第2章人工智能邏輯課件

第2章人工智能邏輯

2.1命題邏輯與謂詞邏輯

2.2謂詞公式及其邏輯表達(dá)式

2.3*謂詞邏輯的演算律

2.4“非二值”邏輯2.5#模糊邏輯12/5/20231第2章人工智能邏輯李長河主編2.1命題邏輯與謂詞邏輯什么是邏輯？簡單地說，邏輯就是人們用以處理問題而抽象的一種思維規(guī)則或計算方法。本章主要對人工智能常用的謂詞邏輯以及非二值邏輯進(jìn)行了討論，扼要介紹了目前智能領(lǐng)域發(fā)展引用的多種邏輯。12/5/20232第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.1命題邏輯命題邏輯的關(guān)系表達(dá)直觀、生動而簡潔，它是謂詞邏輯得以發(fā)展的前導(dǎo)和基礎(chǔ)。把命題邏輯加以簡單的形式化，就能擴(kuò)展應(yīng)用于謂詞邏輯推理中。1.命題和個體

設(shè)有如下符號命名的語句：

①X：愛因斯坦是一位偉人。②Y：海水是甜的。③W：3+4=9上述X、Y、Z都是陳述性語句，分別具有肯定(True)或否定(False)意義的真值，我們把它們都稱之為命題。其中，諸如“愛因斯坦”，“海水”，數(shù)字“3”、“4”等，它們是命題中的行為中心對象，又稱為個體。

12/5/20233第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.1命題邏輯

定義2.1

命題(Proposition)，即具有真(T)假(F)意義的陳述性語句。注意：

⑴命題一定是陳述性語句；如上述X、Y、W等。例如，下面句子是陳述性語句嗎？①請勿吸煙。②昨晚你看足球聯(lián)賽了嗎？③西湖好美呵?、泼}既可用自然語言(包括中、外文)形式表示，也可用大寫的英文字符或字符串來命名。⑶命題反映了人腦進(jìn)行思維的一種判斷，可見命題表達(dá)自身就含有智能特性。12/5/20234第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.1命題邏輯（1）個體是命題中的中心對象，通常由名詞構(gòu)成。個體可以是具體的人物、物體、一組數(shù)字、地名等，也可以是某個抽象的概念。例如，機(jī)器人、海棠花、理想、快樂、智能等均可作為個體。（2）個體的取值范圍稱為個體域。個體域可以是有限的，也可以是無限的。

定義2.2

所謂個體，是指可以獨立存在的某個事物。

12/5/20235第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.1命題邏輯2.謂詞及變元為了對許多具有進(jìn)步影響人物都使用形同X命題方式贊揚之，可使用一種類同數(shù)學(xué)函數(shù)的形式語言——用含有變量字符或字符串的謂詞來定義：表達(dá)為英文字符串形式：

GIANT(x).其被賦予的漢語解釋是：

x是一位偉人。把GIANT(x)稱為謂詞（Predicate），其中GIANT()是謂詞名；括號中的參量x叫做謂詞的變元，又稱之為項。GIANT(?)

謂詞名謂詞變元12/5/20236第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.1命題邏輯2.謂詞及變元這種由定義的謂詞名、變元，共同構(gòu)成了具有陳述性表達(dá)的形式化語句，稱為謂詞。一個謂詞可以有n（其中n=0,1,2,……）個變元，并稱之為n元謂詞。在謂詞中，謂詞名表達(dá)了語句中除主語個體之外的其余部分，常采用自然語言的謂語動作詞根來表達(dá)；謂詞的變元可在相應(yīng)個體域集合中取值任意一個元素。GIANT(?)

謂詞名謂詞變元12/5/20237第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.1命題邏輯2.謂詞及變元例2-1假如定義英文字符串“OCITY(x)

”設(shè)其含意為：x是一座歷史名城。

解：這里x可以取值“西安”——真值為T；x取值“深圳”真值為F。若取值“北京”則為T、“華盛頓”——T、“野玫瑰”——F、“機(jī)器人”為F等。由上例可見，當(dāng)使用特定的個體常量取代了謂詞中的變元，該謂詞就轉(zhuǎn)換成為一個命題；反之，如果把命題中有獨立結(jié)構(gòu)的個體常量替換成變元參量，則又可把命題轉(zhuǎn)換成為一個具有謂詞結(jié)構(gòu)的表達(dá)式了。12/5/20238第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.1命題邏輯3.謂詞的元和謂詞的階

下面先給出關(guān)于謂詞的元的定義，然后再舉例對定義加以解釋和說明。定義2.3

謂詞中包含個體或變元的數(shù)目，稱為謂詞的元或謂詞的目。例2-2比較下列謂詞或謂詞形式的命題：①LIKE(john，mary)；②ROBOT(john)；③ROBOT(mary)；

④ADDQ(x，y，z)。試解釋具體含義，并指出它們各是幾元謂詞。解：上述謂詞①②③意即“機(jī)器人約翰喜歡瑪麗”；②和③都只有一個個體，稱為一元謂詞；相應(yīng)①則稱為二元謂詞；④表示為表達(dá)式“x+y=z”，其中包含有3個變元，故稱為三元謂詞。依此類推，可推出關(guān)于n元謂詞的概念。

順便指出：在多元謂詞中，變元的排序很重要，一旦確定，就不可隨意交換。

12/5/20239第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.1命題邏輯3.謂詞的元和謂詞的階

定義2.4

謂詞表達(dá)形式中所包容相疊加的含義層次數(shù)數(shù)目，稱為謂詞的階。例2-3為了說明謂詞的階，我們來比較下列謂詞形式的命題：①LIFELESS(outer-stars)；外星球沒有智能生命。②INCORRECT(lifeless(outer-stars))；說“外星球沒有智能生命”是不確切的。解：在上述謂詞形式的命題中，謂詞①只有一層含義，稱為一階謂詞；謂詞②在前一層含義基礎(chǔ)上，又增加了一層新意，共有二層含義。故把謂詞②稱為二階謂詞。依此類推，可推出關(guān)于n階謂詞的概念。注意：在謂詞邏輯演算中，最重要的有三大類：即：命題邏輯演算、一階謂詞邏輯演算和二階謂詞演算。12/5/202310第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.1命題邏輯4.命題與謂詞邏輯的關(guān)系命題邏輯表示比較簡單，只能表達(dá)具體固定的情況，命題是謂詞邏輯特殊事例的生動描述，謂詞邏輯可以靈活表現(xiàn)多種或變化的情況；謂詞表達(dá)是命題邏輯的抽象與推廣?？偟目磥恚}和謂詞的知識表示形式可以相互轉(zhuǎn)換，而謂詞比命題有更強(qiáng)的表達(dá)能力。顯而易見，謂詞是一種描述個體群之間的相互關(guān)系、性質(zhì)及其邏輯結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)表示。人們把采用這種表示的運算，又稱為謂詞邏輯。比較起來：命題邏輯演算太簡單，只能解決具體容易的問題；二階謂詞演算又太復(fù)雜，以至迄今為止，尚未找到最根本有效的算法。

因此，在人工智能中，目前使用最多的還是一階謂詞邏輯演算。12/5/202311第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.2命題和謂詞邏輯基礎(chǔ)命題或謂詞邏輯推理演算，主要可利用連接詞和量詞，把單個的謂詞組合成為謂詞公式來完成?；诿}和謂詞邏輯可相互轉(zhuǎn)換的特性，這里約定：在后繼學(xué)習(xí)中，對命題和謂詞邏輯的相關(guān)公式表達(dá)、相關(guān)定理、定律的論證和推導(dǎo)等，不再加以嚴(yán)格區(qū)別。12/5/202312第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.2命題和謂詞邏輯基礎(chǔ)1.連接詞(Connectives)

所引入的連接詞共有五個。

⑴符號“?”稱為“否定”(Negation)或補，表示“非”的連接關(guān)系。即當(dāng)命題P為真時，則?P為假；反之，當(dāng)命題P為假，則?P為真。⑵符號“∧”稱為“合取”(Conjunction)，表示“與”(AND)或“同時”的關(guān)系。例如，P∧Q，讀作“P與Q”。⑶符號“∨”稱為“析取”(Disjunction)，它表示“或”(OR)的連接關(guān)系。例如，P∨Q，讀作“P或Q”。12/5/202313第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.2命題和謂詞邏輯基礎(chǔ)1.連接詞(Connectives)

⑷符號“→”稱為“條件”(Conditional)或者“蘊涵”(Implication)，它表示“如果……，則……”的定義關(guān)系。例如，在P→Q的表達(dá)式中，表示了“如果P，則Q”的條件推導(dǎo)關(guān)系。這里，又稱P為前件，稱Q后件。P表示了條件的前提；Q表示了邏輯結(jié)論。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，條件表達(dá)式有一個重要特性：當(dāng)前件P=F時，無論后件Q為何值(T或者F)，條件式P→Q真值總是為T；當(dāng)前件P=T時，條件式P→Q的真值總是與后件Q真值相同。⑸符號“

”稱為“雙條件”(Biconditional)或者等價(Equivalence)

連接關(guān)系。例如，表達(dá)式P

Q，讀作“P當(dāng)且僅當(dāng)Q”?；蛘哒f它表示的含義為：P為真，當(dāng)且僅當(dāng)Q為真。

12/5/202314第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.2命題和謂詞邏輯基礎(chǔ)1.連接詞(Connectives)

PQ?P

P∨Q

P∧Q

P→Q

P

Q

FF

TF

F

T

T

FT

T

T

F

T?

FTF

F

T

F

FF

TT

F

T

T

T

T表2-1連接詞定義真值表

12/5/202315第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.2命題和謂詞邏輯基礎(chǔ)2.量詞(Quantifiers)量詞，表示了個體與個體域之間的包含關(guān)系。

⑴全稱量詞(UniversalQuantifier)：用字符“

x”表達(dá)，表示了該量詞作用的轄域為個體域中“所有的個體x”或“每一個體x都”要遵從所約定的謂詞關(guān)系。例2-4

(

x)(現(xiàn)代理工科大學(xué)生(x)→學(xué)習(xí)計算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ)(x))；解：該謂詞邏輯表達(dá)的含義是：“所有現(xiàn)代理工科的大學(xué)生x，都必須學(xué)習(xí)計算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ)課程”。

12/5/202316第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.2命題和謂詞邏輯基礎(chǔ)2.量詞(Quantifiers)⑵存在量詞(ExistentialQuantifier)：用字符“彐x”表達(dá)，表示了該量詞要求“存在于個體域中的某些個體x”或“某個個體x”，要服從所約定的謂詞關(guān)系。例2-5，(

x)(彐y)(CLASSMATE(x,y)∧COLLEGEOFCOMPUTER(x)；解：該謂詞邏輯表達(dá)的意思是：在所有的計算機(jī)學(xué)院學(xué)生中，相對于每一位同學(xué)x，必然存在一個個體y，y同學(xué)與x滿足同班同學(xué)的關(guān)系。

12/5/202317第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.3命題和謂詞邏輯舉例3.命題公式及其描述舉例：⑴小張既聰明，又勤奮，所以他的學(xué)習(xí)成績一直很好。P：小張聰明Q：小張勤奮R：小張學(xué)習(xí)成績一直很好得到：（P∧Q）→R12/5/202318第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.3命題和謂詞邏輯舉例⑵小王總是在圖書館看書，除非他病了或圖書館不開門。P：小王病了Q：圖書館開門R：小王在圖書館看書得到：?（P∨?

Q）

R3.命題公式及其描述舉例：12/5/202319第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.3命題和謂詞邏輯舉例⑴若張先生是小張的父親，則小張是王太太的兒子。解：先設(shè)定謂詞，再設(shè)定變元，并將變元代之以常量，用連接詞運算符連接并加以描述：設(shè)定謂詞：FATHER(x,y)：x是y的父親

SON(y,w)：y是w的兒子

常量：z表示張先生；mz表示小張；wtt——王太太則可描述為：FATHER(z,mz)→SON(mz,wtt)4.謂詞公式及其描述舉例：12/5/202320第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.3命題和謂詞邏輯舉例（2）若x是小張的父親，且y是小張的兄弟，則x也是y的父親。解：先設(shè)定謂詞，再設(shè)定變元，并將變元代之以常量，用連接詞運算符連接并加以描述：設(shè)定謂詞：FATHER(x,y)：x是y的父親

BROTHER(y,w)：y是w的兄弟

常量：mz表示小張則可描述為：FATHER(x,mz)∧BROTHER(y,mz)→FATHER(x,y)4.謂詞公式及其描述舉例：12/5/202321第2章人工智能邏輯李長河主編2.1.3命題和謂詞邏輯舉例（3）*在那遙遠(yuǎn)的地方，有位好姑娘，人們走過她的身旁，都要回頭留戀地張望。解：(彐x){好姑娘(x)∧居住的地方(z，x)∧遙遠(yuǎn)的(z)∧(

y)[人(y)∧行走經(jīng)過(y,z)→回頭留戀地張望(y)]}4.謂詞公式及其描述舉例：12/5/202322第2章人工智能邏輯李長河主編2.2謂詞公式及其邏輯表達(dá)式2.2.1謂詞公式概念復(fù)習(xí)與擴(kuò)充：使用連接詞和量詞，把若干謂詞連接組合在一起，就得到了謂詞邏輯公式(PLF：PredicateLogicFormula)的表達(dá)。下面我們給出謂詞公式的相關(guān)各種概念與定義。定義2.5僅能表達(dá)單一意義且不可再細(xì)劃分的簡單命題稱為原子命題。例如，一階零元(目)命題、一階一元命題、一階二元命題等都是原子命題。定義2.6用連接詞或者量詞把若干原子命題聯(lián)結(jié)組合在一起，就得到了命題公式(PF：PropositionFormula)，又稱之為命題合式公式。定義2.7采用參量變元來替代命題合式公式中的常量，就得到了原子謂詞公式，又稱之為謂詞合式公式（PWFF：PredicateWell-FormedFormula），簡稱合式公式或WFF。

12/5/202323第2章人工智能邏輯李長河主編

2.2.2謂詞公式概念例2-6

小劉和小張是好朋友，總是有喜同樂。小劉很想出一次國，恰巧公司近期指派小劉出國有任務(wù)。小劉夢想成真，自然都特別高興。請用謂詞形式的合式公式表達(dá)之。解：首先定義謂詞，假設(shè)：

①FRIEND(liu,zhang)，表示“小劉和小張是好朋友”；

②T-DREAM(w)，表示“小劉夢想成真”；③VERYGLAD(w,z)，表示“小劉和小張很高興”。

其次，使用合式公式來表達(dá)：FRIEND(liu,zhang)∧T-DREAM(w)

→VERYGLAD(w,z).請問：以上表達(dá)有沒有問題？為什么？12/5/202324第2章人工智能邏輯李長河主編

2.2.2謂詞公式概念

綜上所述，我們可以給出下述關(guān)于謂詞合式公式及其生成規(guī)則的定理。定理2.1謂詞合式公式可依照下述遞歸(Recursion)過程得到：①原子公式是謂詞合式公式；②若A是謂詞合式公式，x是A中的任一個變元，則?A,(

x)A和(彐x)A也都是合式公式；③若A、B都是謂詞合式公式，則?A,?B,A∧B,A∨B,A→B,A

B也都是合式公式；④若有限次使用上述各步生成的公式，仍是合式公式。12/5/202325第2章人工智能邏輯李長河主編

2.2.2謂詞公式概念

注意：為了使合式公式WFF在連接和運算中表達(dá)簡潔一致，對WFF還有如下規(guī)定：⑴WFF最外層括號可以省略；⑵括號內(nèi)連接符運算優(yōu)先，連接符運算優(yōu)先次序為?∧∨→

；⑶同級連接符的運算按照排列順序進(jìn)行。

12/5/202326第2章人工智能邏輯李長河主編

2.2.2謂詞公式的解釋

謂詞公式的解釋：首先以個體域中任意常量來替換謂詞公式中的變元，使謂詞公式轉(zhuǎn)換為一組確定的命題公式；隨后賦予各命題邏輯以真值，就得到了對應(yīng)于該謂詞公式的某個含義的解釋。

由于存在多種組合情況，則一個謂詞公式可有許多個解釋。

12/5/202327第2章人工智能邏輯李長河主編

2.2.2謂詞公式的解釋

下面是關(guān)于謂詞公式解釋的一種書面定義。定義2.8

設(shè)D為謂詞合式公式PWFF的個體域，按照如下規(guī)定對PWFF中的各參量賦值：①為每個個體常量指派D中的一個元素；②為每個n元函數(shù)指派一個從Dn到D的映像，其中Dn={(x1,x2,…,xn)/x1,…,xn∈D}③為每個n元謂詞指派一個從Dn到真值{F,T}的映像。則稱這些指派為公式P在D上的一個解釋。若某個解釋I使PWFF為真(T)，則稱I是該公式的一個正模型，簡稱模型；反之，若某個解釋I，使PWFF為假(F)，則稱I是該公式的一個反模型。

（詳見教材中的例題2-8）12/5/202328第2章人工智能邏輯李長河主編

2.2.3謂詞公式的永真性判定

人們?nèi)舭严胍瓿傻闹悄苋蝿?wù)表示為一個謂詞公式，從而把問題的求解轉(zhuǎn)化為求解該公式的真值問題：

如果某公式的真值總為T，則稱它是永真的；否則，就稱其為非永真或為假。這就是我們要討論的所謂永真性的問題。12/5/202329第2章人工智能邏輯李長河主編謂詞公式永真性判定的舉例說明：

例：（1）若英文字符串“OCITY(x)

”表示其含意為：

x是一座歷史名城。

其中，x∈{西安，洛陽，深圳，北京，劉平，雪花，普京，華盛頓，面粉，墨水，開封，…}那么，x的哪些取值的真值為T？哪些取值的真值又為F？它的哪些解釋是一個正模型？而哪些解釋又是反模型？12/5/202330第2章人工智能邏輯李長河主編謂詞公式永真性判定的舉例說明：

例：（2）若英文字符串“WHITE(w)

”表示其含意為：

w是白的。

其中，w

∈{煤球，雪花，大海，劉平，面粉，墨水，玫瑰花，…}那么w的哪些取值其真值為T？哪些取值的真值又為F？它的哪些解釋為正模型？而哪些解釋又屬于反模型？12/5/202331第2章人工智能邏輯李長河主編謂詞公式永真性判定的思考題？

例：（3）若有公式OCITY(x)∨

WHITE(w)

，其謂詞表示的含意及個體域都同前，那么公式的哪些取值其真值為T？哪些取值的真值又為F？它的哪些解釋為正模型？而哪些解釋又屬于反模型？（4）若有公式OCITY(x)∧

WHITE(w)

，其取值和解釋又如何呢？12/5/202332第2章人工智能邏輯李長河主編

2.2.3謂詞公式的永真性判定

下面使用謂詞公式的解釋概念，給出關(guān)于謂詞公式是否為永真的定義。

定義2.9如果謂詞公式P對個體域D上的任何一個解釋都取得真值T，則稱P在D上是永真的；如果P在每個非空個體域上都是永真的，則稱P永真。定義2.10

對于謂詞公式P，若至少存在一個解釋，使得謂詞公式P在此解釋下的真值為T，則稱公式P是兼容的或可滿足的；反之，如果存在一個解釋集(Set)，使得謂詞公式P在其中的任何解釋下的真值都為F，則稱公式P對該解釋集是不兼容的或不可滿足的。

12/5/202333第2章人工智能邏輯李長河主編

2.2.3謂詞公式的永真性判定根據(jù)上述定義，就能總結(jié)得出如下判斷謂詞公式是否為

永真的定理。定理2.2如果謂詞合式公式WFF對于個體域中的任何一個解釋I都有(

I)WFF（I）=T成立，則該公式WFF是一個永真公式。類同上述，可否引入關(guān)于“永假的”、“非永真的”、“非永假的”概念與定義，并得出關(guān)于謂詞公式永真性問題的若干定理呢？

永假公式——定理2.3如果謂詞合式公式WFF對于個體域中的任何一個解釋I都有(

I)WFF（I）=F成立，則該公式WFF是一個永假公式。12/5/202334第2章人工智能邏輯李長河主編

2.2.3謂詞公式的永真性判定非永真公式——定理2.4

如果謂詞合式公式WFF在個體域中存在解釋I，使得(彐I)WFF（I）=F成立，則該公式WFF是一個非永真公式；并且該解釋I是此公式的一個反模型。非永假公式——定理2.5

如果謂詞合式公式WFF在個體域中存在解釋I，使得(彐I)WFF（I）=T成立，則該公式WFF是一個非永假公式；并且該解釋I是此公式的一個模型。由定義2.10可知，非永假公式可叫做是兼容的或可滿足的，而永假公式又稱為不可滿足的或不兼容的。

12/5/202335第2章人工智能邏輯李長河主編2.3*謂詞邏輯的演算律

常用的謂詞邏輯演算律主要有兩大類：一類是邏輯等價律，另一類是邏輯蘊涵律。下面分別加以介紹。

2.3.1謂詞邏輯等價律

定義2.11

設(shè)P與Q是兩個謂詞公式，D是它們共同的個體域，若P與Q對于D上的任何一個解釋都有相同的真值，則稱公式P和Q在D上是邏輯等價的，記為P

Q

；如果D是任意個體域，則稱公式P和Q是邏輯等價的，記作P

Q。教材中表2-2所示是主要邏輯等價律，共44條，備為讀者應(yīng)用中查閱。

D12/5/202336第2章人工智能邏輯李長河主編謂詞邏輯等價律(一)E1??PP雙重否定律E2P∧PP吸收律㈠（又稱等冪律）E3P∨PPE4P∧QQ∧P交換律

E5

P∨QQ∨PE6

(P∧Q)∧RP∧(Q∧R)結(jié)合律

E7

(P∨Q)∨RP∨(Q∨R)E8P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R)分配律

E9P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R)12/5/202337第2章人工智能邏輯李長河主編謂詞邏輯等價律(二)E10P∧(P∨Q)P吸收律㈡E11P∨(P∧Q)PE12

?(P∧Q)?P∨?Q德·摩根定律E13

?(P∨Q)?P∧?QE14P→Q?P∨Q蘊涵化歸律E15P

Q(P→Q)∧(Q→P)等價律E16P∧TP謂詞與真值演算律E17P∧FFE18P∨TTE19P∨FP12/5/202338第2章人工智能邏輯李長河主編謂詞邏輯等價律(三)E20P∧?PF補余律E21

P∨?PTE22P→(Q→R)P∧Q→R輸出律E23(P→Q)∧(P→?Q)?P歸謬律E24P→Q?Q→?P逆反律E25

(

x)AA（A中不含x）E26

(

x)AAE27(

x)(P(x)∧Q(x))(

x)P(x)∧(x)Q(x)量詞分配律E28(

x)(P(x)∨Q(x))(

x)P(x)∨(

x)Q(x)E29

?(

x)P(x)(

x)?P(x)

量詞轉(zhuǎn)換律E30

?(

x)P(x)(

x)?P(x)12/5/202339第2章人工智能邏輯李長河主編謂詞邏輯等價律(四)E31(

x)P(x)∧A

(

x)(P(x)∧A)量詞轄域擴(kuò)張、收縮律E32(

x)P(x)∨A

(

x)(P(x)∨A)（A中不含x）E33(

x)P(x)∧A

(

x)(P(x)∧A)（A中不含x）E34

(

x)P(x)∨A

(

x)(P(x)∨A)（A中不含x）E35

(

x)(

y)P(x,y)

(

y)(

x)P(x,y)量詞交換律E36

(

x)(

y)P(x,y)

(

y)(

x)P(x,y)E37

(

x)P(x)→A

(

x)(P(x)→A)量詞轉(zhuǎn)換及擴(kuò)張、收縮律E38

(

x)P(x)→A

(

x)(P(x)→A)（A中不含x）E39A→(

x)P(x)

(

x)(A→P(x))E40A→(

x)P(x)

(

x)(A→P(x))E41P∨﹁Q

R

P

Q∨R復(fù)合化歸律E42P

Q∨R

P∧Q

RE43P

(Q

R)

P∧Q

RE44(P

Q)

R

(

P

R)∧(Q

R)

(P∨R)∧(Q

R)12/5/202340第2章人工智能邏輯李長河主編2.3*謂詞邏輯的演算律2.3.2謂詞邏輯蘊涵律定義2.12

在謂詞公式P與Q中，若P→Q是永真的，則稱P永真蘊涵Q；并稱P為前提，Q為P的邏輯結(jié)論，記作P

Q。常用的邏輯蘊涵關(guān)系見教材表2-3所示。教材中表2-3所示為主要邏輯蘊涵律，共有12條。12/5/202341第2章人工智能邏輯李長河主編謂詞邏輯蘊涵律I1P

P∨Q；Q

P∨Q；Q

P

Q附加律

I2P∧Q

P；P∧Q

Q化簡律I3P，P→Q

Q假言推理I4(P→Q)∧?Q

?P

拒取式推理I5

?P

，P∨Q

Q析取三段論推理I6(P→Q)∧(Q→R)

P→R假言三段論推理I7P→Q

(Q→R)→(P→R)I8(P→Q)∧(R→S)

P∧R→Q∧SI9(P

Q)∧(Q

S)

P

RI10

P∨Q，P→Q，Q→R

R二難推理I11

(

x)P(x)

P(y)

全稱固化律(y為個體域中的個體常量)I12

(

x)P(x)

P(y)

存在固化律12/5/202342第2章人工智能邏輯李長河主編

⑴P規(guī)則：在進(jìn)行推理的任何步驟上，都可以引入前提P。⑵T規(guī)則：在進(jìn)行推理時，若同時有一個或多個謂詞公式永真(T)蘊含公式S，則可把S引入推理過程中。⑶CP規(guī)則：若從公式C和前提集合P能推出S來，則由P可推出：P→S。2.3.3幾條重要的推理規(guī)則12/5/202343第2章人工智能邏輯李長河主編⑷反證法規(guī)則：P

Q，當(dāng)且僅當(dāng)P∧?Q

F。即要證明Q成為P的邏輯結(jié)論，其充要條件是后一式必須成立。由反證法規(guī)則推廣之，可得到如下定理：定理2.6Q為P1，P2，……，PN的邏輯結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng)（P1∧P2∧…∧PN∧?Q

F

順便指出，這是一條使用了反證法的定理，也是迄今實現(xiàn)機(jī)器定理證明一種較為可靠的傳統(tǒng)途徑。

2.3.3幾條重要的推理規(guī)則12/5/202344第2章人工智能邏輯李長河主編2.4“非二值”邏輯

正如計算機(jī)中使用“0”和“1”兩個代碼來解釋世界一樣，人們在基于符號的命題與謂詞邏輯中，試圖只使用“F”和“T”二個真值來描述智能特性。因此，人們把這種邏輯描述，又常稱之為二值邏輯或標(biāo)準(zhǔn)邏輯。但是，發(fā)展中的世界，事物運動變化，氣象萬千，是否“非真即假”二值邏輯就能全部包容呢？事實上，在“T”和“F”兩極之間，世界萬物還有著無限精彩表現(xiàn)。例如，依據(jù)研究需要，還可以定義“三值”以及多值邏輯、隨機(jī)表達(dá)邏輯、時態(tài)邏輯、模態(tài)邏輯、模糊邏輯等。由于這些邏輯的特性往往都不是二值的，故統(tǒng)稱其為多值邏輯，或稱為“非二值”邏輯。

12/5/202345第2章人工智能邏輯李長河主編2.4“非二值”邏輯2.4.1多值邏輯的演算定義T(P)來表示命題P為真的程度。則：即T(P)是某個介于0到1之間的任意實數(shù)，稱T(P)為命題P的真度。

按如下規(guī)則來進(jìn)行連接詞的邏輯運算：

（1）（2）（3）（4）（5）

12/5/202346第2章人工智能邏輯李長河主編2.4.1多值邏輯的演算例如，對于，除了可用上面給出的定義計算外，還可以按下述某個定義的規(guī)則來計算其值：

12/5/202347第2章人工智能邏輯李長河主編2.4.1多值邏輯的演算計算還可以按下述某個定義的規(guī)則來計算其值：

……12/5/202348第2章人工智能邏輯李長河主編

那么在實際應(yīng)用中應(yīng)選用哪種定義來計算T(P→Q)

呢？一般要具體情況具體分析對待，即選擇更貼切實際情況的那一種。應(yīng)該指出：上述關(guān)于連接詞運算規(guī)則的定義，只是作為一種數(shù)理邏輯概念象征性的引入，并未深入加以嚴(yán)格證明。讀者在應(yīng)用中可以繼續(xù)延伸甚至發(fā)揮這種思想，從而提出新的或自己獨到的數(shù)學(xué)理念，以便進(jìn)行相關(guān)研究工作。

2.4.1多值邏輯的演算12/5/202349第2章人工智能邏輯李長河主編

三值邏輯是多值邏輯的一種，顧名思義，即限定命題真值具有“真”、“假”、和介于“真”與“假之間共三個狀態(tài)值的邏輯。2.4.2三值邏輯及其布可閥（Bochvar）邏輯12/5/202350第2章人工智能邏輯李長河主編PQ

?PP∨QP∧QP→QP

Q001001100.510.5010.501110100.500.50.500.50.50.50.50.50.50.5110.510.510.510.5100100010.5010.50.50.51101111表2-4一種特定計算規(guī)則的三值邏輯真值表

12/5/202351第2章人工智能邏輯李長河主編關(guān)于布可閥（Bochvar）邏輯，我們可以通過朗讀下面由四個命題構(gòu)成的一首小詩來說明：2.4.2三值邏輯及其布可閥（Bochvar）邏輯這是一個黃昏的早晨。

我走在那寬敞的羊腸小道上。

溫暖的寒風(fēng)撲面。

樹陰中陽光燦爛。

12/5/202352第2章人工智能邏輯李長河主編

例如，有人寫了以下一個隨意命題

X：這個命題是假的。請問，單就命題“X”自身的真值來判斷，其真值是“真”還是“假”呢？為什么？

可見，Bochvar邏輯常常表現(xiàn)出與某種矛盾狀態(tài)有關(guān)，有時人們稱之為語義悖論問題。