(tǒng)計思想、假設(shè)檢驗思想(小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生)等基礎(chǔ)之上，通常按照如下步驟對數(shù)據(jù)進行處理：明確問題→獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用2×2列聯(lián)表臨界值問題背景分析統(tǒng)計量允許犯錯誤的概率的上界分類變量在“犯錯誤概率不超過”前提下，兩分類變量有/無關(guān)觀測值等高條形圖分類變量間的關(guān)系獨立性檢驗學(xué)習(xí)獨立性檢驗的目的是“通過典型案例介紹獨立性檢驗的基本思想、方法及其初步應(yīng)用，使學(xué)生認(rèn)識統(tǒng)計方法在決策中的作用”。這是因為，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)飛速發(fā)展，信息傳播速度快，人們每天都會接觸到影響我們生活的統(tǒng)計方面信息，所以具備一些統(tǒng)計知識已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（2）學(xué)情分析本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了抽樣方法、事件的相互獨立性、正態(tài)分布及回歸分析的基本思想及初步應(yīng)用后進行的，是體現(xiàn)概率統(tǒng)計思想應(yīng)用價值的新內(nèi)容。理解獨立性檢驗的基本思想，并明確獨立性檢驗的基本步驟是本課教學(xué)重點，通過“在做數(shù)學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)”，來突出理解這一統(tǒng)計思想。獨立性檢驗的步驟是固定的，仿照教科書的例題，學(xué)生不難完成習(xí)題，但獨立性檢驗的思想對學(xué)生來說是比較難理解的，它來源于統(tǒng)計上的假設(shè)檢驗思想。考慮到對高中生而言，假設(shè)檢驗的思想難于理解，所以在教科書上僅從反證法的角度介紹獨立性檢驗思想。即便如此，學(xué)生在理解上也會存在如下問題：（1）為什么要進行獨立性檢驗？（2）獨立性檢驗方法中的隨機變量K2是如何構(gòu)造出來的？（3）為什么是有99.9%而不是有100%的把握認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)系？方臨界值表提到前面講解，以“先入為主”的思想，幫助學(xué)生突破這一難點。（3）自我背景性經(jīng)驗剖析新課程下的教學(xué)，明顯減少，而教學(xué)的內(nèi)容并沒有減少，如何保證教學(xué)效果呢，唯有進行課堂教學(xué)的改革，不改革是沒有出路的，無論是培養(yǎng)人才還是著眼于高考的角度，都是要堅定不移的走下去。高中獨立性檢驗時新增的內(nèi)容，內(nèi)容晦澀難懂，唯有讓學(xué)生真正融入到生活中，從感知身邊的案例，總之要使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中養(yǎng)成獨立觀察，獨立思考，積極探索，小組交流等好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的美，從而來提高學(xué)習(xí)興趣。重點：理解獨立性檢驗思想及實施步驟。難點：了解獨立性檢驗的基本思想；了解隨機變量的含義，的觀測值很大，就認(rèn)為兩個分類變量是有關(guān)系的。過程與方法：“問題串”為主，“講授式”為輔的教學(xué)模式。在“問題串”的指引下，學(xué)生研究出解決問題所需要收集的數(shù)據(jù)，并自行研究課本上給出的解題過程，提煉出解決問題的操作步驟，然后再由教師講解操作規(guī)程背后的理論依據(jù)。3教學(xué)流程為了使教學(xué)過程真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，提高學(xué)生自主獲取知識的能力，結(jié)合教材的特點和學(xué)生的認(rèn)知水平，本著“構(gòu)建和諧、高效思維對話型”課堂的教學(xué)理念，采用游戲式導(dǎo)入，提出問題；“問題串”為主、“講授式”為輔教學(xué)方式新知探求，乘勝追擊、疑難講解；課堂訓(xùn)練；學(xué)生歸納總結(jié)五步教學(xué)過程。學(xué)生交流展示自己的所學(xué)，教師根據(jù)學(xué)生交流的情況，給予必要的激勵和指導(dǎo)，讓學(xué)生獲得成功的喜悅。學(xué)生交流展示自己的所學(xué)，教師根據(jù)學(xué)生交流的情況，給予必要的激勵和指導(dǎo)，讓學(xué)生獲得成功的喜悅。學(xué)生探究到一定程度后，留時間給學(xué)生互相交流，充分發(fā)揮學(xué)生的聰明才智，進一步理解獨立性檢驗思想。解決判別吸煙與患肺癌之間是否有關(guān)的統(tǒng)計方法以及歸納總結(jié)獨立性檢驗的一般步驟。依據(jù)問題自主探究合作交流成果展示“問題串”為主，“講授式”為輔新知探求游戲式導(dǎo)入，提出問題播放一段視頻《吸煙有害健康的公益視頻》讓學(xué)生搶答視頻中的一數(shù)據(jù)。通過游戲激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為本節(jié)課的主要問題——吸煙與患肺癌是否有關(guān)做好鋪墊。同時也可以培養(yǎng)學(xué)生記憶和觀察能力。課堂訓(xùn)練課堂訓(xùn)練學(xué)生已經(jīng)掌握了基本概念的前提下，我又設(shè)計了幾個針對性的檢測練習(xí)，幫助學(xué)生鞏固自己所學(xué)的知識，提高學(xué)生運用知識的能力?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》中，只要學(xué)生體會獨立性檢驗的思想，掌握獨立性檢驗的操作步驟.在適當(dāng)?shù)那闆r下，應(yīng)給學(xué)生講清楚知識的由來、背景和依據(jù)。乘勝追擊，疑難講解引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)本節(jié)所學(xué)的知識與訓(xùn)練的題目對本節(jié)課的知識、方法與技能進行歸納總結(jié)。學(xué)生歸納總結(jié)4.精彩片段片段一：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題：有獎競猜激發(fā)學(xué)生興趣設(shè)計理念：教師設(shè)置情景，采用“有獎競猜”的游戲方式作為課堂導(dǎo)入，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，為本節(jié)課的主要問題——吸煙與患肺癌是否有關(guān)做好鋪墊。在“問題串”的指引下，學(xué)生研究出解決問題所需要收集的數(shù)據(jù)，分類變量與列聯(lián)表是本節(jié)新概念，但比較簡單，學(xué)生不難想到，因此鼓勵學(xué)生獨立思考，自行設(shè)計出列聯(lián)表。通過簡單的問題提問，使學(xué)生們打開思路的同時，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)與生活是息息相關(guān)的。教師：播放一段視頻《吸煙有害健康的公益視頻》，讓學(xué)生說出其中的一些數(shù)據(jù)。學(xué)生：觀看視頻，搶答教師：“吸煙有害健康”，這是我們熟悉的常識，因此我們很自然地認(rèn)為，吸煙會減少人的壽命，然而也有很多例外。一個吸煙時間很長但是長壽的人的例子能說明吸煙對人的健康沒有影響嗎？為什么？學(xué)生：不能（學(xué)生思考）教師：假如我們想通過調(diào)查，考察吸煙是否與患肺癌有關(guān)，那我們需要用到什么樣的數(shù)據(jù)？是否可以將這些數(shù)據(jù)列成一張表格便于分類？學(xué)生：調(diào)查對象（隨機，吸煙和不吸煙的），患肺癌的（吸煙、不吸煙），不患肺癌（吸煙、不吸煙）的人數(shù)教師：分類變量是本節(jié)給出的新概念，你能指出分類變量和我們數(shù)學(xué)中提到的普通的變量在本質(zhì)上有什么差別嗎？你能否舉出幾個分類變量的例子？學(xué)生：性別、民族、國籍、宗教信仰、是否吸煙......片段二：探究歸納，解決問題：新知呈現(xiàn)——獨立性檢驗方法設(shè)計理念：鼓勵學(xué)生自己尋找研究問題的一般統(tǒng)計學(xué)的方法，并通過圖表的方法，使學(xué)生鞏固統(tǒng)計學(xué)中一般研究問題的基本思路。學(xué)生通過對等高條形圖等方法優(yōu)劣的探討與認(rèn)識，體現(xiàn)出引入獨立性檢驗方法的必要性。而教材在一邊給出數(shù)據(jù)處理的過程，一邊講解每一步的道理，很容易讓學(xué)生感到不知所云。于是我通過“問題串”的引導(dǎo)，希望學(xué)生們專注于提煉解題步驟，至于理論依據(jù)則放在下一個環(huán)節(jié)集中處理，屬于“各個擊破”的方略。在獨立性檢驗的推導(dǎo)過程中，利用獨立事件同事發(fā)生的概率公式啟發(fā)學(xué)生做出假設(shè)；然后采用類比的方法，便于學(xué)生理解假設(shè)檢驗的思想；最后歸納出獨立性檢驗的基本步驟，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。教師：為了判別吸煙與患肺癌兩件事是否相關(guān)，統(tǒng)計學(xué)中一般采取什么方式手段研究分析解決問題？如何運用統(tǒng)計學(xué)的方法進行分析判斷？師生共同探究：利用頻率分布表判斷：不患肺癌患肺癌總計不吸煙99.46%0.54%1吸煙97.72%2.28%1由患肺癌在吸煙者與不吸煙者中的頻率差異可粗略估計吸煙對患肺癌有影響;師生共同探究：利用統(tǒng)計圖直觀判斷：（運用Excel軟件現(xiàn)場制作圖形）(1)通過三維柱形圖判斷兩個分類變量是否有關(guān)系：由圖中能清晰看出各個頻數(shù)的相對大小,由患肺癌在吸煙者與不吸煙者中的相對頻數(shù)差異可粗略估計吸煙對患肺癌有影響;(2)通過二維條形圖判斷兩個分類變量是否有關(guān)系：患肺癌患肺癌比例不患肺癌比例不吸煙吸煙由圖中可看出,吸煙者中患肺癌的比例高于不吸煙者中患肺癌的比例,可估計吸煙對患肺癌有影響。教師:上面通過分析數(shù)據(jù)和圖形,得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān),那么事實是否如此呢？并且能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”?能否用統(tǒng)計學(xué)觀點進一步考察這個問題。師生共同探究：為研究的一般性,在列聯(lián)表中用字母代替數(shù)字不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d教師:若假設(shè)吸煙與患肺癌兩個變量沒有關(guān)系，則應(yīng)得到什么結(jié)論？

學(xué)生:在吸煙者中患肺癌的比例約等于不吸煙中患肺癌的比例，即a/a+b≈c/c+da(c+d)≈c(a+b)ad-bc≈0教師:若計算ad-bc的結(jié)果，由此可以初步得出什么結(jié)論？學(xué)生:︱ad–bc︱越小,說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱;；︱ad–bc︱越大,說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強。教師:為使不同的樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標(biāo)準(zhǔn)，可構(gòu)造一個隨機變量，其中為樣本容量。若假設(shè)成立，應(yīng)該很?。蝗艉艽?說明假設(shè)不成立,即兩變量有關(guān)系。利用上述公式，可計算出問題中的的觀測值為學(xué)生:同學(xué)們會提出同一問題：那么這個值是不是很大？怎樣才算很大？教師:在假設(shè)成立的情況下，統(tǒng)計學(xué)家估算出如下的概率：現(xiàn)在的觀測值56.632遠(yuǎn)大于6.635，即假設(shè)成立的概率為0.01，是小概率事件，也就是假設(shè)不合理的程度約為99%，，因此可以下結(jié)論：有99%的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”。這就是兩個分類變量獨立性檢驗的基本思想，可以表述為：當(dāng)很大時，就認(rèn)為兩個變量有關(guān)系；否則就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示兩個變量有關(guān)系。教師:我們在進行獨立性檢驗時，表格中a,b,c,d無疑是最重要的數(shù)據(jù)，課本在一個不太起眼的角落提到了我們進行獨立性檢驗的時候?qū)@四個基本數(shù)據(jù)的基本要求，你找到了嗎？（為的是使學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心的好習(xí)慣，順帶強調(diào)一下獨立性檢驗中，對數(shù)據(jù)的基本要求）學(xué)生:n越大，近似程度越高，在實際應(yīng)用中，通常要求a,b,c,d都不小于5.教師:（小組討論）類比反正法的原理，你能否總結(jié)出獨立性檢驗的基本步驟？

師生共同探究:提出原假設(shè):假設(shè)兩個分類變量與無關(guān)系；備擇假設(shè):兩個分類變量有關(guān)，并假設(shè)成立；確定允許犯錯誤的概率的上界，找到臨界值；（3）計算出的觀測值；（4）若,此時小概率事件發(fā)生，我們認(rèn)為在一次試驗中，小概率事件是不可能發(fā)生，所以假設(shè)出錯，從而接受；若時，我們沒有充分理由拒絕，也就沒辦法接受了。其中②③兩個步驟屬平級關(guān)系，可以調(diào)換次序。教師小結(jié)：我們從獨立性檢驗的角度去說明吸煙對我們身體的影響，因此我們要遠(yuǎn)離煙草，關(guān)注健康。這點我國的法律有明文規(guī)定：《中華人民共和國煙草專賣法》第十八條國家制定卷煙、雪茄煙的焦油含量級標(biāo)準(zhǔn)。卷煙、雪茄煙應(yīng)當(dāng)在包裝上標(biāo)明焦油含量級和“吸煙有害健康”。特別對我們中學(xué)生，第五條國家和社會加強吸煙危害健康的宣傳教育，禁止或者限制在公共交通工具和公共場所吸煙，勸阻青少年吸煙，禁止中小學(xué)生吸煙。片段三：啟發(fā)探究，類比對比：如何理解獨立性檢驗的基本思想？反證法思想用于獨立性檢驗的假設(shè)檢驗思想目標(biāo)證明結(jié)論成立結(jié)果只有一種情況：結(jié)論成立判斷分類變量X與Y之間是否有關(guān)結(jié)果有兩種可能：有關(guān)或無關(guān)構(gòu)造兩種情況：結(jié)論成立：結(jié)論的反面成立：X與Y之間無關(guān)(獨立)：X與Y之間有關(guān)理論依據(jù)矛盾雙方不可能同時成立但是有且只有一個成立在一次試驗中，小概率事件(觀測值大于等于臨界值)幾乎是不可能發(fā)生的操作步驟1)假設(shè)的反面成立2)推導(dǎo)矛盾，從而不成立3)由不成立說明成立1)確定置信水平，找到臨界值2)提出原假設(shè)，并假設(shè)成立，3)計算統(tǒng)計量的觀測值4)通過比較與的大小給出結(jié)論：小則有利于成立，大有利于成立 設(shè)計理念：學(xué)生在初步體驗獨立檢驗的整體思想，并與所學(xué)的反證法思想相對比，順便歸納整理獨立性檢驗的一般步驟，此問題難度較大，需要學(xué)生建立在對反證法與獨立性檢驗的理論、思想及操作全過程都比較熟悉的基礎(chǔ)上才能完成。如果時間允許的話，可在講解完例題1之后，在安排一道例題使學(xué)生對獨立性檢驗有更進一步的認(rèn)識，然后在比較反證法和獨立性檢驗思想的區(qū)別與聯(lián)系。教師:從整體思路上看，獨立思想檢驗的思想與反證法的思想有些類似之處，請將下列表格補充完整，并體會他們各自的本質(zhì)及二者之間的區(qū)別和聯(lián)系。片段四：乘勝追擊，疑難解答：“在犯錯率不超過XX的前提下”理解。設(shè)計理念：新課標(biāo)的理念下，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的時候，不僅關(guān)心知識內(nèi)容，更關(guān)注其來龍去脈。在最初定奪本節(jié)課教學(xué)模式時比較為難，一方面，按照新課標(biāo)的理念，注重學(xué)生自主探究為主，教師僅僅是引導(dǎo)者(實踐證明這有利于學(xué)生學(xué)會“學(xué)習(xí)”，尤其是提高自學(xué)能力和合作學(xué)習(xí)能力)，然而另一方面，本節(jié)內(nèi)容理論難度較大，而且涉及到很多大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，憑高中學(xué)生的數(shù)學(xué)水平難以完成自主探究.因此，在理論部分，還得需要教師講，教師的“講授”成為了無奈的選擇.不過好在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，不要求學(xué)生掌握這部分深奧的理論，只要體會獨立性檢驗的思想，掌握獨立性檢驗的操作步驟.在適當(dāng)?shù)那闆r下，應(yīng)給學(xué)生講清楚知識的由來、背景和依據(jù)。而獨立性檢驗遇到了之前學(xué)生沒有遇到的知識和思想，學(xué)生難以自主研究，于是就采取傳統(tǒng)的“講授式”教學(xué)，不過最大程度上吸引學(xué)生參與到對問題探討中來。教師：為什么在最后表述結(jié)論的時候要出現(xiàn)“在犯錯率不超過XX的前提下”這樣的詞？師生共同探討：這也是初學(xué)者較難理解的問題，原因就在于獨立性檢驗的過程存在一個小小的漏洞，就是在假設(shè)“在一次實驗中，小概率事件不發(fā)生”，而事實上，小概率事件是可能發(fā)生的（用反正法，如果始終不發(fā)生，就是不可能事件了），而正是因為這一點點漏洞，導(dǎo)致獨立性檢驗的結(jié)果可能是錯誤的，但是犯錯率不會太大，我們就把犯錯誤的最大概率等同于小概率事件發(fā)生的概率了。至于小概率事件所對應(yīng)的臨界值，則屬于大學(xué)的研究范疇，再此不必做過多解釋。5．自我反思本教學(xué)設(shè)計主要有以下幾個特點：（1