解直角三角形課件

北京中考題組(2018北京,22,5分)如圖,AB是☉O的直徑,過☉O外一點P作☉O的兩條切線PC,PD,切點分別為C,D,連接OP,CD.求證:OP⊥CD;連接AD,BC,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求OP的長.1解析

(1)證明:∵PC,PD是☉O的兩條切線,∴PD=PC,∠OPD=∠OPC,∴OP⊥CD.(2)設(shè)OP與CD交于點Q,連接OD.∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD=50°,∵∠CBA=70°,∴∠ADC=110°,∴∠ODC=60°.又∵OP⊥CD,∴∠OQD=90°,,DQ=OD·cos

60°=1.∴OQ=OD·sin

60°=2×

=∵PD是切線,∴∠PDO=90°,∴∠PDC=30°,∴PQ=DQ·tan30°=1×

=

.∴OP=PQ+QO=

.思路分析

本題第(1)問可以通過切線的相關(guān)定理和等腰三角形“三線合一”來解決.本題第(2)問需要添加輔助線構(gòu)造三角形來推導(dǎo)角的度數(shù),借助特殊角的三角函數(shù)解決問題.2教師專用題組考點一 銳角三角函數(shù)1.(2018云南,12,4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,則∠A的正切值為

(

)A.3

B.

C.

D.答案

A

∵AC=1,BC=3,∠C=90°,∴tan

A=

=3.32.(2018貴州貴陽,7,3分)如圖,A,B,C是小正方形的頂點,且每個小正方形的邊長都為1,則tan∠BAC的值為(

)A.B.1C.D.4答案

B

如圖,連接BC.在△ABD和△BCE中,∴△ABD≌△BCE(SAS),∴AB=BC,∠ABD=∠BCE.∵∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,即∠ABC=90°,∴tan∠BAC=

=1,故選B.53.(2017甘肅蘭州,3,4分)如圖,一個斜坡長130m,坡頂離水平地面的距離為50m,那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于

(

)A.B.C.D.63.(2017甘肅蘭州,3,4分)如圖,一個斜坡長130m,坡頂離水平地面的距離為50m,那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于

(

)A.B.C.D.思路分析7答案

C

在直角三角形中,根據(jù)勾股定理可知水平的直角邊長為120

m,故這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于

=

,故選C.先利用勾股定理求得第三邊的長,再利用正切的定義求正切值.上一點(不與A,B重合),連4.(2016福建福州,9,3分)如圖,以O(shè)為圓心,1為半徑的弧交坐標(biāo)軸于A,B兩點,P是接OP,設(shè)∠POB=α,則點P的坐標(biāo)是

(

)A.(sin

α,sin

α)C.(cos

α,sin

α)B.(cos

α,cos

α)D.(sin

α,cos

α)答案

C

過P作PQ⊥OB,交OB于點Q,在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sin

α= ,cos

α=

,即PQ=sin

α,OQ=cos

α,∴點P的坐標(biāo)為(cos

α,sin

α).故選C.85.(2015河北,9,3分)已知:島P位于島Q的正西方,由島P,Q分別測得船R位于南偏東30°和南偏西45°方向上.符合條件的示意圖是

(

)答案

D

本題考查方向角的簡單識別,選D.96.(2019內(nèi)蒙古包頭,17,3分)如圖,在△ABC中,∠CAB=55°,∠ABC=25°.在同一平面內(nèi),將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)70°得到△ADE,連接EC,則tan∠DEC的值是

.答案

1解析

在△ACB中,∠ACB=180°-55°-25°=100°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AED=∠ACB

=100°,∠CAE=70°,AE=AC,∴∠AEC=

=55°,∴∠DEC=100°-55°=45°,∴tan∠DEC=1.解題關(guān)鍵

抓住旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△AEC是等腰三角形且∠CAE=70°是解答本題的關(guān)鍵.107.(2017四川綿陽,18,3分)如圖,過銳角△ABC的頂點A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延長線于點F,在AF上取點M,使得AM=

AF,連接CM并延長交直線DE于點H.若AC=2,△AMH的面積是

,則

的值是

.答案

8-解析

過H作HG⊥AC于點G,如圖.∵AF平分∠EAC,∴∠EAF=∠CAF.∵DE∥BF,∴∠EAF=∠AFC,∴∠CAF=∠AFC,∴CF=CA=2.∵AM=

AF,∴AM∶MF=1∶2.∵DE∥BF,∴

=

=

=

,11=

,,∴AH=1,S△AHC=3S△AHM=

,∴

×2GH=

,∴GH=

,∴在Rt△AHG中,AG=∴GC=AC-AG=2-

=∴

=

=8-

.解題思路12過H作HG⊥AC于點G,構(gòu)造直角三角形,再分別求出相應(yīng)的邊即可.8.(2018四川成都,18,8分)由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗任務(wù).如圖,航母由西向東航行,到達A處時,測得小島C位于它的北偏東70°方向,且與航母相距80海里,再航行一段時間后到達B處,測得小島C位于它的北偏東37°方向.如果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的D處,求還需航行的距離BD的長.(參考數(shù)據(jù):sin

70°≈0.94,cos

70°≈0.34,tan

70°≈2.75,sin

37°≈0.60,cos

37°≈0.80,tan

37°≈0.75)解析

由題可知∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80.在Rt△ACD中,cos∠ACD=

,∴0.34≈

,∴CD≈27.2,在Rt△BCD中,tan∠BCD=

,∴0.75≈

,∴BD≈20.4.答:還需要航行的距離BD的長約為20.4海里.13考點二解直角三角形1.(2016重慶,11,4分)某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進行測量大樹CD高度的綜合實踐活動.如圖,在點A處測得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36°.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處,然后再沿水平方向行走6米至大樹底端D處,斜面AB的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大樹CD的高度約為(參考數(shù)據(jù):sin

36°≈0.59,cos

36°≈0.81,tan

36°≈0.73)(

)A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米14答案

A

作BF⊥AE于F,如圖所示,易知四邊形BDEF為矩形,則FE=BD=6米,DE=BF,∵斜面AB的坡度i=1∶2.4,∴AF=2.4BF,設(shè)BF=x米,則AF=2.4x米,在Rt△ABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5,∴DE=BF=5米,AF=12米,∴AE=AF+FE=18米,在Rt△ACE中,CE=AE·tan

36°≈18×0.73=13.14米,∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1米,故選A.152.(2015四川綿陽,10,3分)如圖,要在寬為22米的九洲大道AB兩邊安裝路燈,路燈的燈臂CD長2米,且與燈柱BC成120°角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直.當(dāng)燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳.此時,路燈的燈柱BC高度應(yīng)該設(shè)計為

(

)A.(11-2

)米C.(11-2

)米B.(11

-2

)米D.(11

-4)米答案

D

延長BC、OD交于點E,∵CD⊥OD,∠DCB=120°,∴∠E=30°,∵∠B=90°,OB=22×

=11米,∴EB=11

米,在Rt△DCE中,CE=2DC=4米.∴BC=EB-CE=(11

-4)米,故選D.163.(2019四川成都,18,8分)2019年,成都馬拉松成為世界馬拉松大滿貫聯(lián)盟的候選賽事,這大幅提升了成都市的國際影響力.如圖,在一場馬拉松比賽中,某人在大樓A處,測得起點拱門CD的頂部C的俯角為35°,底部D的俯角為45°,如果A處離地面的高度AB=20米,求起點拱門CD的高度.(結(jié)果精確到1米;參考數(shù)據(jù):sin

35°≈0.57,cos

35°≈0.82,tan

35°≈0.70)解析

如圖,作CE⊥AB于點E,∴∠AEC=∠CEB=90°,由題意得∠CDB=∠EBD=90°,∠1=35°,∠2=45°.∴四邊形CDBE為矩形.∴CD=BE,CE=DB.在Rt△ABD中,BD=AB=20米,∴CE=20米.在Rt△ACE中,AE=CE·tan∠1.∴BE=AB-AE=20-20·tan

35°≈6米.∴CD≈6米.答:起點拱門CD的高度約為6米.解題關(guān)鍵

本題為解直角三角形的實際問題,過點C作CE⊥AB構(gòu)造出直角三角形和矩形是解題關(guān)鍵.174.(2019吉林,21,7分)墻壁及淋浴花灑截面如圖所示.已知花灑底座A與地面的距離AB為170cm,花灑AC的長為30

cm,與墻壁的夾角∠CAD為43°,求花灑頂端C到地面的距離CE(結(jié)果精確到1

cm).(參考數(shù)據(jù):sin

43°=0.68,cos

43°=0.73,tan

43°=0.93)解析

如圖,過點C作CF⊥AB于點F,則∠AFC=90°.

(1分)在Rt△ACF中,AC=30

cm,∠CAF=43°,∵cos∠CAF=

,∴AF=AC·cos∠CAF=30×cos

43°=30×0.73=21.9(cm).∴CE=BF=AB+AF(5分)=170+21.9=191.9≈192(cm).因此,花灑頂端C到地面的距離CE約為192

cm.

(7分)評分說明:(1)計算過程與結(jié)果中,寫“=”或“≈”均不扣分;(2)計算過程不加單位不扣分.185.(2019吉林,24,8分)性質(zhì)探究如圖?,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,則底邊AB與腰AC的長度之比為

.,則它的面積為

;理解運用(1)若頂角為120°的等腰三角形的周長為8+4(2)如圖?,在四邊形EFGH中,EF=EG=EH.?求證:∠EFG+∠EHG=∠FGH;?在邊FG,GH上分別取中點M,N,連接MN.若∠FGH=120°,EF=10,直接寫出線段MN的長.類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為

(用含α的式子表示).19解析

性質(zhì)探究.

(2分)理解運用4

.

(3分)?證明:∵EF=EG=EH,∴∠EFG=∠EGF,∠EGH=∠EHG.(5分)∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH.?5

.

(7分)提示:由?可知∠EFG+∠EHG=∠FGH.∵∠FGH=120°,∴∠EFG+∠EHG=120°.∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH=360°,∴∠FEH=120°.(6分)20連接FH.∵EF=EH,∴△EFH是頂角為120°的等腰三角形,由性質(zhì)探究可知FH=

EF.又∵EF=10,∴FH=10

.∵M,N為FG和GH的中點,∴MN為△FHG的中位線,∴MN=

FH=5

.類比拓展2sin

α.

(8分)提示:如圖,作AD⊥BC于點D,∴∠BAD=α,∴BD=ABsin

α,∴BC=2ABsin

α,∴底邊BC與腰AB的長度之比為2sin

α.評分說明:結(jié)果寫成

∶1,2sin

α∶1不扣分.216.(2019江西,20,8分)圖1是一臺實物投影儀,圖2是它的示意圖,折線B—A—O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于點O,點B為旋轉(zhuǎn)點,BC可轉(zhuǎn)動,當(dāng)BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)時,投影探頭CD始終垂直于水平桌面OE,經(jīng)測量:AO=6.8

cm,CD=8

cm,AB=30

cm,BC=35

cm.(結(jié)果精確到0.1)如圖2,∠ABC=70°,BC∥OE.①填空:∠BAO=

°;②求投影探頭的端點D到桌面OE的距離;如圖3,將(1)中的BC向下旋轉(zhuǎn),當(dāng)投影探頭的端點D到桌面OE的距離為6

cm時,求∠ABC的大小.(參考數(shù)據(jù):sin

70°≈0.94,cos

20°≈0.94,sin

36.8°≈0.60,cos

53.2°≈0.60)22解析

(1)①160.?如圖1,延長OA交BC于點F,圖1∵AO⊥OE,∴∠AOE=90°.∵BC∥OE,∴∠AOE=∠BFO=90°,在Rt△ABF中,AB=30

cm,∵sin∠B=

,∴AF=AB·sin∠B=30·sin

70°≈30×0.94=28.20(cm).23∴AF-CD+AO=28.20-8+6.8=27.0(cm).答:投影探頭的端點D到桌面OE的距離為27.0

cm.(2)如圖2,過點B作DC的垂線,交DC的延長線于點H.在Rt△BCH中,HC=28.2+6.8-6-8=21(cm).∵sin∠HBC=

,∴sin∠HBC= =0.6.∵sin

36.8°≈0.60,∴∠HBC≈36.8°,∴∠ABC=70°-36.8°=33.2°.答:當(dāng)投影探頭的端點D到桌面OE的距離為6

cm時,∠ABC為33.2°.24圖2解后反思

解決此類解直角三角形問題的一般思路:將實際問題抽象成解直角三角形問題.弄清題目中各量之間的關(guān)系,如果題目中有直角三角形,則根據(jù)邊角的關(guān)系進行計算,若圖中沒有直角三角形,可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決.7.(2018天津,22,10分)如圖,甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為78m,從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯角為48°,測得底部C處的俯角為58°,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(結(jié)果取整數(shù)).參考數(shù)據(jù):tan48°≈1.11,tan

58°≈1.60.25解析

如圖,過點D作DE⊥AB,垂足為E.則∠AED=∠BED=90°.由題意可知,BC=78,∠ADE=48°,∠ACB=58°,∠ABC=90°,∠DCB=90°.可得四邊形BCDE為矩形.∴ED=BC=78,DC=EB.在Rt△ABC中,tan∠ACB=

,26∴AB=BC·tan

58°≈78×1.60≈125.在Rt△AED中,tan∠ADE=

,∴AE=ED·tan

48°.∴DC=EB=AB-AE=AB-ED·tan

48°≈125-78×1.11≈38.答:甲建筑物的高度AB約為125

m,乙建筑物的高度DC約為38

m.思路分析27過點D作DE⊥AB,構(gòu)造直角△ADE和矩形BCDE,通過解直角△ABC和直角△ADE可求出答案.8.(2018安徽,19,10分)為了測量豎直旗桿AB的高度,某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD,并在地面上水平放置一個平面鏡E,使得B,E,D在同一水平線上,如圖所示.該小組在標(biāo)桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A(此時∠AEB=∠FED).在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3°,平面鏡E的俯角為45°,FD=1.8米,問旗桿AB的高度約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):tan

39.3°≈0.82,tan

84.3°≈10.02)28D,解析

解法一:由題意知,∠AEB=∠FED=45°,∴∠AEF=90°.在Rt△AEF中,

=tan∠AFE=tan

84.3°,在△ABE和△FDE中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FE∴△ABE∽△FDE,∴

= =tan

84.3°,∴AB=FDtan

84.3°≈1.8×10.02=18.036≈18(米).答:旗桿AB的高度約為18米.

(10分)解法二:作FG⊥AB于點G,29由題意知,△ABE和△FDE均為等腰直角三角形,∴AB=BE,DE=FD=1.8,∴FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在Rt△AFG中,

=tan∠AFG=tan

39.3°,即

=tan

39.3°,解得AB=18.2≈18(米).答:旗桿AB的高度約為18米.

(10分)思路分析

思路一:由題意可確定∠AEF=90°,從而可推出△ABE∽△FDE,最后由相似三角形中對應(yīng)邊的比相等求解;思路二:作FG⊥AB于點G,由題意可推出△ABE和△FDE均為等腰直角三角形,在直角三角形AFG中由銳角三角函數(shù)求出AB.309.(2018湖北武漢,23,10分)在△ABC中,∠ABC=90°.如圖1,分別過A、C兩點作經(jīng)過點B的直線的垂線,垂足分別為M、N,求證:△ABM∽△BCN;如圖2,P是邊BC上一點,∠BAP=∠C,tan∠PAC=

,求tan

C的值;如圖3,D是邊CA延長線上一點,AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC=

,

=

,直接寫出tan∠CEB的值.31解析

(1)證明:∵∠M=∠N=∠ABC=90°,∴∠MAB+∠MBA=∠NBC+∠MBA=90°,∴∠MAB=∠NBC,∴△ABM∽△BCN.(2)過點P作PM⊥AP交AC于點M,過點M作MN⊥PC交BC于點N,則△PMN∽△APB.∴

=

=tan∠PAC=

,設(shè)PN=2t,則AB=

t.∵∠BAP+∠APB=∠MPC+∠APB=90°,∠BAP=∠C,∴∠MPC=∠C,∴CN=PN=2t.易得△ABP∽△CBA,∴AB2=BP·BC,∴(

t)2=BP·(BP+4t),32∴BP=t,∴BC=5t,∴tan

C=

.(3)在Rt△ABC中,sin∠BAC=

=

,∴tan∠BAC=

=

.過點A作AG⊥BE于點G,過點C作CH⊥BE交EB的延長線于點H,∵∠DEB=90°,∴CH∥AG∥DE,∴

=

=

,33同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,∴

=

=

=

,設(shè)BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴GH=BG+BH=4m+3n,∵AB=AE,AG⊥BE,∴EG=BG=4m,∴

=

=

,∴n=2m,∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在Rt△CEH中,tan∠CEB=

=

.34t,再判斷出△ABP=

=

=

,設(shè)BG思路分析

(1)利用同角的余角相等判斷出∠MAB=∠NBC,即可得出結(jié)論;(2)作PM⊥AP,MN⊥PC,先判斷出△PMN∽△APB,得出

=

=

,設(shè)PN=2t,則AB=∽△CBA,設(shè)PN=2t,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得BP=t,則BC=5t,即可得出結(jié)論;(3)作AG⊥BE,CH⊥BE,先判斷出

=

=

,同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,所以=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,進一步得出關(guān)于m,n的等式,解得n=2m,最后得出結(jié)論.方法指導(dǎo)

幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問的通法,本題涉及的相似三角形,要尋找的比例關(guān)系或添加的輔助線均類似.同時要注意挖掘題干中不變的幾何特征,根據(jù)特征尋方法.3510.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目,其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成,運動員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離.某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題,請你解答.如圖所示,底座上A,B兩點間的距離為90cm.低杠上點C到直線AB的距離CE的長為155cm,高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234cm,已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4°,高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3°.求高、低杠間的水平距離CH的長.(結(jié)果精確到1

cm.參考數(shù)據(jù):sin

82.4°≈0.991,cos

82.4°≈0.132,tan

82.4°≈7.500,sin

80.3°≈0.983,cos

80.3°≈0.168,tan

80.3°≈5.850)36≈20.7.解析

在Rt△CAE中,AE=

=

≈在Rt△DBF中,BF=

=

≈

=40.(3分)(6分)∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151.∵四邊形CEFH為矩形,∴CH=EF=151.即高、低杠間的水平距離CH的長約是151

cm.(9分)思路分析

根據(jù)Rt△CAE和Rt△DBF中的邊和角的數(shù)值,用正切函數(shù)分別求得AE,BF的長度,得EF=AE+AB+BF,由矩形的性質(zhì)可知CH=EF,可以求出問題的答案.方法總結(jié)

解直角三角形的應(yīng)用問題,一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形,結(jié)合所給的線段或角,借助邊角關(guān)

系、三角函數(shù)的定義解題,若幾何圖形中無直角三角形,則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形,再解直角三角形,求出實際問題的答案.3711.(2018山西,19,8分)祥云橋位于省城太原南部,該橋塔主體由三根曲線塔柱組合而成,全橋共設(shè)13對直線型斜拉索,造型新穎,是“三晉大地”的一種象征.某數(shù)學(xué)“綜合與實踐”小組的同學(xué)把“測量斜拉索頂端到橋面的距離”作為一項課題活動,他們制訂了測量方案,并利用課余時間借助該橋斜拉索完成了實地測量.測量結(jié)果如下表:38項目內(nèi)容課題測量斜拉索頂端到橋面的距離測量

示意圖說明:兩側(cè)最長斜拉索AC,BC相交于點C,分別與橋面交于A,B兩點,且點A,B,C在同一豎直平面內(nèi)測量數(shù)據(jù)∠A的度數(shù)∠B的度數(shù)AB的長度38°28°234米……請幫助該小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù),求斜拉索端點C到AB的距離(參考數(shù)據(jù):sin

38°≈0.6,cos

38°≈0.8,tan

38°≈0.8,sin

28°≈0.5,cos

28°≈0.9,tan

28°≈0.5);該小組要寫出一份完整的課題活動報告,除上表的項目外,你認(rèn)為還需要補充哪些項目(寫出一個即可).39解析

(1)如圖,過點C作CD⊥AB于點D.

(1分)設(shè)CD=x米,在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠A=38°.∵tan

38°=

,∴AD=

≈

=

x.

(2分)在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠B=28°.∵tan

28°=

,∴BD=

≈

=2x.

(3分)∵AD+BD=AB=234,∴

x+2x=234.

(5分)解得x=72.

(6分)答:斜拉索端點C到AB的距離為72米.

(7分)(2)答案不唯一,還需要補充的項目可為測量工具,計算過程,人員分工,指導(dǎo)教師,活動感受等.40(8分)12.(2018江西,19,8分)圖1是一種折疊門,由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成,整個活頁門的右軸固定在門框上,通過推動左側(cè)活頁門開關(guān).圖2是其俯視簡化示意圖,已知軌道AB=120

cm,兩扇活頁門的寬OC=OB=60

cm,點B固定,當(dāng)點C在AB上左右運動時,OC與OB的長度不變(所有結(jié)果保留小數(shù)點后一位).若∠OBC=50°,求AC的長;當(dāng)點C從點A向右運動60

cm時,求O在此過程中運動的路徑長.參考數(shù)據(jù):sin

50°≈0.77,cos

50°≈0.64,tan

50°≈1.19,π取3.14.41解析

(1)如圖,過點O作OD⊥AB于點D,在Rt△OBD中,BD=OB·cos∠OBD=60×cos

50°≈60×0.64=38.4(cm).∵OC=OB,∴BC=2BD.∴AC=AB-BC=120-2×38.4=43.2(cm).(2)如圖,∵AB=120

cm,AC=60

cm,∴BC=AB-AC=60

cm.∵OC=OB=60

cm,∴BC=OC=OB,∴△OBC為等邊三角形,∴∠OBC=60°.∵點O的運動路徑為

,∴點O運動的路徑長為=20π=62.8(cm).4243思路分析

(1)過點O作OD⊥AB于點D,先根據(jù)∠OBC的余弦求出BD,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得BC,進而求得AC的長;(2)點O的運動路徑是以點B為圓心,OB長為半徑的圓弧,先確定當(dāng)點C從點A向右運動60cm后∠OBC的大小,進而利用弧長公式求出結(jié)果.解題關(guān)鍵

解決本題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,根據(jù)實際情況建立數(shù)學(xué)模型,正確理解點O的運動路徑.考點一 銳角三角函數(shù)1.(2018北京燕山一模,6)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB邊上的中線,AC=8,BC=6,則∠ACD的正切值是

(

)A.B.C.D.答案

D

∵∠ACB=90°,CD是AB邊上的中線,∴AD=CD,∴∠ACD=∠A,∴tan∠ACD=tan∠A=

=

=

.442.(2017北京西城一模,7)如圖,小明在地面上放了一個平面鏡,選擇合適的位置,剛好在平面鏡中看到旗桿的頂部,此時小明與平面鏡的水平距離為2m,旗桿底部與平面鏡的水平距離為16m.若小明的眼睛與地面的距離為1.5

m,則旗桿的高度為(單位:m)

(

)A.

B.9

C.12

D.答案

C

如圖:由題意可知∠ACB=∠ECD,∴tan

∠ACB=tan

∠ECD,∴

=

,∴

= .∴DE=12

m.故選C.思路分析

通過讀題,首先要標(biāo)清邊角條件,并借助解直角三角形的相關(guān)知識來解題.解題關(guān)鍵

解決本題的關(guān)鍵是要明確平面鏡的性質(zhì),從而得到反射角等于入射角,進而才能借助解直角三角形或相似的相關(guān)知識來解決.45考點二 解直角三角形1.(2019北京東城二模,7)如圖,某地修建高速公路,要從A地向B地修一條隧道(點A、B在同一水平面上).為了測量A、B兩地之間的距離,一架直升飛機從A地起飛,垂直上升1000米到達C處,在C處觀察B地的俯角為α,則A、B兩地之間的距離約為

(

)A.1

000sin

α米C.

米B.1

000tan

α米D.

米答案

C

由題意可知AC=1

000,∠ABC=α.∵tan∠ABC=,∴AB==.故選C.462.(2018北京海淀二模,6)我國古代有一種通過測量日影長度來確定時間的儀器,稱為圭表.下圖是一個根據(jù)北京的地理位置設(shè)計的圭表,其中,立柱AC的高為a.已知,冬至?xí)r北京的正午日光入射角∠ABC約為26.5°,則立柱根部與圭表的冬至線的距離(即BC的長)約為

(

)A.asin

26.5°

B.C.acos

26.5°

D.答案

B

∵tan∠ABC=,∴BC===.故選B.473.(2019北京平谷一模,15)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于點D,過點D作DE⊥AB于點E,若CD=2,BD=4,則AE的長是

.答案

2解析

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,∴DE=CD=2.∵BD=4,∴sinB=

.∴∠B=30°.∴∠DAE=30°.∴AE=BE=2

.484.(2018北京平谷二模,14)如圖,一名滑雪運動員沿著傾斜角為34°的斜坡從A滑行至B,已知AB=500米,則這名滑雪運動員的高度下降了約

米.(參考數(shù)據(jù):sin

34°≈0.56,cos

34°≈0.83,tan

34°≈0.67)答案

280解析

AC=AB·sin

34°≈500×0.56=280米.495.(2017北京豐臺二模,13)某中學(xué)初三年級的學(xué)生開展測量物體高度的實踐活動,他們要測量一幢建筑物AB的高度.如圖,他們先在點C處測得建筑物AB的頂點A的仰角為30°,然后向建筑物AB前進10m到達點D處,又測得點A的仰角為60°,那么建筑物AB的高度是

m.答案

5解析

∵∠ABC=90°,∴∠DAB=30°,∠CAB=60°,∴∠CAD=30°,∴AD=CD=10m,∴AB=AD·sin

60°=10×

=5

m.506.(2019北京門頭溝二模,21)如圖,在?ABCD中,點E是BC邊的一點,將邊AD延長至點F,使得∠AFC=∠DEC,連接CF,DE.求證:四邊形DECF是平行四邊形;如果AB=13,DF=14,tan∠DCB=

,求CF的長.51解析

(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.

(1分)∴∠ADE=∠DEC.∵∠AFC=∠DEC,∴∠AFC=∠ADE,∴DE∥FC.∴四邊形DECF是平行四邊形.(2)如圖,過點D作DH⊥BC于點H,(2分)(3分)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD=13,∵tan∠BCD=

,CD=13,∴DH=12,CH=5.

(4分)∵DF=14,∴CE=14.∴EH=9.∴DE=

=15.∴CF=DE=15.

(5分)527.(2017北京豐臺一模,23)如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,DE⊥AC于點E,且AE=CE,DE=5,EB=12.求AD的長;若∠CAB=30°,求四邊形ABCD的周長.解析

(1)∵∠ABC=90°,AE=CE,EB=12,∴EB=AE=CE=12.∵DE⊥AC,DE=5,∴在Rt△ADE中,由勾股定理得AD=

=

=13.(2)∵在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AC=AE+CE=24,∴BC=12,AB=AC·cos

30°=12

.∵DE⊥AC,AE=CE,∴AD=DC=13.∴四邊形ABCD的周長為AB+BC+CD+AD=38+12

.53一、選擇題(每小題2分,共4分)1.(2019北京懷柔二模,7)下表是小麗填寫的實踐活動報告的部分內(nèi)容:設(shè)樹頂端到地面的高度DC為x

m,根據(jù)以上條件,可以列出求樹高的方程為(

)A.x=(x-10)cos

56°C.x-10=xtan

56°B.x=(x-10)tan

56°D.x=(x+10)sin

56°題目測量樹頂端到地面的高度測量目標(biāo)示意圖相關(guān)數(shù)據(jù)AB=10

m,α=45°,β=56°30分鐘40分54答案

B

∵α=45°,∴AC=DC.∵tan

β=,∴DC=tan

56°·BC=tan

56°·(AC-AB).∵AB=10,∴x=(x-10)tan

56°.故選B.解題關(guān)鍵55解決本題的關(guān)鍵是用兩種方式表示DC:線段的差及解直角三角形.2.(2017北京海淀二模,10)利用量角器可以制作“銳角正弦值速查卡”.制作方法如下:如圖,設(shè)OA=1,以O(shè)為圓心,分別以0.05,0.1,0.15,0.2,…,0.9,0.95為半徑作半圓,再以O(shè)A為直徑作☉M.利用“銳角正弦值速查卡”可以讀出相應(yīng)銳角正弦的近似值.例如:sin

60°≈0.87,sin

45°≈0.71.下列角度中正弦值最接近0.94的是

(

)A.70°答案

A56B.50°

C.40°

D.30°通過量角器可以發(fā)現(xiàn),圓和度數(shù)的交點的半圓半徑即相應(yīng)銳角的正弦值的近似值.所以正弦值最接近0.94的是70°,故選A.二、填空題(每小題2分,共6分)3.(2018北京石景山一模,15)在距辦公樓20

m的點B處,用高為0.8

m的測角儀測得辦公樓頂點C的仰角為63°,則辦公樓CD的高約為

m.(精確到0.1m,sin

63°≈0.89,cos

63°≈0.45,tan

63°≈1.96)答案

40.0解析

過點A作AE∥BD交CD于E,∵tan∠CAE=

=

,∴1.96≈

,∴CE≈39.2米,∴CD=CE+DE=39.2+0.8=40.0米.574.(2018北京朝陽二模,11)2017年5月5日我國自主研發(fā)的大型飛機C919成功首飛.下圖是一種機翼的示意圖,用含有m、n的式子表示AB的長:

.n,寬為n.答案

m+

n-n解析

過點C作CE垂直BA,交BA的延長線于點E,則四邊形CFBE為長方形,且長方形的長為m+∵∠ACE=45°,∴△CEA為等腰直角三角形,∴EA=CE=n,∴AB的長為m+

n-n.585.(2018北京豐臺二模,15)如圖,一輛小汽車與墻平行停放,汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0.8米,小汽車車門的寬AO為1.2米,當(dāng)車門打開的角度∠AOB為40°時,車門是否會碰到墻?

(填“是”或“否”);請簡述你的理由

.(參考數(shù)據(jù):sin

40°≈0.64,cos

40°≈0.77,tan

40°≈0.84)答案

否;求出點A到直線OB的距離,通過計算可得,此距離小于0.8,所以車門不會碰到墻解析

過點A作AC⊥OB,AC=AO·sin

40°≈1.2×0.64=0.768<0.8,所以車門不會碰到墻.59三、解答題(共30分)6.(2019北京平谷一模,22)如圖,在△ABC中,AB=AC,點D是BC邊的中點,連接AD,分別過點A,C作AE∥BC,CE∥AD,AE,CE交于點E,連接DE,交AC于點O.求證:四邊形ADCE是矩形;若AB=10,sin∠COE=

,求CE的長.60解析

(1)證明:∵AB=AC,點D是BC邊的中點,∴AD⊥BC于點D.

(1分)∵AE∥BC,CE∥AD,∴四邊形ADCE是平行四邊形.(2分)∴平行四邊形ADCE是矩形.(2)過點E作EF⊥AC于F.∵AB=10,∴AC=10.∵對角線AC,DE交于點O,(3分)∴DE=AC=10.∴OE=5.

(4分)∵sin∠COE=

,∴EF=4,∴OF=3.∵OE=OC=5,∴CF=2.∴CE=2

.(5分)(6分)617.(2019北京房山二模,21)如圖,菱形ABCD的兩條對角線交于點O,DF∥AC,CF∥BD.(1)求證:四邊形OCFD是矩形;(2)若AD=5,BD=8,計算tan∠DCF的值.62解析

(1)證明:∵DF∥AC,CF∥BD,∴四邊形OCFD是平行四邊形,

(1分)∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°,∴四邊形OCFD是矩形.(2)∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=CD,∵AD=5,∴CD=5.

(3分)∵菱形ABCD兩條對角線交于點O,∴OD=OB=

BD,∴OD=4,∵四邊形OCFD是矩形,∴OD=CF,∵在Rt△CFD中,CF2+DF2=CD2,∴DF=3,

(4分)∴tan∠DCF=

=

.

(5分)(2分)638.(2017北京懷柔二模,21)已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB⊥BD,AD∥BC,∠ADB=45°,∠C=60°,AB=

.求四邊形ABCD的周長.解析

∵AB⊥BD,∴∠ABD=90°.在Rt△ABD中,∠ABD=90°,∠ADB=45°,∴∠DAB=45°.∴∠DAB=∠ADB.又∵AB=

,∴AB=BD=

,由勾股定理得AD=

=2

.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=45°.過點D作DE⊥BC,交BC于點E.64∴∠DEB=∠DEC=90°.在Rt△DEB中,∠DEB=90°,∠DBC=45°,∴∠BDE=45°,sin∠DBC=

.∴∠DBC=∠BDE,DE=

.∴BE=DE=

.在Rt△DEC中,∠DEC=90°,∠C=60°.∵sin

C= ,tan

C=

,∴CD=2,CE=1.∴BC=BE+CE=

+1.∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=+

+1+2+2

=

+3

+3.659.(2017北京門頭溝一模,26)在一節(jié)數(shù)學(xué)實踐課上,老師出示了這樣一道題,如圖1,在銳角三角形ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c,請用a、c、∠B表示b2.圖366經(jīng)過同學(xué)們的思考,甲同學(xué)說:要將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決,并且不能破壞∠B,因此可以經(jīng)過點A,作AD⊥BC于點D,如圖2,大家認(rèn)同;乙同學(xué)說:要想得到b2,要在Rt△ABD或Rt△ACD中解決;丙同學(xué)說:那就要先求出AD=

,BD=

;(用含c,∠B的三角函數(shù)表示)丁同學(xué)順著他們的思路,求出b2=AD2+DC2=

(提示:同角的正弦與余弦的平方和為1).請利用丁同學(xué)的結(jié)論解決如下問題:如圖3,在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠BAD=60°,AB=4,AD=5.求AC的長(補全圖形,直接寫出結(jié)果即可).解析

AD=c·sin

B,BD=c·cos

B.b2=a2+c2-2ac·cos

B.補全圖形如圖.結(jié)果:AC=2

.6710.(2017北京門頭溝一模,28)已知△ABC,AB=AC,∠BAC=α,在BA的延長線上任取一點D,過點D作BC的平行線交CA的延長線于點E.(1)當(dāng)∠BAC=60°時,如圖1,依題意補全圖形,直接寫出EC,BC,ED的數(shù)量關(guān)系;(2)當(dāng)∠BAC=90°時,如圖2,判斷EC,BC,ED之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;(3)當(dāng)∠BAC=α?xí)r(0°<α<180°),請寫出EC,BC,ED之間的數(shù)量關(guān)系并寫出解題思路.68解析

(1)補全圖形如圖.數(shù)量關(guān)系:EC=BC+ED.(2)數(shù)量關(guān)系:BC+ED=

EC.過D作DF∥AC交BC的延長線于F點.∵DF∥AC,ED∥BC,∴四邊形EDFC為平行四邊形.∴ED=CF,EC=DF.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵ED∥BC,69BF,∠∴∠DEC=∠ECB,∠EDB=∠DBC.∴∠CED=∠BDE.∴AE=AD.∴EC=BD.∴BD=DF.∵DF∥AC,∴∠BDF=∠BAC=90°.∴△BDF為等腰直角三角形.在Rt△BDF中,BF2=BD2+DF2,∴(BC+ED)2=2EC2,∴BC+ED=

EC.(3)數(shù)量關(guān)系:BC+ED=2EC·sin

.①由(2)可知四邊形EDFC為平行四邊形,△BDF為等腰三角形,過D點作DN⊥BC于N點,可得BN=BDN=

α.②在Rt△BDN中,sin∠BDN=

=sin

.可得BC+ED=2EC·sin

.701.(2017山西,15,3分)一副三角板按如圖方式擺放,得到△ABD和△BCD,其中∠ADB=∠BCD=90°,∠A=60°,∠CBD=45°.E為AB的中點,過點E作EF⊥CD于點F.若AD=4

cm,則EF的長為

cm.71答案

(

+

)解析

如圖,連接DE,過點E作EM⊥BD于點M,設(shè)EF交BD于點N,∵AD