中考數(shù)學(xué)重要考點題型精講精練人教版：專題10 解直角三角形及其應(yīng)用（熱考題型）-原卷版

專題10解直角三角形及其應(yīng)用【思維導(dǎo)圖】◎考點題型1解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之間的關(guān)系：1.勾股定理（）2.∠A+∠B=90°3.sinA==4.cosA==5.tanA==例．（2022·廣東深圳·二模）如圖，點C在以AB為直徑的圓上，則BC＝（

）A． B． C． D．變式1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組探究活動中要測量河的寬度，該小組同學(xué)在河岸一邊上選定一點A，再在河岸另一邊選定點P和點B，使（河的兩岸平行）.若利用測量工具測得為m米，，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可計算得到小河寬度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米變式2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，一把梯子AB長4米，靠在垂直水平地面的墻上，若梯子與地面的夾角為，則梯子底端A到墻面的距離為（

）A． B． C． D．變式3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）在Rt△ABC中，C90，AB5，AC4．下列四個選項，正確的是（

）A．tanB B．cotB C．sinB D．cosB◎考點題型2解非直角三角形例．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）如圖在一筆直的海岸線l上有相距3km的A，B兩個觀測站，B站在A站的正東方向上，從A站測得船C在北偏東60°的方向上，從B站測得船C在北偏東30°的方向上，則船C到海岸線l的距離是（

）A．km B．km C．km D．km變式1．（2022·廣西河池·二模）如圖，在A處的正東方向有一港口B．某巡艇從A處沿著北偏東60°方向巡邏，到達C處時接到命令，立刻在C處沿東南方向以20海里/小時的速度行駛3小時到達港口B．若取結(jié)果保留一位小數(shù)，則A，B間的距離為（）A．42.3海里 B．73.5海里 C．115.8海里 D．119.9海里變式2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）在東西方向的海岸線上有，兩個港口，甲貨船從港沿東北方向以海里時的速度出發(fā)，同時乙貨船從港口沿北偏西方向出發(fā)，后相遇在點處，如圖所示．問港與港相距（）海里．A． B． C． D．變式3．（2019·全國·九年級單元測試）今年，重慶被“抖音”抖成了“網(wǎng)紅城市”，其中解放碑的游客數(shù)量明顯高于去年同期，如圖，小冉和小田決定用所學(xué)知識測量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并記錄所得數(shù)據(jù)：小冉從大廈DG的底端D點出發(fā)，沿直線步行10.2米到達E點，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF行走5.2米到達F點，最后沿直線步行30米到達解放碑底部B點，小田從大廈DG的底端乘直行電梯上行到離D點51.5米的頂端G點，從G點觀測到解放碑頂端A點的俯角為26°，若A，B，C，D，E，F(xiàn)，G在同一平面內(nèi)，且B，F(xiàn)和C，E，D分別在同一水平線上，則解放碑AB的高度約為（）米．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos26°≈.90，tan26°≈0.49）A．29.0 B．28.5 C．27.5 D．27.0◎考點題型3構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積例．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）利用計算機可以輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，如圖是小明利用幾何畫板軟件，繪制的他家（點）到兩個景點，的示意圖，景點位于他家的東南（即南偏東）方向，景點位于他家的正南方向，并測得，，則景點位于景點的（

）A．南偏東方向 B．北偏東方向 C．北偏東方向 D．南偏東方向變式1．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1是一個小區(qū)入口的雙翼閘機，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為8cm（如圖2），雙翼的邊緣AC＝BD＝60cm，且與閘機側(cè)立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°．當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（）A．608 B．608 C．64 D．68變式2．（2020·浙江·寧波市惠貞書院八年級期末）如圖（1）是一個六角星的紙板，其中六個銳角都為60°，六個鈍角都為120°，每條邊都相等，現(xiàn)將該紙板按圖（2）切割，并無縫隙無重疊地拼成矩形ABCD．若六角星紙板的面積為9cm2，則矩形ABCD的周長為（

）A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm變式3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個四邊形的面積是（

）A． B． C． D．◎考點題型4仰俯角問題例．（2022·山東棗莊·中考真題）為傳承運河文明，弘揚民族精神，棗莊市政府重建了臺兒莊古城．某?！熬C合與實踐”小組開展了測量臺兒莊古城城門樓（如圖①）高度的實踐活動，請你幫他們完成下面的實踐報告．測量臺兒莊古城城門樓高度的實踐報告活動課題測量臺兒莊古城城門樓高度活動目的運用三角函數(shù)知識解決實際問題活動工具測角儀、皮尺等測量工具方案示意圖測量步驟如圖②（1）利用測角儀站在B處測得城門樓最高點P的仰角為39°；（2）前進了10米到達A處（選擇測點A，B與O在同一水平線上，A，B兩點之間的距離可直接測得，測角儀高度忽略不計），在A處測得P點的仰角為56°．參考數(shù)據(jù)sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．計算城門樓PO的高度（結(jié)果保留整數(shù)）變式1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）某學(xué)校九年級的學(xué)生去參加社會實踐，在風(fēng)景區(qū)看到一棵古松，不知這棵古松有多高，下面是他們的一段對話：甲：我站在此處看樹頂仰角為45°.乙：我站在此處看樹頂仰角為30°.甲：我們的身高都是1.5m．乙：我們倆相距20m．請你根據(jù)兩位同學(xué)的對話，計算這棵古松DE的高度．（結(jié)果保留根號）．變式2．（2022·河南駐馬店·九年級期末）駐馬店新一代天氣雷達樓位于駐馬店市天中廣場東南角，東臨樂山大路，南臨通達路．建筑造型采用簡潔現(xiàn)代的建筑風(fēng)格，在結(jié)構(gòu)上通過層層退臺的裙房處理及塔樓6個方向曲面變化，利用雷達獨特的球形造型，充分體現(xiàn)了駐馬店市騰飛的精神面貌，寓意駐馬店市像一顆正在冉冉升起的“天中明珠”，屹立于中原大地．某數(shù)學(xué)活動小組到天中廣場測量雷達樓的高度，如圖，他們在測量點A處測得雷達樓球形天線罩頂端B的仰角是28°，然后沿水平方向前進100米到達C點，此時測得雷達樓球形天線罩頂端B的仰角是45°；雷達樓底部D和A、C兩點在同一水平線上．(1)求雷達樓BD的高度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；(2)雷達樓BD的實際高度是110米，請計算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減少誤差的合理化建議．變式3．（2022·安徽合肥·九年級期末）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟大樓頂部的仰角為30°，看這棟大樓底部上方3m處點E的俯角為60°，熱氣球與大樓的水平距離為80m，求這棟大樓的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，）◎考點題型5方位角問題例．（2022·遼寧丹東·中考真題）如圖，我國某海域有A，B，C三個港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是單位“海里”的符號）處，A港口在B港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile處，在A港口北偏東53°方向且位于C港口正北方向的點D處有一艘貨船，求貨船與A港口之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）變式1．（2022·廣西梧州·九年級期末）如圖，一艘輪船在海面上由南向北航行，當(dāng)該輪船行駛到B處時，發(fā)現(xiàn)燈塔C在它的北偏東34°方向上，輪船繼續(xù)向北航行，30分鐘后到達A處，此時發(fā)現(xiàn)燈塔C在它的東北方向上，已知輪船航行的速度是每小時40海里．求此時輪船與燈塔C的距離AC．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，)變式2．（2022·湖北湖北·九年級專題練習(xí)）如圖一艘輪船以50海里/小時速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時到達B處，此時測得燈塔在北偏東30°方向上．(1)求的度數(shù)；(2)已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？變式3．（2022·山東德州·二模）如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=8km．有一艘小船在點P處，從A處測得小船P在北偏西60的方向，從B處測得小船P在北偏東45°的方向．(1)求點P到海岸線的距離（結(jié)果保留根號）；(2)小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向．求點C與點B之間的距離．（結(jié)果精確到0.1km，，）◎考點題型6坡度比問題例．（2022·浙江寧波·八年級開學(xué)考試）如圖，扶梯AB的坡比為4：3，滑梯CD的坡比為1：2．設(shè)AE=30dm，BC=50dm，一女孩從扶梯走到滑梯的頂部，然后從滑梯滑下，她經(jīng)過的總路程是多少（結(jié)果保留根號）？變式1．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔BC，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，然后他們沿著坡度為i=1：2.4的斜坡AP攀行了26米到達點A，在坡頂A處又測得該塔的塔頂B的仰角為76°．(1)求坡頂A到地面PQ的距離；(2)計算古塔BC的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4）變式2．（2022·江蘇·靖江市教師發(fā)展中心二模）如圖，是一垂直于水平面的建筑物，一位同學(xué)從建筑物底端出發(fā)，沿水平方向向左行走11.6米到達點，再經(jīng)過一段坡路，米，坡面的坡度（即），然后再沿水平方向向左行走4米到達點，在處測得建筑物頂端的仰角37°．(1)求點到建筑物的水平距離；(2)求建筑物的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，均在同一平面內(nèi)．）變式3．（2022·海南三亞·一模）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面D處測得樓房頂部A的仰角為，沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米到達E處測得樓房頂部A的仰角為，已知坡面米，山坡的坡度（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）．(1)填空：_______度；(2)求樓房AB高度（結(jié)果保留根號）．◎考點題型7其它問題例．（2022·四川遂寧·九年級專題練習(xí)）某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)小組某天下午實踐活動課時，測量朝西教學(xué)樓前的旗桿的高度．如圖所示，當(dāng)陽光從正西方向照射過來時，旗桿的頂端A的影子落在教學(xué)樓前的草坪地C處，測得影長，，，與地面的夾角，在同一時刻，測得一根長為0.5m的直立竹竿的影長恰為1m．根據(jù)這些數(shù)據(jù)求旗桿的高度．變式1．（2022·吉林·中考真題）動感單車是一種新型的運動器械．圖1是一輛動感單車的實物圖，圖2是其側(cè)面示意圖．△BCD為主車架，AB為調(diào)節(jié)管，點A，B，C在同一直線上．已知BC長為70cm，∠BCD的度數(shù)為58°．當(dāng)AB長度調(diào)至34cm時，求點A到CD的距離AE的長度（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）變式2．（2022·遼寧大連·二模）如圖1，圖2分別是網(wǎng)上某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據(jù)商品介紹，獲得了如下信息：滑桿DE、箱長BC、拉桿AB的長度都相等，即，點B、F在線段AC上，點C在DE上，支桿，，，．請根據(jù)以上信息，解決下列問題：(1)求滑竿DE的長度；(2)求拉桿端點A到水平滑桿ED