高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修二）：專題5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（重難點(diǎn)題型精講）（教師版）

專題5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（重難點(diǎn)題型精講）1．瞬時(shí)速度(1)平均速度設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t)，則物體在到+t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為=.(2)瞬時(shí)速度①物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.

②一般地，當(dāng)t無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)v，我們就說(shuō)當(dāng)t趨近于0時(shí)，的極限是v，這時(shí)v就是物體在t=時(shí)的瞬時(shí)速度，即瞬時(shí)速度v==.2．拋物線切線的斜率(1)拋物線割線的斜率設(shè)二次函數(shù)y=f(x)，則拋物線上過(guò)點(diǎn)、的割線的斜率為=.(2)拋物線切線的斜率一般地，在二次函數(shù)y=f(x)中，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)k，我們就說(shuō)當(dāng)x趨近于0時(shí)，的極限是k，這時(shí)k就是拋物線在點(diǎn)處切線的斜率，即切線的斜率k==.3．函數(shù)的平均變化率函數(shù)平均變化率的定義

對(duì)于函數(shù)y=f(x)，設(shè)自變量x從變化到+x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f()變化到f(+x).這時(shí)，x的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)-f().我們把比值，即=叫做函數(shù)y=f(x)從到+x的平均變化率.4．函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)(,f())時(shí)，割線P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線T(T是直線T上的一點(diǎn))稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線.(2)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在x=處的導(dǎo)數(shù)f'()就是切線T的斜率，即==f'().這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.相應(yīng)地，切線方程為y-f()=f'()(x-).5．導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)y=f(x)在x=處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到，當(dāng)x=時(shí)，f'()是一個(gè)唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y=f'(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y'，即f'(x)=y'=.【題型1瞬時(shí)速度、平均速度】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)瞬時(shí)速度、平均速度的定義進(jìn)行求解即可.【例1】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知物體做直線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為S=S(t)，其中S表示路程，t表示時(shí)間．則S'A．經(jīng)過(guò)4s后物體向前走了10mB．物體在前4秒內(nèi)的平均速度為10m/sC．物體在第4秒內(nèi)向前走了10mD．物體在第4秒時(shí)的瞬時(shí)速度為10m/s【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，S(t)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即是t時(shí)刻的瞬時(shí)速度．求解即可．【解答過(guò)程】∵物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為S=S(t)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，S(t)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，∴S'(4)=10表示的意義是物體在第4故選：D．【變式1-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某物體的運(yùn)動(dòng)路程s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)st=t2+t+1A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s【解題思路】根據(jù)瞬時(shí)速度的概念即可利用平均速度取極限求解.【解答過(guò)程】該物體在時(shí)間段1,1+Δt上的平均速度為ΔsΔt=s故選：D.【變式1-2】（2022·廣東廣州·高二期末）在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系?(t)=?4.9t2+4.8t+11.該運(yùn)動(dòng)員在t=1sA．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5【解題思路】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把t=1代入即可求解．【解答過(guò)程】解：因?yàn)?(t)=?4.9t所以?'令t=1，得瞬時(shí)速度為?5．故選：D.【變式1-3】（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s=t2+2t，設(shè)其在t∈[2,3]內(nèi)的平均速度為v1，在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為v2A．76 B．73 C．67【解題思路】直接運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，計(jì)算即可【解答過(guò)程】v1=3所以v2=2×2+2=6，所以故選：A.【題型2平均變化率】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合函數(shù)的平均變化率的定義，即可得解.【例2】（2022·江蘇省高二階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+2A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】根據(jù)平均變化率的定義直接求解.【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)fx所以該函數(shù)在區(qū)間1,3上的平均變化率為f(3)?f(1)3?1故選：A.【變式2-1】（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）函數(shù)fx=?x3+1A．3 B．2 C．?2 D．?3【解題思路】根據(jù)平均變化率的定義計(jì)算即可【解答過(guò)程】由題，函數(shù)fx=?x3故選：D.【變式2-2】（2022·陜西·高二階段練習(xí)（理））若函數(shù)f(x)=x2?t，當(dāng)1≤x≤m時(shí)，平均變化率為2，則mA．5 B．2 C．3 D．1【解題思路】直接利用平均變化率的公式求解.【解答過(guò)程】由題得Δy所以m=1故選：D.【變式2-3】（2022·陜西安康·高二期末（文））為了評(píng)估某種治療肺炎藥物的療效，有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度c與時(shí)間t的關(guān)系為c=f(t)，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間t變化的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．在t1B．在t2C．在t2D．在t1,t【解題思路】根據(jù)圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】A選項(xiàng)，根據(jù)圖象可知，在t1B選項(xiàng)，根據(jù)圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可知，在t2B選項(xiàng)結(jié)論正確.C選項(xiàng)，根據(jù)圖象可知，在t2C選項(xiàng)結(jié)論正確.D選項(xiàng)，根據(jù)圖象可知，在t1在t2D選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.故選：D.【題型3利用導(dǎo)數(shù)的定義解題】【方法點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2022·新疆·高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為2，則limΔA．0 B．12 C．1 【解題思路】根據(jù)極限與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系直接求解.【解答過(guò)程】根據(jù)極限與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可知limΔ故選:D.【變式3-1】（2022·上海市高二期末）已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若lim△x→0f(2)?f(2+Δx)2A．?1 B．?14 C．1 【解題思路】根據(jù)極限與導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算．【解答過(guò)程】f故選：A．【變式3-2】（2022·湖北襄陽(yáng)·高二期末）若函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為1，則limA．2 B．3 C．－2 D．－3【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義即可得出．【解答過(guò)程】解：若函數(shù)y=fx在x=x∴f'(x則limΔx→0f(故選：B．【變式3-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，若limΔx→0f1+A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得f'【解答過(guò)程】由導(dǎo)數(shù)的定義可得f'故選：D.【題型4導(dǎo)數(shù)的幾何意義】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的斜率或切線方程.【例4】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）limx→2f(5?x)?3x?2=2,f(3)=3，A．2x+y+9=0 B．2x+y?9=0C．?2x+y+9=0 D．?2x+y?9=0【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出f'【解答過(guò)程】由已知，limx→2f(5?x)?3x?2∴l(xiāng)imΔx→0f(3?Δx)?f(3)Δx＝lim∴f(x)在(3,f(3))處切線方程為y?3=?2(x?3)，即2x+y?9=0．故選：B．【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)y=fx的圖像在點(diǎn)M3,f3處的切線方程是y=13A．1 B．2 C．3 D．5【解題思路】根據(jù)切線方程的斜率為切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,且切點(diǎn)在f(x)以及切線上即可求解f(3),f【解答過(guò)程】由點(diǎn)M3,f3處的切線方程是y=1x=3時(shí)，y=13×3+∴f3故選：B.【變式4-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=2x+1，則limΔx→0f(1+A．4 B．2 C．1 D．1【解題思路】根據(jù)曲線某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，得f'(1)=2，再根據(jù)【解答過(guò)程】∵函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=2x+1，∴f則limΔ故選:C.【變式4-3】（2022·浙江·高二期中）如圖，函數(shù)y=fx的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=?x+8，則limΔx→0A．?12 B．2 C．?1 【解題思路】依題意可知切點(diǎn)坐標(biāo)，由切線方程得到f'【解答過(guò)程】依題意可知切點(diǎn)P5,3∵函數(shù)y=fx的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=?x+8∴f'5=?1∴l(xiāng)imΔ又∵lim∴l(xiāng)im即lim故選：D.【題型5函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)函數(shù)圖象、導(dǎo)函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知f'x是fx的導(dǎo)函數(shù)，f'xA． B．C． D．【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，原函數(shù)先增長(zhǎng)“迅速”，后增長(zhǎng)“緩慢”.【解答過(guò)程】由題中f'x的圖象可以看出，在a,b內(nèi)，且在a,a+b2內(nèi)，在a+b2,b內(nèi)，所以函數(shù)fx在a,b且其圖象在a,a+b2內(nèi)越來(lái)越陡峭，在故選：D．【變式5-1】若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象可能是A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】∵函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，∴對(duì)任意的a＜x1＜x2＜b，有，也即在a,x1,x2,b處它們的斜率是依次增大的．∴A滿足上述條件，對(duì)于B，存在使，對(duì)于C，對(duì)任意的a＜x1＜x2＜b，都有，對(duì)于D，對(duì)任意的x∈[a，b]，不滿足逐漸遞增的條件，故選A．【變式5-2】（2022·北京高二期末）已知函數(shù)fx=ax3+bA． B．C． D．【解題思路】由導(dǎo)函數(shù)的圖像分析原函數(shù)切線斜率，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.【解答過(guò)程】由導(dǎo)函數(shù)圖像可知，原函數(shù)fx在區(qū)間?∞,1的切線斜率逐漸減小，在x=1結(jié)合選項(xiàng)可知，A、B選項(xiàng)不滿足在x=1處的切線斜率為1，排除；C選項(xiàng)在區(qū)間1,+∞故選：D.【變式5-3】（2022·河南高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x，若y=f'A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0，原函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0，原函數(shù)單調(diào)遞減；即可得出正確答案.【解答過(guò)程】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得：x>0時(shí)，f'x<0，所以f排除選項(xiàng)A、B，當(dāng)x>0時(shí)，f'x先正后負(fù)，所以fx因選項(xiàng)C是先減后增再減，故排除選項(xiàng)C，故選：D.【題型6導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】曲線在某點(diǎn)處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢.結(jié)合具體條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2022·河南·高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知函數(shù)fx的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的是（

A．0<B．0<fC．0<D．0<【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的斜率公式，結(jié)合圖象得出答案．【解答過(guò)程】f'2和f'3分別表示函數(shù)fx在x=2和x=3處的切線斜率，結(jié)合圖象可得0<f'3故選：D.【變式6-1】（2022·陜西·教學(xué)研究室一模）已知函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖所示，其中Ax1,fA．f'x1C．f'x3【解題思路】結(jié)合函數(shù)圖形及導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可；【解答過(guò)程】解：由圖可知函數(shù)在A點(diǎn)的切線斜率小于0，即f'在D點(diǎn)的切線斜率等于0，即f'在C點(diǎn)的切線斜率大于0，即f'所以f'故選：B.【變式6-2】（2022·廣東·高二期中）如圖，函數(shù)fx的圖象如圖所示，下列數(shù)