浙江省A9協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1

浙江省A9協(xié)作體2023學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級、學(xué)號和姓名；座位號寫在指定位置；3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若橢圓上一點(diǎn)到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)到另外一個(gè)焦點(diǎn)的距離（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行求解.【詳解】由橢圓方程可知，解得.又橢圓上一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離和為，所以M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：B2.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，解得，故選：A3.若直線的一個(gè)方向向量，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用方向向量可求得其斜率為，即可求得傾斜角.【詳解】由方向向量為可知，直線斜率為，所以傾斜角滿足，即可得.故選：C4.已知圓與圓，則兩圓的公切線條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的方程可確定兩圓圓心和半徑，易得圓心距等于兩半徑之和，即可得兩圓外切，所以可得兩圓有3條公切線.【詳解】易知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，易知兩圓圓心距，兩半徑之和為，即滿足，此時(shí)兩圓外切，因此兩圓有3條公切線.故選：C5.若直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，則以為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)寫出以為直徑的圓的方程即可.【詳解】直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，則，則以為直徑的圓半徑為，圓心即為中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓的方程為，化簡得：.故選：A6.正方體中，二面角的余弦值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，求兩個(gè)平面的法向量后可得所求二面角的余弦值.【詳解】分別以為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，可得，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，取，得，故，又平面，故平面的一個(gè)法向量為，所以，所以二面角的余弦值為.故選：D.7.已知點(diǎn)為橢圓:的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，利用橢圓的定義以及圓的幾何性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】如下圖所示：在橢圓中，，則，圓的圓心，半徑，圓心為橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓定義可得，，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，由圓幾何性質(zhì)可得，所以，所以的最小值是.故選：C.8.如圖，一束平行光線與地平面的夾角為，一直徑為24cm的籃球在這束光線的照射下，在地平面上形成的影子輪廓為橢圓，則此橢圓的離心率為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由圖可得，求出橢圓的，再代入離心率公式，即可得到答案；【詳解】由圖可得，橢圓的為球的直徑，故，橢圓的為球在地面投影，故，，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.直線l經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線l的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況，分別設(shè)直線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線，則，得，即，整理為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，設(shè)直線，則，得，方程為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，在兩坐標(biāo)軸上的截距相反時(shí)，設(shè)直線，則，得，方程為.故選：ACD10.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，下列結(jié)論正確的有（）A.B.向量與的夾角的余弦值為C.點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為D.向量在上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式可判斷A；根據(jù)空間向量的夾角坐標(biāo)公式可判斷B；根據(jù)點(diǎn)的對稱性可判斷C；根據(jù)投影向量的概念可判斷D.【詳解】記，，對于A，，故A錯誤；對于B，，，，設(shè)與的夾角為，則，故B正確；對于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故C錯誤；對于D，在上的投影向量為，D正確．故選：BD．11.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，底面，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)，使得，則線段的長度可能值為（）A.3 B.4C.5 D.6【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再由基本不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以，即.故選：BCD12.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：在橢圓:中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長、短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓就稱為橢圓的蒙日圓，其圓方程為.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)均在橢圓上，直線：，則下列描述正確的為（）A.點(diǎn)與橢圓的蒙日圓上任意一點(diǎn)的距離最小值為B.若上恰有一點(diǎn)滿足：過作橢圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的方程為C若上任意一點(diǎn)都滿足，則D.若，橢圓的蒙日圓上存在點(diǎn)滿足，則面積的最大值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)橢圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值為，蒙日圓上的點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離最小值為半徑減判斷A；根據(jù)相切列方程，求出橢圓方程，判斷B；分析得到點(diǎn)應(yīng)在蒙日圓外，從而判斷C；根據(jù)題意表示出面積，求面積最大值，判斷D.詳解】由離心率且得：，的蒙日圓方程為：，對于選項(xiàng)A，由于原點(diǎn)到蒙日圓上任意一點(diǎn)的距離都為，到橢圓上任意一點(diǎn)的距離最大值為，所以上任意一點(diǎn)與的蒙日圓上任意一點(diǎn)的距離最小值為，選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B，由蒙日圓的定義可知：直線與蒙日圓：相切，則圓心到直線的距離為，所以，則的方程為：，選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，由蒙日圓的定義可知：點(diǎn)應(yīng)在蒙日圓外，所以直線與蒙日圓：相離，則圓心到直線的距離為，所以，選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D，橢圓的方程為：，蒙日圓方程為：，設(shè)，則，設(shè)，，則，，將代入方程中，則，，所以直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立：，得：，所以，，所以，又因?yàn)樵c(diǎn)到的距離為，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以選項(xiàng)D正確.故選：BD.非選擇題部分三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，則的值為___【答案】1【解析】【分析】根據(jù)方程為橢圓，以及焦點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)k值即可.【詳解】因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，所以，且.故答案為：114.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的幾何意義求最值.【詳解】因?qū)崝?shù)滿足，表示原點(diǎn)與直線上點(diǎn)之間距離，因?yàn)榈街本€距離為，所以的最小值為.故答案為：15.已知點(diǎn)分別為圓與圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的動點(diǎn)，則的最小值為___.【答案】7【解析】【分析】作出圓M關(guān)于x軸的對稱圓圓，根據(jù)對稱性可知，.【詳解】如圖，圓M關(guān)于x軸的對稱圓為圓，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn).圓，圓心，半徑，則圓M關(guān)于x軸的對稱圓圓，圓心，半徑；圓，圓心，半徑.當(dāng)共線時(shí)，最小，此時(shí).故答案為：716.已知正方體的棱長為，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動，若直線平面，則點(diǎn)的軌跡長度為___.【答案】【解析】【分析】過作面的平行平面，該平面與幾何體的截面為四邊形，求出周長即可得結(jié)果.【詳解】分別取，中點(diǎn)，，連結(jié)，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槊?，面，所以面，由正方體的性質(zhì)易得，面，面，所以面，又因?yàn)?，面，?所以面面，由于，，所以，即四點(diǎn)共面，由于直線平面，所以點(diǎn)的軌跡為四邊形，軌跡長度為：，故答案為：.四、解答題：（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知直線和直線的交點(diǎn)為（1）求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；（2）若點(diǎn)到直線距離為，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線平行，即可求解直線方程；（2）代入點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【小問1詳解】聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)，又所求直線與直線平行，所以所求直線的斜率為，則所求的直線方程為：，即；【小問2詳解】點(diǎn)到的距離為解方程可得.18.如圖，直三棱柱，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）求異面直線與所成角的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直可得線線垂直，再由線面垂直得出面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】直三棱柱中，平面，平面，，又等腰中，點(diǎn)為得中點(diǎn)，，又，平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.19.已知圓：.（1）若直線過定點(diǎn)且與圓相切，求直線的方程；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）直線的方程為和.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分切線的斜率存在與不存在討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，由條件可得當(dāng)直線l與直線垂直時(shí)，直線l被圓截得的弦最小，再由弦長公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】已知圓心，半徑，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直，即，圓心到直線的距離為，解方程可得，此時(shí)直線方程為，整理得.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，滿足題意.所以直線的方程為和.【小問2詳解】直線的方程可化為點(diǎn)斜式，所以l過定點(diǎn).又點(diǎn)在圓C內(nèi)，當(dāng)直線l與直線垂直時(shí)，直線l被圓截得的弦最小.因?yàn)?，所以l的斜率，所以l的方程為，即，因?yàn)?，，此時(shí)所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.20.已知橢圓的離心率，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求證：直線與軸交于定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用離心率以及橢圓經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)立解方程組，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為并于橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理寫出直線的方程，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)表達(dá)式即可得.【小問1詳解】由離心率可得，將點(diǎn)代入橢圓方程可得，又；解得，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，，則，直線的方程為，直線與橢圓聯(lián)立，消去，得，則可得，，易知，得由題意，直線的方程為，令，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以直線與軸交于定點(diǎn)21.已知空間幾何體，底面為菱形，，，，，，平面平面，，.（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，即可求證；（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角的正弦值.【小問1詳解】證明：平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，.【小問2詳解】平面，與平面所成角為，又，所以正三角形，故.，，為等邊三角形，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為，，軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，故可得點(diǎn)坐標(biāo)為所以，設(shè)平面得法向量為，又，，，令，則，可得，設(shè)直線與平面所成角為，22.已知橢圓，、為橢圓的左右焦點(diǎn)，、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn).（1）若，求；（2）設(shè)直線和直線的斜率分別為、，且直線與線段交于點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，寫出直線的方程，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可求得的值；（2）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)直線與線段求出實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理可求出的取值范圍.【小問1詳解】解：設(shè)、，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：