高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：專題8.2 基本立體圖形（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）（教師版）

專題8.2基本立體圖形（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022秋·安徽六安·高二期中）下列圖形所表示的幾何體中，不是棱錐的為（

）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)棱錐的定義結(jié)合結(jié)合圖形分析可得答案.【解答過(guò)程】棱錐的定義為：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.根據(jù)棱錐的定義，B、C、D選項(xiàng)中的幾何圖形是棱錐，A選項(xiàng)中的幾何圖形是由兩個(gè)棱錐組合而成的，所以不是棱錐;故選：A.2．（3分）（2022秋·四川遂寧·高二期中）如圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（

）A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)圓柱、圓錐與圓臺(tái)的定義，判斷選項(xiàng)中的圖形旋轉(zhuǎn)一周后所得到的幾何體的形狀，進(jìn)而可得結(jié)果.【解答過(guò)程】A中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱，不合題意；B中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個(gè)相同底面的圓錐，不合題意；C中圖形旋轉(zhuǎn)得到相同底面的圓柱與圓錐，不合題意；D中圖形旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)圓臺(tái)與一個(gè)圓錐，合題意.故選：D.3．（3分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①由五個(gè)面圍成的多面體只能是三棱柱；②由若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體是多面體；③僅有一組對(duì)面平行的五面體是棱臺(tái)；④有一面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐.A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】舉反例說(shuō)明①③不正確；②是多面體的定義，正確；由棱錐的結(jié)構(gòu)特征說(shuō)明④錯(cuò)誤.【解答過(guò)程】解：①中，由五個(gè)面圍成的多面體可以是四棱錐，故①不正確；②中，根據(jù)幾何體的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征可知，多面體是由若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體，故②正確；③中，僅有一組對(duì)面平行的五面體，可以是三棱柱，故③不正確；④中，有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖中的幾何體，滿足條件，但并不是棱錐，故④不正確.故選：B.4．（3分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）①圓臺(tái)可以由任意一個(gè)梯形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成；②用任意一個(gè)與底面平行的平面截圓臺(tái)，截面是圓面；③以半圓的直徑為軸旋轉(zhuǎn)半周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球；④圓柱的任意兩條母線平行，圓錐的任意兩條母線相交，圓臺(tái)的任意兩條母線延長(zhǎng)后相交．A．①② B．②③ C．①③ D．②④【解題思路】利用圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征分析判斷即可【解答過(guò)程】圓臺(tái)是直角梯形繞其直角邊或等腰梯形繞其兩底邊的中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)形成的，故錯(cuò)；②用任意一個(gè)與底面平行的平面截圓臺(tái)，截面是圓面，故正確；球是以半圓的直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體，故③錯(cuò)；④圓柱的任意兩條母線平行，圓錐的任意兩條母線相交，圓臺(tái)的任意兩條母線延長(zhǎng)后相交，故正確．故選：D.5．（3分）（2022秋·重慶萬(wàn)州·高三階段練習(xí)）在古代，斗笠作為擋雨遮陽(yáng)的器具，用竹篾夾油紙或竹葉棕絲等編織而成，其形狀可以看成一個(gè)圓錐體，在《詩(shī)經(jīng)》有“何蓑何笠”的句子，說(shuō)明它很早就為人所用.已知某款斗笠如圖所示，它的母線長(zhǎng)為22，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該斗笠的底面半徑為（

A．4 B．42 C．2 【解題思路】側(cè)面展開(kāi)圖一個(gè)半圓，則此半圓的弧長(zhǎng)等于底面圓周長(zhǎng)，由此求出底面半徑.【解答過(guò)程】設(shè)底面半徑為r，底面圓周長(zhǎng)2π斗笠母線長(zhǎng)l=22，側(cè)面展開(kāi)圖一個(gè)半圓，則此半圓的弧長(zhǎng)1所以l?π故選：C.6．（3分）（2022·全國(guó)·高一期中）如圖，正三棱錐A?BCD中，∠BAD=20°，側(cè)棱長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)C的平面與側(cè)棱AB,AD相交于B1,A．22 B．23 C．4 【解題思路】將正三棱錐A?BCD沿AC剪開(kāi)，要使△CB1D1的周長(zhǎng)的最小則有C【解答過(guò)程】將正三棱錐A?BCD沿AC剪開(kāi)可得如下圖形，∵∠BAD=20°，即∠CAC'=π∴要使△CB1D1的周長(zhǎng)的最小，則又正三棱錐A?BCD側(cè)棱長(zhǎng)為2，△CAC'是等邊三角形，∴(CD故選：D.7．（3分）（2022秋·上海浦東新·高二期中）如圖，圓錐O的軸截面是一個(gè)面積為1的等腰直角三角形，C為弧AB上的一點(diǎn)，∠CPB=45°，E為線段PB上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+OE的最小值為（

）A．2 B．3 C．2 D．2【解題思路】將空間圖形進(jìn)行翻折變化到同一平面，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求解.【解答過(guò)程】將△PBC翻折到平面PAB內(nèi)，得到如圖所示平面四邊形OBC因?yàn)镾△PAB=1所以O(shè)P=OA=OB=1,所以∠BPO=45又因?yàn)椤螩PB=45°，所以翻折后的圖形中∠OPC根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，CE+OE的最小值為OC=O故選:B.8．（3分）（2022秋·上海虹口·高二期末）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，則該半正多面體共有面的個(gè)數(shù)及棱長(zhǎng)分別為（

）A．26，2?1 B．24，2?2 C．26，2?2【解題思路】將該多面體分為三層，分別數(shù)出每一層的面數(shù)，求和即可得正多面體的面數(shù)；設(shè)正多面體的棱長(zhǎng)為a，作出該幾何體的截面，為正八邊形，利用多面體棱長(zhǎng)與正方體的棱長(zhǎng)的關(guān)系列方程即可求解【解答過(guò)程】可以將該多面體分為三層，上層8個(gè)面，中層8個(gè)面，下層8個(gè)面，上下底各1個(gè)面，所以共有8+8+8+1+1=26個(gè)面，設(shè)正多面體的棱長(zhǎng)為a，作出該幾何體的截面如圖，截面圖為正八邊形，由圖可得CD=1?a2，因?yàn)椤鰿DE為等腰直角三角形，所以CE=2CD，即解得：a=12+1故選：A.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022春·甘肅蘭州·高一期末）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)B．繞直角三角形任一邊旋轉(zhuǎn)所得幾何體為圓錐C．用任何一個(gè)平面截球面，得到的截面都是圓D．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱【解題思路】根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征判斷即可.【解答過(guò)程】AC選項(xiàng)根據(jù)圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征即可得到是正確的；B選項(xiàng)需要繞直角三角形的直角邊旋轉(zhuǎn)得到的才是圓錐，故B錯(cuò)；D選項(xiàng)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，如下圖：故選：BD.10．（4分）（2022春·湖北襄陽(yáng)·高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是A．以直角三角形的一條邊所在直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐B．以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐C．經(jīng)過(guò)圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形D．圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)有可能大于圓錐底面圓的直徑【解題思路】根據(jù)圓錐的概念及性質(zhì)，各選項(xiàng)逐一判斷即可得到答案.【解答過(guò)程】A不正確，直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐；B正確，以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；C正確，因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)都相等，所以經(jīng)過(guò)圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形；D正確，如圖所示，圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)l有可能大于圓錐底面圓半徑r的2倍（即直徑）.故選：BCD.11．（4分）（2022春·廣東中山·高一期末）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)不同頂點(diǎn)，然后將它們兩兩相連，可組成空間幾何體．這個(gè)空間幾何體可能是（

）A．每個(gè)面都是直角三角形的四面體；B．每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；C．每個(gè)面都是全等的直角三角形的四面體；D．有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體．【解題思路】根據(jù)正方體的性質(zhì)和四面體的特征，結(jié)合圖形逐個(gè)分析判斷即可【解答過(guò)程】對(duì)于A，每個(gè)面都是直角三角形的四面體，如：E﹣ABC，所以A正確；對(duì)于B，每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，如E﹣BGD，所以B正確；對(duì)于C，若四面體的每個(gè)面都是全等的直角三角形，則必有直角邊等于斜邊，而這樣的直角三角形不存在，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體，如：A﹣BDE，所以D正確；故選：ABD．12．（4分）（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1DA．所得的截面可以是五邊形 B．所得的截面可以是六邊形C．該截面的面積可以為33 【解題思路】利用正方體的對(duì)稱性逐一判斷即可.【解答過(guò)程】過(guò)正方體中心的平面截正方體所得的截面至少與四個(gè)面相交，所以可能是四邊形、五邊形、六邊形，又根據(jù)正方體的對(duì)稱性，截面不會(huì)是五邊形，但可以是正六邊形和非正方形的菱形（如圖）故A錯(cuò)誤，BD正確；因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1的面積為4，當(dāng)截面過(guò)中心O且平行與底面ABCD時(shí)，截面為矩形（此時(shí)也是正方形），且面積為4<33，若這個(gè)截面繞著中心故選：BCD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023秋·上海靜安·高二期末）把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為1:4，母線（原圓雉母線在圓臺(tái)中的部分）長(zhǎng)為9，則原圓錐的母線長(zhǎng)12．【解題思路】根據(jù)圓臺(tái)的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意可得，幾何體如下圖所示：取軸截面可知，圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為CDAB=1設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)相似比可得CDAB=ED即原圓錐的母線長(zhǎng)為12.故答案為：12.14．（4分）（2023秋·上海靜安·高二期末）在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是正方形ABCD、正方形BB1C【解題思路】連接AC，B1C,AB1,找到過(guò)點(diǎn)A、【解答過(guò)程】如圖連接AC，則AC過(guò)點(diǎn)M,連接B1C,則B1C經(jīng)過(guò)點(diǎn)則過(guò)點(diǎn)A、M、N的平面截正方體的截面為等邊△ACB因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為a，故△ACB1邊長(zhǎng)為2a故答案為：3215．（4分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)矩形邊長(zhǎng)為1和2，繞它的長(zhǎng)為2的邊旋轉(zhuǎn)一周后所得如圖的一開(kāi)口容器（下表面密封），P是BC中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處，內(nèi)壁P處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點(diǎn)P處取得米粒，則它所需經(jīng)過(guò)的最短路程為π2+9【解題思路】把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，再利用對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短求解螞蟻需經(jīng)過(guò)的最短路程【解答過(guò)程】該幾何體為圓柱，側(cè)面展開(kāi)圖為矩形ABCD，其中AB=π，AD=2，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在CD上找一點(diǎn)Q，使AQ+PQ作P關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，令A(yù)E與CD交于點(diǎn)Q，則得AQ+PQ的最小值就是AE，其中BE=2+1=3，所以AE=π故答案為：π216．（4分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確的是②③④．（填序號(hào)）①以直角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓柱；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將等腰三角形旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；⑤用一個(gè)平面去截圓柱，得到的截面是一個(gè)圓面或者矩形面．【解題思路】對(duì)于①：舉反例：以直角三角形的斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)圓錐構(gòu)成的組合體.即可否定結(jié)論；對(duì)于②：由圓柱的定義可以判斷；對(duì)于③：由圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可以判斷；對(duì)于④：由圓錐的定義可以判斷；對(duì)于⑤：舉反例：用不平行于底面的平面截圓柱，可以得到的橢圓形截面.即可否定結(jié)論.【解答過(guò)程】對(duì)于①：以直角三角形的斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)圓錐構(gòu)成的組合體.故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：由圓柱的定義可以判斷②正確；對(duì)于③：由圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可以判斷③正確；對(duì)于④：由圓錐的定義可以判斷④正確；對(duì)于⑤：用不平行于底面的平面截圓柱，可以得到的橢圓形截面.故⑤錯(cuò)誤.故答案為：②③④.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）指出如圖（1）（2）所示的圖形是由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的．【解題思路】直接觀察圖形即可求解.【解答過(guò)程】圖（1）是由一個(gè)三棱柱和一個(gè)四棱柱拼接而成的簡(jiǎn)單組合體．圖（2）是由一個(gè)圓錐和一個(gè)四棱柱拼接而成的簡(jiǎn)單組合體．18．（6分）（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，將平面圖形ABCDEFG繞AG邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，作出由此形成的空間圖形，并指出該空間圖形是由哪些簡(jiǎn)單空間圖形構(gòu)成的.【解題思路】結(jié)合條件及旋轉(zhuǎn)體的概念即得.【解答過(guò)程】形成的空間圖形如圖所示，該空間圖形自上而下依次由圓柱、圓臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)構(gòu)成.19．（8分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得小圓錐SO'與圓錐SO底面的面積之比為1:16，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，求圓錐【解題思路】由圓錐平行于底面的截面的性質(zhì)計(jì)算．【解答過(guò)程】解：因?yàn)榻氐眯A錐SO'與圓錐SO底面的面積之比為1:16，所以小圓錐SO'與圓錐如圖，設(shè)SA的長(zhǎng)為y，小圓錐底面與被截的圓錐底面半徑分別是x，4x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得3y=x4x．解得20．（8分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖在一個(gè)長(zhǎng)方體的容器中，里面裝有一些水，現(xiàn)將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的過(guò)程中，判斷下面的說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由．(1)水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形；(2)水的形狀不斷變化，可能是棱柱，也可能變?yōu)槔忮F．【解題思路】根據(jù)繞著棱旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體被相應(yīng)平面所截形成的截面形狀.【解答過(guò)程】(1)不對(duì).水面的形狀就是用一個(gè)與棱（長(zhǎng)方體容器傾斜時(shí)固定不動(dòng)的棱）平行的平面截長(zhǎng)方體時(shí)截面的形狀，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四邊形.(2)不對(duì).水的形狀就是用與棱（長(zhǎng)方體容器傾斜時(shí)固定不動(dòng)的棱）平行的平面將長(zhǎng)方體截去一部分后，剩余部分的幾何體，此幾何體是棱柱，水比較少時(shí)，是三棱柱，水多時(shí)，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱錐.21．（8分）（2022秋·江西宜春·高二開(kāi)學(xué)考試）如圖，正四棱臺(tái)的高是17cm，上、下底面邊長(zhǎng)分別為4cm和(1)求該棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)；(2)求直線B1C1【解題思路】（1）過(guò)點(diǎn)A1、C1分別在平面AA1C1C內(nèi)作A1E⊥AC（2）過(guò)點(diǎn)B1、C1分別在平面BB1C1C內(nèi)作B1M⊥BC【解答過(guò)程】（1）解：過(guò)點(diǎn)A1、C1分別在平面AA1C垂足分別為點(diǎn)