同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版1-9

第9節(jié)

連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算初等函數(shù)的連續(xù)性一、四則運(yùn)算的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)2一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的連續(xù)性［例如］（上節(jié)已證）【結(jié)論】三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).【推廣】有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)。由函數(shù)“點(diǎn)連續(xù)”的定義和極限四則運(yùn)算法則，得:【定理1】若f(x),g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)±g(x)f(x)g(x),f(x)/g(x)[g(x0)≠0]在點(diǎn)x0處也連23二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性【結(jié)論】反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).31.

反函數(shù)的連續(xù)性【定理2】嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).（證明略）［例如］【定理3】2、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性【注意】本節(jié)定理3是§5定理6（復(fù)合函數(shù)求極限的法則）的特例，外層函數(shù)由原來的極限存在加強(qiáng)為連續(xù)?！疽饬x】可以與函數(shù)符號(hào)

f

交換次極限符號(hào)序;4【例1】【解】極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)

f

交換次序;條件是：內(nèi)層函數(shù)極限存在、外層函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連續(xù)；則可交換次序.同理（即教材例5）利用lnu的連續(xù)性5【教材例3】【解】可視為由復(fù)合而成，則6又如分離無窮小量交換次序：用arccosu的連續(xù)性分子有理化7【例2】【解】同理可得（即教材例6）8【定理4】9【注意】定理4是定理3的特殊情況.簡(jiǎn)言之：內(nèi)、外層函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)都連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)連續(xù)［例如］因此在是由連續(xù)函數(shù)鏈復(fù)合而成,上連續(xù).10【關(guān)系】§5

定理6：內(nèi)、外層函數(shù)極限都存在，則復(fù)合函數(shù)極限存在.(敘述不嚴(yán)格)本節(jié)定理3：內(nèi)層函數(shù)極限存在、外層函數(shù)加強(qiáng)為連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)極限存在，且極限符號(hào)和函數(shù)符號(hào)可交換次序.本節(jié)定理4：內(nèi)、外層函數(shù)都加強(qiáng)為連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)也連續(xù)（極限存在且等于函數(shù)值、極限符號(hào)和函數(shù)符號(hào)可交換次序）.11三、初等函數(shù)的連續(xù)性★

三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.（已證）★（指出但不詳細(xì)討論）★（由【定理2】反函數(shù)的連續(xù)性可得）12【定理5】

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★由【定理4】復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性(均在其定義域內(nèi)連續(xù)

)定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)【定理6】13【注意】1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);［例如］在這些孤立點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)沒有定義.則既不是連續(xù)點(diǎn)也不是間斷點(diǎn)［又如］在0點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)沒有定義.14【例3】【解】【例4】【解】有理化后消去0因子15【注意】2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.【教材例8】【解Ⅰ】由定理3及極限運(yùn)算法則得【解Ⅱ】ln(1+2x)

~

2x

(x→0)16【補(bǔ)充】則有l(wèi)n[1+u(x)]

~

u(x)

(u(x)→0)17【一般地】的函數(shù)稱為冪指函數(shù)若則

（是定式情況下成立）【注意】①.lim表示自變量的同一變化過程中的極限.18四、小結(jié)1.基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)【說明】分