高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（選擇性必修一）：空間向量及其線性運算-重難點題型精講（教師版）

專題1.1空間向量及其線性運算-重難點題型精講1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2．空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共線向量(1)空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．4．共面向量(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.【題型1空間向量概念的理解】【方法點撥】在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．【例1】（2021秋?城關區(qū)校級期末）下列命題中正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥B．向量a→、b→、cC．空間任意兩個向量共面 D．若a→∥b→【解題思路】A．若a→∥b→，b→B．向量a→、b→、C．根據(jù)共面向量基本定理即可判斷出；D．利用向量共線定理可知：若a→∥b→，則存在唯一的實數(shù)λ，使使【解答過程】解：A．若a→∥b→，b→B．向量a→、b→、C．根據(jù)共面向量基本定理可知：空間任意兩個向量共面，正確；D．若a→∥b→，則存在唯一的實數(shù)λ，使使綜上可知：只有C正確．故選：C．【變式1-1】（2021秋?西夏區(qū)校級月考）下列命題正確的是（）A．若a→與b→共線，b→與c→共線，則aB．向量a→，C．零向量沒有確定的方向 D．若a→∥b→【解題思路】從向量共線反例判斷A，共面向量定理判斷B，零向量的定義判斷C，共線向量定理判斷D．推出正確命題選項．【解答過程】解：若a→與b→共線，b→與c→共線，則a→與c→共線，如果b→向量a→零向量沒有確定的方向，滿足零向量的定義．若a→∥b→，則存在唯一的實數(shù)λ使得故選：C．【變式1-2】下列關于空間向量的說法中正確的是（）A．若向量a→，b→B．若|a→|=|bC．若向量AB→，CD→滿足D．相等向量其方向必相同【解題思路】根據(jù)空間中任意兩個向量必然共面，可判斷A；根據(jù)相等向量和相反向量的定義，可判斷B；根據(jù)向量不能比較大小，可判斷C；根據(jù)相等向量的概念，可判斷D．【解答過程】解：對于A，若向量a→，b→平行，則若|a→|=|b→|，則向量不能比較大小，故C錯誤；相等向量其方向必相同，故D正確．故選：D．【變式1-3】（2021秋?福建期中）給出下列命題：①若空間向量a②空間任意兩個單位向量必相等③若空間向量a④在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有BD⑤向量a→=（1，1，0）的模為其中假命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】在①中，向量a→與b→方向不一定相同；在②中，空間任意兩個單位向量的方向不一定相同；在③中，若空間向量a→，b→，c→滿足a→?c→=b→?c→【解答過程】解：在①中，若空間向量a→，b→滿足|a在②中，空間任意兩個單位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命題；在③中，若空間向量a→，b→，c→在④中，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定義得必有BD→=B在⑤中，由模式的定義得向量a→=（1，1，0）的模為2，故故選：C．【題型2空間向量的加減運算】【方法點撥】①巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．【例2】（2021秋?東莞市期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AC1→ B．A1C→ C【解題思路】根據(jù)已知條件，結合向量的加減法法則，即可求解．【解答過程】解：∵ABCD﹣A1B1C1D1為平行四面體，∴AB→故選：B．【變式2-1】（2021秋?西城區(qū)校級期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC→A．BD→ B．DB→ C．AD→ 【解題思路】利用空間向量的線性運算法則求解．【解答過程】解：∵DC→∴BC→故選：C．【變式2-2】（2021秋?潞州區(qū)校級期末）如圖，在空間四邊形P﹣ABC中，PA→A．PC→ B．PA→ C．AB→ 【解題思路】直接利用向量的線性運算求出結果．【解答過程】解：PA→故選：A．【變式2-3】（2021秋?大興區(qū)期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AC→ B．A1C→ C．【解題思路】根據(jù)已知條件，結合向量的加減法法則，即可求解．【解答過程】解：由題意可得，AB→故選：C．【題型3空間向量的線性運算】【方法點撥】①數(shù)形結合：利用數(shù)乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量．②明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙利用線段的中點進行解題．【例3】（2021秋?金華期末）在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點，則（）A．MN→=12ADC．MN→=?12【解題思路】直接利用向量的線性運算的應用求出結果．【解答過程】解：在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點；所以AN→=1故MN→故選：A．【變式3-1】（2021秋?湖北期末）如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC延長線上一點，BC→=3CEA．AB→+13ADC．AB→+13【解題思路】利用空間向量的線性運算，空間向量基本定理求解即可．【解答過程】解：∵BC→∴D=AB=AB故選：A．【變式3-2】（2021秋?光明區(qū)期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，AG→=2GEA．13AB→?2C．?23AB→【解題思路】利用向量加法法則能求出結果．【解答過程】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，AG→則GF=1=1=?故選：D．【變式3-3】（2022春?海陵區(qū)校級期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CM→=MDA．AM→=12ABC．AQ→=14【解題思路】根據(jù)題意利用空間向量基本定理求解即可．【解答過程】解：∵，CM→=MD→1，∴CM∴AM→=AB∵CQ→=4QA→1，∴CQ所以AQ→故選：D．【題型4空間向量的線性運算（求參數(shù)）】【例4】（2022春?蕭縣校級月考）已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PC，PD上的點，且NM→=xAB→+yAD→+zAP→，PM→=2MCA．?23 B．23 C．1 【解題思路】由空間向量的線性運算直接計算即可．【解答過程】解：由題可知PC→=AB所以NM→所以x=23，故選：B．【變式4-1】（2021秋?重慶期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在棱BB1和DD1上，且BE=13BB1，DF=12DDA．﹣1 B．0 C．13 D．【解題思路】根據(jù)已知條件，結合空間向量及其線性運算法則，即可求解．【解答過程】解：EF=E=2=23A=?=xAB即x＝﹣1，y＝1，z=1∴x+y+z=1故選：D．【變式4-2】（2021秋?溫州期末）如圖的平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M在BB1上，點N在DD1上，且BM=12BB1，D1N=13D1D，若MN→=xABA．17 B．16 C．23 【解題思路】利用向量的三角形法則、向量的運算性質(zhì)即可得出．【解答過程】解：∵MN→=AN→?∴MN=?∴x＝﹣1，y＝1，z=1∴x+y+z=1故選：B．【變式4-3】（2021秋?香坊區(qū)校級期中）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是面BB1C1C的中心，若AM→=aAB→+b①a+b+c＝2；②13＜b③a＝1；④a＝2c；⑤a＝b．其中正確結論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算表示向量AM→【解答過程】解：如圖所示：AM→=AB=AB即a＝1，b=12，c所以a+b+c＝2，①正確，13＜b＜2a＝1，③正確，a＝2c，④正確，a＝2b，⑤錯誤，故選：D．【題型5向量共線的判定及應用】【方法點撥】①判斷或證明兩向量，(≠)共線，就是尋找實數(shù)λ，使＝λ成立，為此常結合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達．②判斷或證明空間中的三點(如P，A，B)共線的方法：是否存在實數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))；【例5】（2022春?灣里區(qū)期中）已知非零向量a→=3m→?2n→?4p→，b→=(x+1)mA．﹣13 B．﹣5 C．8 D．13【解題思路】根據(jù)向量共線可得b→=λa→，從而可解方程組求出x，y，再求出【解答過程】解：∵m→，n→，p→不共面，故m→，∵a→∥b→，故存在λ≠即（x+1）m→+8n→+2yp→=3λm→∴x+1=3λ8=?2λ2y=?4λ，解得：則x+y＝﹣5．故選：B．【變式5-1】（2021秋?鏡湖區(qū)校級期末）在四面體O﹣ABC中，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點，若OG→=13OA→+x4A．1 B．2 C．23 D．【解題思路】由已知可得ON→=12(OB→+OC→)，OM→=【解答過程】解：ON→=1假設G與M，N共線，則存在實數(shù)λ使得OG→與OG→=13OA解得x＝1．故選：A．【變式5-2】（2022春?市中區(qū)校級月考）已知空間的一組基底{a→，b→，c→}A．2 B．﹣2 C．1 D．0【解題思路】根據(jù)m→與n→共線可得出n→=km→，再根據(jù)【解答過程】解：因為m→與n→共線，空間的一組基底所以xa所以x+y＝0．故選：D．【變式5-3】（2021秋?鄒城市期中）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E→=23A1D【解題思路】法一：分別求出EF→，F(xiàn)B法二：求出EF→=23FB→，結合EF∩FB＝F，從而證明【解答過程】證明：【方法一】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接EF，F(xiàn)B，A1B．因為A1E→所以EF=2=2FB→=A=3顯然，EF→=2又EF∩FB＝F，所以E，F(xiàn)，B三點共線．【方法二】證明：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接EF，F(xiàn)B．由題意，A1E→易得EF→所以EF→∥FB→．又EF∩FB＝F，故E，【題型6向量共面的判定及應用】【方法點撥】①若已知點P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．②證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．【例6】（2022春?成都期中）已知M，A，B，C為空間中四點，任意三點不共線，且OM→=?2OA→+xOB→+yOC→，若M，A，BA．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】由共面向量定理能求出x+y．【解答過程】解：M，A，B，C為空間中四點，任意三點不共線，且OM→=?2OA→+xOB→+yOC→，M則由共面向量定理得：﹣2+x+y＝