專題01數(shù)列的概念

專題01數(shù)列的概念目錄TOC\o"13"\h\z\u題型一：數(shù)列的通項(xiàng) 3題型二：已知Sn＝f(n)求通項(xiàng)公式 4題型三：數(shù)列的單調(diào)性 5題型四：數(shù)列的最值 9題型五：數(shù)列的周期性 13知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1．?dāng)?shù)列的概念概念含義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，其中第1項(xiàng)也叫首項(xiàng)通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型含義按項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即恒有an＋1>an(n∈N*)遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即恒有an＋1<an(n∈N*)常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)3.數(shù)列的表示法表示法定義列表法列出表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式an＝f(n)遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.如an＋1＝f(an)，an＝f(an－1，an＋1)(n≥2)等4.an與Sn的關(guān)系數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))5．?dāng)?shù)列最值：若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1))(n≥2)，則an最大；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1))(n≥2)，則an最?。}精講例題精講數(shù)列的通項(xiàng)【要點(diǎn)講解】給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí)，主要從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：①熟悉一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的數(shù)列，分子、分母分別求通項(xiàng)，較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系；③若第n項(xiàng)和第n＋1項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)，那么用符號(hào)(－1)n或(－1)n＋1來(lái)適配；④對(duì)于較復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式，可使用添項(xiàng)、通分、分割等方法，將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)常見數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納；⑤注意通項(xiàng)公式的形式不一定是唯一的，如數(shù)列1,0,1,0，…的通項(xiàng)公式可寫成an＝eq\f(1＋－1n＋1,2)或an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))，甚至分段形式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n是奇數(shù)，,0，n是偶數(shù)))等．?dāng)?shù)列2，5，11，20，，47，中的值為A．28 B．32 C．33 D．27【解答】解：由題意知，數(shù)列2，5，11，20，，47，，，，則，解得，故選：．?dāng)?shù)列，7，，13，的一個(gè)通項(xiàng)公式為A． B． C． D．【解答】解：由符號(hào)來(lái)看，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以通項(xiàng)公式中應(yīng)該是，數(shù)值4，7，10，13，滿足，所以通項(xiàng)公式可以是．故選：．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列，即，，，，，故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為．故選：．已知Sn＝f(n)求通項(xiàng)公式【要點(diǎn)講解】Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．值得注意的是：最后要么確定首項(xiàng)a1，要么就是驗(yàn)證a1是否滿足n≥2時(shí)得到的通項(xiàng)，滿足的話，可以“合并統(tǒng)一”，不滿足只能寫成分段形式．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以．故選：．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則A．7 B．8 C．9 D．17【解答】解：數(shù)列的前項(xiàng)和，．故選：．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為A．15 B．17 C．49 D．64【解答】解：數(shù)列的前項(xiàng)和，則．故選：．設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解答】解：由．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．不適合上式．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求出的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值及取最小值時(shí)的值．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；顯然是，也滿足，所以；（2）因?yàn)?，又，所以?dāng)或時(shí)，取得最小值．?dāng)?shù)列的單調(diào)性【要點(diǎn)講解】數(shù)列是特殊函數(shù)，研究其性質(zhì)一般都離不開函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.解決數(shù)列單調(diào)性的方法主要有：作差比較、作商比較及結(jié)合相應(yīng)函數(shù)直觀判斷，求最大項(xiàng)可通過(guò)列不等式組來(lái)求，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷時(shí)，要時(shí)刻注意n∈N*取值的離散性.下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是A． B． C． D．【解答】解：對(duì)于，選項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列；對(duì)于選項(xiàng)，，數(shù)列是遞增數(shù)列；對(duì)于選項(xiàng)，，數(shù)列不是遞增數(shù)列．故選：．已知數(shù)列的前項(xiàng)的積為，且，2，3，，則數(shù)列A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng) C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【解答】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，而，故為最小項(xiàng)，為最大項(xiàng)．故選：．已知數(shù)列中，，則數(shù)列的最小項(xiàng)是A．第1項(xiàng) B．第3項(xiàng)、第4項(xiàng) C．第4項(xiàng) D．第2項(xiàng)、第3項(xiàng)【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列中，，則，當(dāng)時(shí)，有，則有，當(dāng)時(shí)，有，則有，當(dāng)時(shí)，有，則有，故數(shù)列的最小項(xiàng)是第2項(xiàng)、第3項(xiàng)．故選：．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列的通項(xiàng)公式：（符合此種形式即可）．①，，；②單調(diào)遞增．【解答】解：假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，首項(xiàng)為，由性質(zhì)①可得：，即，再根據(jù)②可知，公差，顯然滿足題意．故答案為：（符合此種形式即可）．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，且為單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且數(shù)列是遞增數(shù)列，，恒成立，即，恒成立，而，隨的增大而增大，即當(dāng)時(shí)，，取得最小值2，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：．設(shè)且，已知數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則的取值范圍是．【解答】解：因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，解得，即的取值范圍是．故答案為：．已知數(shù)列滿足，若對(duì)于任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：對(duì)于任意的都有，數(shù)列單調(diào)遞減，可知．①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，而單調(diào)遞減，，解得，因此：．②當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，應(yīng)舍去．綜上可知：實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．若數(shù)列的通項(xiàng)公式是，且恒成立，則．【解答】解：因?yàn)椋瑒t，所以，故當(dāng)或6時(shí)，取得最大項(xiàng)，因?yàn)楹愠闪?，則或6．故答案為：5或6．已知數(shù)列為遞減數(shù)列，其前項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列遞減，綜上所述，若使為遞減數(shù)列，只需滿足，即，解得，故答案為：．?dāng)?shù)列的最值【要點(diǎn)講解】數(shù)列的最值一般包括“項(xiàng)的最值”和“和的最值”．解決“項(xiàng)的最值”問(wèn)題，一般有兩種角度：(1)通過(guò)不等式組研究，如求最大項(xiàng)，則需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))通過(guò)解不等式組得到n的范圍，再結(jié)合n∈N*，確定具體項(xiàng)；(2)從項(xiàng)的“函數(shù)性”出發(fā)，以函數(shù)的視角從單調(diào)性出發(fā)得到最值．解決“和的最值”問(wèn)題，一般有兩種角度：(1)從“通項(xiàng)”著手，研究通項(xiàng)的函數(shù)單調(diào)性和“變號(hào)”情況，從而確定“和的最值”；(2)從“和”的函數(shù)單調(diào)性出發(fā)，直接根據(jù)單調(diào)性得到最值．在數(shù)列中，，則數(shù)列中的最大項(xiàng)是第項(xiàng)．【解答】解：根據(jù)題意知：，解得；，解得，所以，，所以．故答案為：8．在數(shù)列中，，則的最大值是A． B． C． D．【解答】解：由題意可得．根據(jù)對(duì)勾函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，在上遞增，在上遞減，所以在中，，．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，．；因?yàn)?，所以，所以的最大值是．故選：．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則這個(gè)數(shù)列中的最大項(xiàng)是A．第12項(xiàng) B．第13項(xiàng) C．第14項(xiàng) D．第15項(xiàng)【解答】解：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，取得最大值．故選：．若，則數(shù)列的最大項(xiàng)是第項(xiàng)．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，是開口向下，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，距離對(duì)稱軸最近的正整數(shù)為8，若，該數(shù)列中最大項(xiàng)是第8項(xiàng)．故答案為：8．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別為，，則．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，由，得，則當(dāng)且時(shí)，，，，，；當(dāng)時(shí)，，由，得，則當(dāng)且時(shí)，，又，，，．故答案為：0．記為數(shù)列的前項(xiàng)和．若，2，，則A．有最大項(xiàng)，有最大項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) C．有最小項(xiàng)，有最大項(xiàng) D．有最小項(xiàng)，有最小項(xiàng)【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列，，對(duì)于二次函數(shù)，，其開口向下，對(duì)稱軸為，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，對(duì)于，時(shí)，最大；且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)或8時(shí)，最大，故有最大項(xiàng)，有最大項(xiàng)；故選：．已知數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求的最大值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解答】解：（1）數(shù)列的前項(xiàng)和．對(duì)稱軸為，因?yàn)?，將，代入得，，，所以?dāng)時(shí)，取得最大值15．（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．已知等差數(shù)列中滿足，，（1）求通項(xiàng)公式；（2）試求數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，解得．或．（2）時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，時(shí)，取得最小值為，無(wú)最大值；時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，時(shí)，取得最大值為，無(wú)最小值．?dāng)?shù)列的周期性【要點(diǎn)講解】(1)解決數(shù)列周期性問(wèn)題，一般先寫出前幾項(xiàng)從而確定周期，再依據(jù)周期求解.待求式中出現(xiàn)較大下標(biāo)或已知條件中有關(guān)鍵恒等式，都是周期數(shù)列的“信號(hào)”.如an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，即f(x＋1)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，由函數(shù)周期性相關(guān)結(jié)論可知該數(shù)列的一個(gè)周期為4.(2)通項(xiàng)中函數(shù)和三角函數(shù)的數(shù)列的周期性問(wèn)題的突破點(diǎn)往往從三角函數(shù)出發(fā)，根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的最小正周期公式T＝eq\f(2π,|ω|)得出三角函數(shù)的周期，研究該周期對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的周期性變化的影響，通過(guò)“周期性并項(xiàng)”發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而解決問(wèn)題．?dāng)?shù)列中，，，，那么A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，，故選：．在數(shù)列中，已知，，則．【解答】解：由，，可得，，，，，所以數(shù)列的最小正周期為4，所以．故答案為：1．在數(shù)列中，已知，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則A．1 B．1010 C．1 D．2019【解答】解：可得，，，，．，，，；，；，，所以每四項(xiàng)和為2，則．故選：．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則；【解答】解：各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，，，解得，．故答案為：19．課后課后練習(xí)一．選擇題（共6小題）1．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，可得．故選：．2．已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是A．的值域是 B．的最小值為 C． D．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列【解答】解：由于函數(shù)，所以，故，由于，故，所以，故錯(cuò)誤；正確；由于故函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，故正確；由于函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故的最小值為，故正確．故選：．3．已知數(shù)列中，，則數(shù)列的最小項(xiàng)是A．第1項(xiàng) B．第3項(xiàng)、第4項(xiàng) C．第4項(xiàng) D．第2項(xiàng)、第3項(xiàng)【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列中，，則，當(dāng)時(shí)，有，則有，當(dāng)時(shí)，有，則有，當(dāng)時(shí)，有，則有，故數(shù)列的最小項(xiàng)是第2項(xiàng)、第3項(xiàng)．故選：．4．記為數(shù)列的前項(xiàng)和．若，2，，則A．有最大項(xiàng)，有最大項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) C．有最小項(xiàng)，有最大項(xiàng) D．有最小項(xiàng)，有最小項(xiàng)【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列，，對(duì)于二次函數(shù)，，其開口向下，對(duì)稱軸為，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，對(duì)于，時(shí)，最大；且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)或8時(shí)，最大，故有最大項(xiàng)，有最大項(xiàng)；故選：．5．若數(shù)列為，，，，，則是這個(gè)數(shù)列的A．不在此數(shù)列中 B．第25項(xiàng) C．第26項(xiàng) D．第27項(xiàng)【解答】解：設(shè)數(shù)列7，10，13，16，，為數(shù)列，則數(shù)列是以7為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，令解得．故選：．6．已知數(shù)列滿足，若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：若為遞增數(shù)列，則，則有，對(duì)于恒成立．，對(duì)于恒成立，．故選：．二．多選題（共2小題）7．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說(shuō)法正確的是A．是遞減數(shù)列 B． C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值【解答】解：當(dāng)時(shí)，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故正確；，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故正確；因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，開口向下，而是正整數(shù)，且或4距離對(duì)稱軸一樣遠(yuǎn)，所以當(dāng)或4時(shí)，取得最大值，故正確．故選：．8．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B． C．為最小項(xiàng) D．為最大項(xiàng)【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，錯(cuò)誤；對(duì)于，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，，，則錯(cuò)誤；對(duì)于和，由于，易得當(dāng)時(shí)，，有，當(dāng)時(shí)，，有，則為最小項(xiàng)，為最大項(xiàng)，故選：．三．填空題（共4小題）9．已知數(shù)列的前8項(xiàng)1，1，2，3，5，10，13，21，令，則的最小值點(diǎn)7．【解答】解：，結(jié)合二次函數(shù)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，即的最小值點(diǎn)．故答案為：7．10．已知數(shù)列為遞增數(shù)列，．則的取值范圍是．【解答】解：數(shù)列為遞增數(shù)列，，，，，，的取值范圍是．故答案為：．11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【解答】解：由，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．所以．故答案為．12．，，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式是．【解答】解：分子為偶數(shù)列，分母為兩個(gè)相鄰連續(xù)奇數(shù)相乘，則，，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式是．故答案為：．四．解答題（共4小題）13．已知數(shù)列