4.2.1等差數(shù)列的概念（第2課時(shí)）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

3.能用等差數(shù)列的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.等差數(shù)列的概念（第2課時(shí)）第4章數(shù)

列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用等差數(shù)列的定義推導(dǎo)等差數(shù)列的性質(zhì).2.能用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題.探究點(diǎn)1.從函數(shù)的角度探究在直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出通項(xiàng)公式為an＝3n－5的數(shù)列的圖象，這個(gè)圖象有什么特點(diǎn)？(1)數(shù)列an＝3n－5為等差數(shù)列，其圖象的孤立的點(diǎn)在__________

上．(2)數(shù)列an＝3n－5的公差是直線y＝3x－5的________．直線y＝3x－5斜率梳理探究：(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，當(dāng)d＝0時(shí)，an是關(guān)于n的常數(shù)函數(shù)；當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)．(2)公差d與斜率：等差數(shù)列{an}的圖象上的點(diǎn)(n，an)是分布在一條直線上的孤立的點(diǎn)，而這條直線的斜率即為公差d，即：(3)等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列{an}的公差為d，①當(dāng)d＞0時(shí)，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；②當(dāng)d＜0時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；③當(dāng)d＝0時(shí)，數(shù)列{an}為常數(shù)列．探究點(diǎn)2.從項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系探究思考并完成下列問(wèn)題：(1)等差數(shù)列{an}中，an＝a1＋(n－1)d.那么an＝a2＋________d；an＝a3＋________d；an＝am＋________d.(m＜n)(2)等差數(shù)列{an}中，a1＋an與a2＋an－1，a3＋an－2有什么關(guān)系？(n－2)(n－3)(n－m)答案：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2梳理探究：（1）兩項(xiàng)關(guān)系：an＝am＋(n－m)d

(n，m∈N*)（2）多項(xiàng)關(guān)系：設(shè){an}為等差數(shù)列，若m＋n＝p＋q，

則am＋an＝ap＋aq

(m，n，p，q∈N*)（2）在有窮等差數(shù)列{an}中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和，

即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…特別地，（1）設(shè){an}為等差數(shù)列，若m＋n＝2p，則有am＋an＝2ap.

(m，n，p∈N*)“項(xiàng)數(shù)相同”且“序號(hào)之和相等”，則“項(xiàng)之和相等”探究點(diǎn)3.從等差數(shù)列“子數(shù)列”的性質(zhì)探究思考并完成下列問(wèn)題：(1)將數(shù)列的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，首項(xiàng)、公差各是多少？(2)取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，首項(xiàng)、公差各是多少？(3)取出數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列呢？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎？是等差數(shù)列，首項(xiàng)為am＋1，公差為d.是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為2d.是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a7，公差為7d.梳理探究：(2)若數(shù)列{kn}是等差數(shù)列，則數(shù)列{akn}也是等差數(shù)列．即在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來(lái)的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列．(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則任取數(shù)列{an}中“至少3項(xiàng)的一個(gè)片段”也是等差數(shù)列．特別地，已知一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列{a2n－1}是公差為2d的等差數(shù)列．偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列{a2n}是公差為2d的等差數(shù)列．探究點(diǎn)4.從等差數(shù)列“運(yùn)算”的性質(zhì)探究思考并完成下列問(wèn)題：已知一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，c為常數(shù)(1){c＋an}是等差數(shù)列嗎？如果是，公差各是多少？(2){c·an}是等差數(shù)列嗎？如果是，公差各是多少？(3){an＋an＋k}是等差數(shù)列嗎？如果是，公差各是多少？為公差為d的等差數(shù)列．為公差為cd的等差數(shù)列．為公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*)．梳理探究：1．若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有{pan＋qbn}是公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))。即等差數(shù)列的線性運(yùn)算所得到的數(shù)列依然等差。2．若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則有{an＋an＋k}也是等差數(shù)列(k為常數(shù),k∈N*)。即等差數(shù)列的“依次每k項(xiàng)的和”所得到的數(shù)列依然等差。1.已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個(gè)數(shù)．解：設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，由已知可得：

由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵該數(shù)列是遞增的，∴d＝－2舍去，∴這三個(gè)數(shù)為4,6,8.解題感悟：1.“對(duì)稱設(shè)項(xiàng)”技巧：三個(gè)數(shù)等差，設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d；四個(gè)數(shù)等差，設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d，a－d，a＋d，a+3d；……先設(shè)中間項(xiàng)，奇數(shù)個(gè)項(xiàng)設(shè)中間一項(xiàng)為a，公差為d;偶數(shù)個(gè)項(xiàng)設(shè)中間兩項(xiàng)a－d，a＋d,公差為2d.2.等差數(shù)列單調(diào)性應(yīng)用：性質(zhì)1.（等差數(shù)列的單調(diào)性）等差數(shù)列{an}的公差為d，①d＞0

{an}為遞增數(shù)列；②d＜0

{an}為遞減數(shù)列；③d＝0

{an}為常數(shù)列．從函數(shù)的角度看，等差數(shù)列的單調(diào)性是其中最重要的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列“項(xiàng)”的變化、范圍、最值等問(wèn)題一般可以考慮此性質(zhì)的應(yīng)用。自主練習(xí)：1.在等差數(shù)列{an}中，若a6＝10，a15＝1，求a21的值．2.在等差數(shù)列{an}中，an=m，am

=n，且n≠m，求am+n.解題感悟：求等差數(shù)列中的特定項(xiàng)，有兩種方法：答案：-5①基本量法：利用通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d,解方程（組）求首項(xiàng)和公差，寫(xiě)出特定項(xiàng)（此法具有一般性，有時(shí)運(yùn)算稍繁）；（任意給出兩項(xiàng)，使用此法可簡(jiǎn)化運(yùn)算）3.(1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)在等差數(shù)列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．解：(1)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，∴a5＝3.∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，①又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7.②，由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.由an＝a3＋(n－3)d得an＝2n－7或an＝－2n＋13.解二：∵{an}為等差數(shù)列，觀察可得：4a60=a15+3a75，（中項(xiàng)性質(zhì)）∴4×20=8+3×a75,求得a75=24解三：∵{an}為等差數(shù)列，可得：a15，a30，a45，a60，a75，依次成等差數(shù)列{bn}，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：等差數(shù)列{bn}中，b1=a15=8，b4=a60=20，求：b5=？。由通項(xiàng)公式直接求得a75=24解題感悟：1.涉及等差數(shù)列中的項(xiàng)與項(xiàng)的和，可考慮使用等差數(shù)列的“中項(xiàng)性質(zhì)”求解。性質(zhì)2.（中項(xiàng)性質(zhì)）設(shè){an}為等差數(shù)列，若m＋n＝p＋q，

則am＋an＝ap＋aq

(m，n，p，q∈N*)更一般的結(jié)論：在等差數(shù)列中，若“項(xiàng)數(shù)相同”且“序號(hào)之和相等”，則“項(xiàng)與項(xiàng)的和相等”。常用結(jié)論：設(shè){an}為等差數(shù)列，若m＋n＝2p，則有am＋an＝2ap.

(m，n，p∈N*)自主練習(xí)：1.在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，那么a2＋a8等于多少？2.在等差數(shù)列{an}中，若a6＝10，a15＝1，求a21的值．注意：設(shè){an}為等差數(shù)列，am，an，ap是任意三項(xiàng)

(m，n，p∈N*)，存在唯一λ∈Q，使得ap=λam+(1-λ)an.答案：5a15＝2a6+3a21

，求得a21＝-5

提示：a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，故a2＋a8＝2a5＝180.解題感悟：2.構(gòu)造“子數(shù)列”，利用相應(yīng)性質(zhì)求解（如本題（2）解法三）性質(zhì)3.若數(shù)列{kn}是等差數(shù)列，則數(shù)列{akn}也是等差數(shù)列．即在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來(lái)的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列．自主練習(xí)1．在等差數(shù)列{an}中，若a5＝a，a10＝b，則a15＝________.2.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，則a13＝(

)A．9

B．12C．15D．183.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)從數(shù)列{an}中，依次取出偶數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因?yàn)閍1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4，

因?yàn)閍8＝6，所以d＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n，故an＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.

所以數(shù)列{bn}是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，故bn＝4n.2b－aA4．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．解：∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差數(shù)列．∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.解題感悟：按“依次每k項(xiàng)和”構(gòu)造新數(shù)列，利用相應(yīng)性質(zhì)求解按“依次每k項(xiàng)和”構(gòu)造新數(shù)列：①a1+a3,a3+a5,a5+a7,……；②a1+a4+a7,a2+a5+a8,……；③a2+2a4+3a6,a3+2a5+3a7,……指出②③的第3項(xiàng)：性質(zhì)4．若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則有{an＋an＋k}也是等差數(shù)列(k為常數(shù),k∈N*)。即等差數(shù)列的“依次每k項(xiàng)的和”所得到的數(shù)列依然等差。a3＋a6＋a9a4＋2a6＋3a8自主練習(xí)1．設(shè)公差為－2的等差數(shù)列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，

那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于(

)A．－182 B．－78C．－148 D．－82D自主練習(xí)1.數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，a1＋b1＝1，a2＋b2＝3，則a2023＋b2023＝()A．4039

B．4041

C．4043

D．4045答案：D5.已知數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,公差分別為d1,d2,數(shù)列{cn}滿足cn=

an

+2bn.

(1)數(shù)列{cn}是否是等差數(shù)列?若是,證明你的結(jié)論;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若{an},{bn}的公差都等于2,a1=

b1=1,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.解題感悟：按“等差數(shù)列的線性運(yùn)算”構(gòu)造新數(shù)列，利用相應(yīng)性質(zhì)求解性質(zhì)5．若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有{pan＋qbn}是公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))。即等差數(shù)列的線性運(yùn)算所得到的數(shù)列依然等差。例1.某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值為220萬(wàn)元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過(guò)程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過(guò)一年其價(jià)值會(huì)減少d(d為正常數(shù)）萬(wàn)元.已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過(guò)10年，它的價(jià)值將低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定d的范圍.分析：該設(shè)備使用n年后的價(jià)值構(gòu)成數(shù)列{an}，由題意可知，an＝an－1－d(n≥2).即：an－an－1＝－d.所以{an}為公差為－d的等差數(shù)列.10年之內(nèi)（含10年），該設(shè)備的價(jià)值不小于（220×5％=）11萬(wàn)元；10年后，該設(shè)備的價(jià)值需小于11萬(wàn)元．利用{an}的通項(xiàng)公式列不等式求解．跟蹤訓(xùn)練1.我國(guó)古代用日晷測(cè)量日影的長(zhǎng)度，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度．《周脾算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)損益相同．二十四個(gè)節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示．相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)的變化量相同，周而復(fù)始．從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若測(cè)得冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為尺，大寒、驚蟄、谷雨日影長(zhǎng)之和為尺，則冬至日影的長(zhǎng)為(

)C解：設(shè)冬至的日影長(zhǎng)為a1，公差為d，則a1＋a4＋a7＝31.5,a3＋a6＋a9＝25.5,兩式相減得－6d＝6,解得d＝－1,∴a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝，解得a1＝，故選C.例2：兩個(gè)等差數(shù)列5,8,11，…和3,7,11，…都有100項(xiàng)，那么它們共有多少相同的項(xiàng)？解：設(shè)已知兩個(gè)數(shù)列的所有相同的項(xiàng)將構(gòu)成的新數(shù)列為{cn}，c1＝11,又等差數(shù)列5,8,11，…的通項(xiàng)公式為an＝3n＋2，等差數(shù)列3,7,11，…的通項(xiàng)公式為bn＝4n－1.令an＝3n＋2=bm＝4m－1，即3（n+1）=4m(m,n∈N*),∴m=3k(k∈N*)故n=4k-1，因此,數(shù)列{an}中的a3,a7,a11,……即為{cn}又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302,故兩數(shù)列共有25個(gè)相同的項(xiàng)．∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，且公差d＝12.∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.例3：等差數(shù)列2，5，8，…，每相鄰兩項(xiàng)間插入3個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列．(1)求原數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)原數(shù)列的第10項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)？(3)新數(shù)列的第2021項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)？求新數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)原數(shù)列的第1項(xiàng)是新數(shù)列的第1項(xiàng)，

原數(shù)列的第2項(xiàng)是新數(shù)列的第2＋3＝5項(xiàng)，

原數(shù)列的第3項(xiàng)是新數(shù)列的第3＋2×3＝9項(xiàng)，…，

原數(shù)列的第n項(xiàng)是新數(shù)列的第n＋(n－1)×3＝(4n－3)項(xiàng)．

當(dāng)n＝10時(shí)，4n－3＝4×10－3＝37.所以原數(shù)列的第10項(xiàng)是新數(shù)列的第37項(xiàng)．解：(1)等差數(shù)列2，5，8，…，a1＝2，公差d＝3，則an＝a1＋(n－1)d＝3n－1.解(3)：令4n－3＝2021，得n＝506，新數(shù)列的第2021項(xiàng)是原數(shù)列的第506項(xiàng)．(3)新數(shù)列的第2021項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)？求新數(shù)列的通項(xiàng)公式．方法一：設(shè)新數(shù)列為{bn}，公差為d1,由b1=2,b5=5,得2+4d1=5,解得所以方法二：設(shè)新數(shù)列為{bn}，依題意得b4n-3=an=3n-1,令k=4n-3,得：所以例4：已知無(wú)窮等差數(shù)列{an}，首項(xiàng)a1＝3，公差d＝－5，依次取出序號(hào)被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(3)數(shù)列{bn}中的第110項(xiàng)是數(shù)列{an}中的第幾項(xiàng)？解：(1)由題意，等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3－5(n－1)＝8－5n，設(shè)數(shù)列{bn}的第n項(xiàng)是數(shù)列{an}的第m項(xiàng)，則需滿足m＝4n－1，n∈N*.所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，所以數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為b1＝－7，公差為d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.(3)因?yàn)閙＝4n－1，n∈N*，所以當(dāng)n＝110時(shí)，m＝4×110－1＝439，所以數(shù)列{bn}中的第110項(xiàng)是數(shù)列{an}中的第439項(xiàng)．跟蹤訓(xùn)練1.在兩個(gè)等差數(shù)列2，5，8，…，197與2，7，12，…，197中，求它們的公共項(xiàng)從小到大依次排列構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式及公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)．解：設(shè)兩數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大依次排列構(gòu)成的數(shù)列為{cn}，則c1＝2.因?yàn)閮蓴?shù)列為等差數(shù)列，且易知它們的公差分別為3，5，所以數(shù)列{cn}仍為等差數(shù)列，且公差d＝15.所以cn＝c1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×15＝15n－13.令2≤15n－13≤197，知1≤n≤14，故兩數(shù)列共有14個(gè)公共項(xiàng)．等差數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1.（等差數(shù)列的單調(diào)性）等差數(shù)列{an}的公差為d，①d＞0

{an}為遞增數(shù)列；②d＜0

{an}為遞減數(shù)列；③d＝0

{an}為常數(shù)列．性質(zhì)2.（中項(xiàng)性質(zhì)）設(shè){an}為等差數(shù)列，若m＋n＝p＋q，

則am＋an＝ap＋aq

(m，n，p，q∈N*)性質(zhì)3.若數(shù)列{kn}是等差數(shù)列，則數(shù)列{akn}也是等差數(shù)列．即在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來(lái)的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列．性質(zhì)4．若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則有{an＋an＋k}也是等差數(shù)列(k為常數(shù),k∈N*)。即等差數(shù)列的“依次每k項(xiàng)的和”所得到的數(shù)列依然等差。性質(zhì)5．若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有{pan＋qbn}是公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))。即等差數(shù)列的線性運(yùn)算所得到的數(shù)列依然等差。達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，則a13