高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修一）：直線與圓的位置關(guān)系-重難點題型檢測（教師版）

專題2.14直線與圓的位置關(guān)系-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線3x+4y+12=0與圓x?12+y+1A．相交且過圓心 B．相切C．相離 D．相交但不過圓心【解題思路】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小比較，即可判斷圓與直線的位置關(guān)系.【解答過程】圓心坐標(biāo)為1，?1，半徑r=3，圓心到直線3x+4y+12=0的距離故選:D.2．（3分）（2022·河南·高二階段練習(xí)）若直線y=x+b與曲線x=1?y2恰有一個公共點，則bA．?2,2C．?1,2∪2【解題思路】由題意，作圖，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，可得答案.【解答過程】由曲線x=1?y2表示以原點為圓心，半徑為1的右半圓，y=x+b是傾斜角為π4的直線與曲線x=①直線與半圓相切，根據(jù)d=r，所以d=b2=1②直線與半圓的上半部分相交于一個交點，由圖可知?1<b≤1.綜上可知：?1<b≤1或b=?2故選：D.3．（3分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）圓x2+y2?4x+4y+6=0A．6 B．62 C．1 【解題思路】方法一，先求出圓心和半徑，然后求出圓心到直線的距離，再利用弦心距，半徑和弦的關(guān)系可求得答案，方法二，將直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組，消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長公式可求得答案【解答過程】方法一

圓的方程可化為(x?2)2則圓的半徑r=2，圓心(2,?2)到直線l的距離d=所以直線l被圓截得的弦長為2r方法二設(shè)直線l與圓相交于點Ax1,由x?y?5=0x2+y2?4x+4y+6=0，得所以AB=1+1故選：A.4．（3分）（2022·江蘇·高二開學(xué)考試）經(jīng)過直線2x?y+3=0與圓x2+yA．x+352C．x+352【解題思路】當(dāng)所求圓的直徑就是已知圓與直線相交的弦時，所求圓的面積最小.由已知圓可得圓心半徑，可得弦長，再求出過圓心且垂直于已知直線的直線方程，解方程組可得圓心，可得圓的方程．【解答過程】由題可知，當(dāng)所求圓的直徑就是已知圓與直線相交的弦時，所求圓的面積最小.圓x2+y∴圓心坐標(biāo)為(?1,2)，半徑為2，弦心距d=|?2?2+3|22過圓x2+y2+2x?4y+1=0的圓心和直線2x?y+3=0最小的圓的圓心為2x?y+3=0與直線x+2y?3=0的交點，解方程組可得(?35，∴所求面積最小的圓方程為：(x+3故選：C．5．（3分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點P4,1作圓C:x?22A．3x?4y?8=0 B．3x?4y?8=0或x=4C．3x+4y?8=0 D．3x+4y?8=0或x=4【解題思路】根據(jù)切線斜率是否存在分類討論，再利用圓心到切線的距離為半徑可求切線方程.【解答過程】若切線的斜率不存在，則過P的直線為x=4，此時圓心C2,?3到此直線的距離為2即為圓的半徑，故直線x=4若切線的斜率存在，設(shè)切線方程為：y=kx?4+1即故2=2k+3+1?4k1+k故此時切線方程為：3x?4y?8=0.故選：B.6．（3分）（2021·廣東·高二階段練習(xí)）若P是直線l:3x+4y+1=0上一動點，過P作圓C:x?22+y?22=4的兩條切線，切點分別為A，A．5 B．7 C．25 D．【解題思路】四邊形PACB面積等于2S△PAC=PAAC=2PA=2PC【解答過程】由題意可得圓C:x?22+因為PA,PB與圓C相切，所以四邊形PACB面積等于2SPC的最小值為圓心C到直線的距離d=3×2+4×2+1所以四邊形PACB面積的最小值為23故選：C7．（3分）（2022·浙江省高二開學(xué)考試）已知在某濱海城市A附近的海面出現(xiàn)臺風(fēng)活動，據(jù)監(jiān)測，目前臺風(fēng)中心位于城市A的東偏南60°方向，距城市A300km的海面點P處，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移動．已知該臺風(fēng)影響的范圍是以臺風(fēng)中心為圓心的圓形區(qū)域，半徑為1003km．則城市A受臺風(fēng)影響的時間為（

A．5h B．53h C．523【解題思路】先求得臺風(fēng)中心距離城市A的最短距離，再利用直線截圓的弦長即可求得城市A受臺風(fēng)影響的時間【解答過程】如圖，AP=300km，∠APB=30°，臺風(fēng)中心沿PB臺風(fēng)中心距離城市A的最短距離為AB=AP又臺風(fēng)中心為圓心的圓形區(qū)域，半徑為1003則臺風(fēng)中心在以城市A為圓心半徑為1003km的圓內(nèi)時，城市A以城市A為圓心半徑為1003km的圓截直線PB2100則城市A受臺風(fēng)影響的時間為100故選：B.8．（3分）（2022·全國·高二專題練習(xí)）若實數(shù)x，y滿足x2＋y2－A．最大值為2＋3，最小值為—2－3B．最大值為2＋3，最小值為2－3C．最大值為－2＋3，最小值為－2－3D．最大值為—2＋3，最小值為2－3【解題思路】根據(jù)幾何意義，把y?3x+2可看作圓上任意一點Px,y與定點【解答過程】x2＋yy?3x+2可看作圓上任意一點Px,y與定點記k=y?3x+2，則y=kx+2k+3，記為直線當(dāng)直線與圓x?22＋y?7此時圓心到直線的距離d=2k+2k+3?71+k所以2?3故選：B.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線l:y=x+m與曲線C:x=3?4y?y2有公共點，則實數(shù)mA．?1?22 B．C．?3 D．?4【解題思路】由題知曲線C是以(3,2)為圓心，半徑為2左半圓，進而數(shù)形結(jié)合求解即可.【解答過程】解：由題知C:4y?y2所以，曲線C是以(3,2)為圓心，半徑為2左半圓，如圖，當(dāng)直線l與曲線C相切時，由2=|3×1+2×(?1)+m|2，解得當(dāng)直線過點3,0時，m=?3，所以，結(jié)合圖形可知，實數(shù)m的取值范圍是：?3,22故實數(shù)m可以為?3,22故選：BC.10．（4分）（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知直線l：ax+by?r2=0與圓C：xA．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【解題思路】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系，對選項逐一判斷即可.【解答過程】對于選項A：∵點A在圓C上，∴a2∵圓心C0,0到直線l的距離為d=∴直線與圓C相切，故A選項正確；對于選項B：∵點A在圓C內(nèi)，∴a∵圓心C0,0到直線l的距離為d=∴直線與圓C相離，故B選項正確；對于選項C：∵點A在圓C外，∴a2∵圓心C0,0到直線l的距離為d=∴直線與圓C相交，故C選項錯誤；對于選項D：∵點A在直線l上，∴a2∵圓心C0,0到直線l的距離為d=∴直線與圓C相切，故D選項正確．故選：ABD．11．（4分）（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知過點P4,2的直線l與圓C:(x?3)2+(y?3)2=4A．AB的最大值為4B．AB的最小值為2C．點O到直線l的距離的最大值為2D．△POC的面積為3【解題思路】求得圓C的圓心坐標(biāo)為C(3,3)，半徑為r=2，結(jié)合圓的性質(zhì)和圓的弦長公式，準(zhǔn)線判定，即可求解.【解答過程】由題意，圓C:(x?3)2+(y?3)2又由點P4,2在圓C因為過點P4,2的直線l與圓C:(x?3)2所以AB的最大值為2r=4，所以A正確；因為PC=當(dāng)直線l與PC垂直時，此時弦AB取得最小值，最小值為AB=2當(dāng)直線l與OP垂直時，點O到直線l的距離有最大值，且最大值為OP=由kOC=3?03?0=1,所以△POC的面積為12故選：AC.12．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l:x?y+5=0，過直線上任意一點M作圓C:x?32+y2=4的兩條切線，切點分別為A．四邊形MACB面積的最小值為47 B．∠AMBC．直線AB過定點12,52 【解題思路】S四邊形MACB=2S△MAC=MA?AC=2MA，當(dāng)CM⊥l時MC有最小值，求出MCmin可判斷A；當(dāng)CM⊥l時∠AMB最大，cos∠AMB=cos2∠AMC=1?2sin2∠AMC=34可判斷B；設(shè)點Ax1,y【解答過程】對于A選項，由題意可知S四邊形MACB=2S△MAC=MA?AC=2MA，當(dāng)對于B選項，當(dāng)CM⊥l時，∠AMB最大，此時cos∠AMB=cos2∠AMC=1?2對于C選項，設(shè)點Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，則x0?y0+5=0，易知在點A、B處的切線方程分別為解方程組x+y?3=0,5y?3x+5=0,得x=52,y=對于D選項，設(shè)直線AB所過定點為P，則P52,12，當(dāng)CP⊥AB時，弦長AB最小，此時CP故選：AD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）直線x+3y+12=0被圓x2【解題思路】先由圓的方程確定圓心坐標(biāo)和半徑大小，再求圓心到直線的距離，根據(jù)幾何法求弦長.【解答過程】由題知：圓x2+y2=100故圓心到直線x+3y+12=0的距離所以弦長為：l=2r故答案為：16.14．（4分）（2021·福建寧德·高二期中）直線y=kx?6+1與曲線y=3?4x?x2有兩個不同的公共點，則實數(shù)k【解題思路】由已知，分別作出直線y=kx?6+1與曲線【解答過程】由曲線y=3?4x?x2其圖象是以(2,3)為圓心，半徑為2的半圓，直線y=kx?6+1是過定點做出圖像，如圖所示：由圖可知，kAB=1?3所以直線y=kx?6+1與曲線y=3?4x?x2故答案為：?115．（4分）（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）已知圓C:x2+y2+2x?4y+m=0與y軸相切，過P?2,4作圓C的切線，則切線l【解題思路】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后分直線的斜率存在和不存在兩種情況求解.【解答過程】由圓C:x2+因為圓C:x2+所以5?m=1，解得當(dāng)過P?2,4的直線的斜率不存在時，直線l的方程為x=?2圓心到直線x=?2的距離為1，符合題意；當(dāng)過P?2,4的直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k則k+2k2+1則切線l的方程為y=?34x+所以滿足條件的切線l的方程為x=?2或3x+4y?10=0.故答案為：x=?2或3x+4y?10=0.16．（4分）（2020·北京·高二期中）一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心位于輪船正西80km處，受影響的范圍是半徑為49km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風(fēng)中心正北60km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它將會（填“會”或“不會”）受到臺風(fēng)的影響.【解題思路】以臺風(fēng)中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.進而可推斷出受臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的圓的方程，及輪船航線所在直線l的方程，進而求得圓心到直線的距離，解果大于半徑推斷出輪船不受臺風(fēng)影響.【解答過程】解：以臺風(fēng)中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.這樣，受臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的圓的方程為x2輪船航線所在直線l的方程為x80+y如果圓O與直線l有公共點，則輪船受影響，需要改變航向；如果O與直線l無公共點，則輪船不受影響，無需改變航向.由于圓心O0,0到直線l的距離d=所以直線l與圓O有公共點.這說明輪船將受臺風(fēng)影響.故答案為：會.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）若曲線y＝1＋4?x2與直線y＝k(x－2)＋4有兩個交點，求實數(shù)【解題思路】根據(jù)直線方程的點斜式和圓的方程，可得直線l經(jīng)過點A(2,4)，曲線C表示以(0,1)圓心半徑為2的圓的上半圓．由此作出圖形，求出半圓切線的斜率和直線與半圓相交時斜率的最小值，結(jié)合圖形加以觀察即可得到本題答案．【解答過程】直線l:y=k(x?2)+4，即kx－y－2k＋4＝0，經(jīng)過定點A(2,4)，曲線C:y=1+4?x2，化簡得x2+(y?1)∴直線l與曲線C有兩個交點，即直線與半圓有兩個交點.當(dāng)直線l與半圓相切時，3?2kk2+1當(dāng)直線l為經(jīng)過點B(?2,1)時，是斜率k的最大值，此時k=3動直線l位于切線與AB之間(包括AB)時，直線l與曲線C有兩個交點，∴k的取值范圍為(512，18．（6分）（2021·廣東·高二期中）已知圓C:x2+(1)寫出圓C的圓心坐標(biāo)和半徑，并判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；(2)設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點，若直線l的傾斜角為120°，求弦AB的長．【解題思路】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求其圓心C和半徑r，求出直線l經(jīng)過的定點，判斷定點與圓的位置關(guān)系即可判斷l(xiāng)與圓的位置關(guān)系；（2）求出圓心到直線的距離d，根據(jù)AB=2【解答過程】(1)由題設(shè)知圓C：x2∴圓C的圓心坐標(biāo)為C0,1，半徑為r＝5．又直線l可變形為：y?1=mx?1，則直線恒過定點M∵12∴點M在圓C內(nèi)，故直線l必定與圓相交．(2)由題意知m≠0，∴直線l的斜率k=m=tan∴圓心C0,1到直線l：3x+y?3?1=0∴|AB|=2r19．（8分）（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知圓C的圓心在直線2x?y?2=0上，且與直線l：3x+4y?28=0相切于點P4,4(1)求圓C的方程；(2)求過點Q?4,1與圓C【解題思路】（1）先根據(jù)題意求出過P4,4與直線l垂直的直線，再與直線2x?y?2=0聯(lián)立可求出圓心C的坐標(biāo)，再求出CP（2）分過點Q?4,1【解答過程】（1）過點P4,4與直線l：3x+4y?28=0垂直的直線m的斜率為k=所以直線m的方程為y?4=43x?4由4x?3y?4=02x?y?2=0，解得C所以r=4?1故圓C的方程為：x?12（2）①若過點Q?4,1的直線斜率不存在，即直線是x=?4②若過點Q?4,1的直線斜率存在，設(shè)直線方程為y?1=kx+4，即若直線與圓C相切，則有5k+1k2+1此時直線的方程為12x?5y+53=0.綜上，切線的方程為x=?4或12x?5y+53=0.20．（8分）（2021·吉林高二開學(xué)考試）已知圓C：x2+y2?2y?2=0，直線l(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；(2)設(shè)直線l與圓C交于不同的兩點A,B，求弦AB的中點M的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，若|AP||PB|=2，求直線【解題思路】（1）先求出動直線經(jīng)過的定點，判斷定點和圓的位置關(guān)系即可；（2）連接圓心和弦的中點，利用垂徑定理找出幾何關(guān)系來解決；（3）聯(lián)立直線和圓的方程，利用韋達(dá)定理來解決.【解答過程】（1）因為直線l：mx?y+1+m=0過定點(?1,1)，又(?1)2+12?2×1?2=?2<0所以直線l與圓C相交；（2）設(shè)M(x,y)，當(dāng)M與P不重合，即x≠?1時，連接CM，CP，則CM⊥MP，根據(jù)勾股定理|CM|2+|MP|2=|CP|2．則x2+(y?1)2+(x+1)2+(y?1)2（3）設(shè)A(x1,y1)，所以?1?x1=2(x又{mx?y+1+m=0,x2+(y?1)所以x1+x2=?由①②③聯(lián)立，解得m=±3所以直線l的方程為3x?y+1+3=021．（8分）（2021·福建三明·高二期中）如圖，某海面上有O、A、B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向且距O島402千米處，B島在O島的正東方向且距O島20千米處.以O(shè)為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.圓C經(jīng)過(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船在O島的南偏西30°方向且距O島40千米的D處，正沿著北偏東45【解題思路】（1）由題意可求A(40,40)