專題05 解一元二次方程（專項培優(yōu)訓練）（教育版）

專題05解一元二次方程（專項培優(yōu)訓練）試卷滿分：100分考試時間：120分鐘難度系數(shù)：0.60一．填空題（共12小題，滿分24分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?惠陽區(qū)校級月考）方程（x﹣1）2＝1的根為x1＝2，x2＝0．解：∵（x﹣1）2＝1，∴x﹣1＝±1，則x1＝2，x2＝0，故答案為：x1＝2，x2＝0．2．（2分）（2022秋?張店區(qū)校級期末）已知實數(shù)x，y滿足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝8．解：設t＝x2+y2（t≥0），則：t（t﹣7）＝8，整理，得（t﹣8）（t+1）＝0．所以t＝8或t＝﹣1（舍去）．所以x2+y2＝8．故答案為：8．3．（2分）（2022秋?青神縣期末）若（a+b）2﹣4a﹣4b+4＝0，則a+b+4＝6．解：設y＝a+b，則由原方程得到：y2﹣4y+4＝0，整理，得（y﹣2）2＝0．所以y1＝y(tǒng)2＝2．所以a+b＝2．所以a+b+4＝2+4＝6．故答案為：6．4．（2分）（2021秋?寶山區(qū)期末）方程2（x﹣3）＝x（x﹣3）的根為x1＝3，x2＝2．解：2（x﹣3）＝x（x﹣3）移項得，2（x﹣3）﹣x（x﹣3）＝0因式分解得，（x﹣3）（2﹣x）＝0解得，x1＝3，x2＝2．故答案為：x1＝3，x2＝2．5．（2分）（2022秋?東城區(qū)校級期末）若某等腰三角形的底和腰的長分別是一元二次方程x2﹣9x＝﹣14的兩根，則這個等腰三角形的周長是16．解：解方程x2﹣9x＝﹣14，得x1＝2，x2＝7，當2為腰，7為底時，不能構成等腰三角形；當7為腰，2為底時，能構成等腰三角形，周長為7+7+2＝16．故周長為16．故答案為：16．6．（2分）（2022秋?永善縣期中）已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）＝6，則x2+y2＝6．解：設x2+y2＝m，原方程可變形為：m（m﹣5）＝6，即m2﹣5m﹣6＝0．∴（m﹣6）（m+1）＝0，解得m1＝6，m2＝﹣1．∵m＝x2+y2≥0，∴x2+y2＝6．故答案為：6．7．（2分）（2022?敘州區(qū)校級開學）填空：x2﹣x+＝（x﹣）2；若x2﹣4x+3＝（x+m）（x+n），則m＝﹣1或﹣3，n＝﹣3或﹣1．解：∵x2﹣x+＝（x﹣）2；∵若x2﹣4x+3＝（x+m）（x+n）＝（x﹣1）（x﹣3），則m＝﹣1，n＝﹣3或者m＝﹣3，n＝﹣1，故答案為：，，﹣1或﹣3，﹣3或﹣1．8．（2分）（2020秋?涼州區(qū)期末）已知一個三角形的兩邊長分別為2和9，第三邊的長為一元二次方程x2﹣14x+48＝0的一個根，則這個三角形的周長為19．解：解方程x2﹣14x+48＝0得第三邊的邊長為6或8，依據(jù)三角形三邊關系，不難判定邊長2，6，9不能構成三角形，2，8，9能構成三角形，∴三角形的周長＝2+8+9＝19．故答案為：19．9．（2分）（2020春?溫江區(qū)校級期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8．則x2+y2的值為1．解：設x2+y2＝a，原方程變形為：（a+1）（a+3）＝8，即a2+4a﹣5＝0，解得，a1＝1，a2＝﹣5，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝1，故答案為：1．10．（2分）（2019秋?安陸市月考）已知（m2+n2）（m2+n2+2）＝15，則m2+n2＝3．解：（m2+n2）（m2+n2+2）＝15，（m2+n2）2+2（m2+n2）﹣15＝0，（m2+n2+5）（m2+n2﹣3）＝0，∵m2+n2+5＞0，∴m2+n2﹣3＝0，m2+n2＝3，故答案為：3．11．（2分）（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）一個三角形的兩邊長分別為3和5，其第三邊是方程x2﹣13x+40＝0的根，則此三角形的周長為13．解：解方程x2﹣13x+40＝0可得x＝5或x＝8，當?shù)谌厼?時，則三角形的三邊長為3、5、5，滿足三角形三邊關系，其周長為13；當?shù)谌厼?時，則三角形的三邊長為3、5、8，不滿足三角形三邊關系，舍去．則此三角形的周長為13．故答案為：13．12．（2分）（2018?十堰）對于實數(shù)a，b，定義運算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，則x的值為1．解：由題意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）＝6，整理得，3x+3＝6，解得，x＝1，故答案為：1．二．選擇題（共6小題，滿分12分，每小題2分）13．（2分）（2022秋?江北區(qū)期末）一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，經(jīng)過配方可變形為（）A．（x﹣2）2＝10 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝6 D．（x﹣2）2＝2解：方程移項得：x2﹣4x＝6，配方得：x2﹣4x+4＝10，即（x﹣2）2＝10．故選：A．14．（2分）（2022秋?龍華區(qū)校級期末）將代數(shù)式x2+4x﹣1化成（x+h）2+k的形式為（）A．（x﹣2）2+3 B．（x+2）2+4 C．（x+2）2﹣1 D．（x+2）2﹣5解：x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5．故選：D．15．（2分）（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）已知△ABC為等腰三角形，已知它的兩條邊的長度分別是方程2x2﹣7x+5＝0的兩個根，那么該三角形的周長是（）A．或6 B． C．5 D．6解：2x2﹣7x+5＝0，（2x﹣5）（x﹣1）＝0，解得x1＝2.5，x2＝1．①當x1＝2.5為腰時，則周長C＝2.5+2.5+1＝6．②當x2＝1為腰時，因為1+1＜2.5，不符合三角形三邊關系，故舍去；∴三角形的周長為6．故選：D．16．（2分）（2022秋?仁壽縣校級月考）若（x2+y2）4﹣8（x2+y2）2+16＝0，則x2+y2的值為（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4解：（x2+y2）4﹣8（x2+y2）2+16＝0，設（x2+y2）2＝a，則原方程化為a2﹣8a+16＝0，即（a﹣4）2＝0，解得：a1＝a2＝4，當a＝4時，（x2+y2）2＝4，∵不論x、y為何值，x2+y2≥0，∴x2+y2＝2，故選：A．17．（2分）（2019秋?江北區(qū)校級月考）已知實數(shù)a，b同時滿足a2+b2﹣11＝0，a2﹣5b﹣5＝0，則b的值是（）A．1 B．1或﹣6 C．﹣1 D．﹣6解：∵a2+b2﹣11＝0，①a2﹣5b﹣5＝0，②∴①﹣②得b2+5b﹣6＝0，（b+6）（b﹣1）＝0，∴b1＝﹣6，b2＝1．當b＝﹣6時，a2＝﹣25，方程無實數(shù)根，不合題意，舍去．∴b＝1．故選：A．18．（2分）（2009?寧波校級自主招生）用配方法解方程2x2﹣x﹣1＝0，變形結果正確的是（）A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝ C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝解：∵2x2﹣x﹣1＝0∴2x2﹣x＝1∴x2﹣x＝∴x2﹣x+＝+∴（x﹣）2＝故選：D．三．簡答題（共6小題，滿分26分）19．（4分）（2023?鼓樓區(qū)校級開學）解方程：（1）x2﹣4x+1＝0；（2）（x+2）2﹣3（x+2）＝0．解：（1）∵x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x＝﹣1，則x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（2）∵（x+2）2﹣3（x+2）＝0，∴（x+2）（x﹣1）＝0，則x+2＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1．20．（4分）（2022秋?孟村縣校級期末）解方程：（1）（2x+4）（3x﹣4）＝6（x﹣2）2；（2）．解：（1）去括號，得6x2﹣8x+12x﹣16＝6x2﹣24x+24，移項、合并同類項，得28x＝40，系數(shù)化為1，得；（2）方程兩邊同乘（x﹣3），得：2﹣x﹣1＝x﹣3，解得：x＝2，經(jīng)檢驗：x＝2是原方程的解，所以原方程的解是x＝2．21．（4分）（2022秋?渝中區(qū)校級期末）解方程：（1）．（2）（x+4）（x﹣1）＝7x﹣8．解：（1）去分母得：3﹣x+1＝2x﹣8，解得：x＝4，經(jīng)檢驗x＝4不是分式方程的解，分式方程無解；（2）x2+3x﹣4＝7x﹣8，x2﹣4x+4＝0，（x﹣2）2＝0，x﹣2＝0，x1＝x2＝2．22．（4分）（2022秋?二道區(qū)校級期末）解方程：（1）x2﹣10x+25＝0；（2）2x2﹣x﹣2＝0．解：（1）x2﹣10x+25＝0，（x﹣5）2＝0，x1＝x2＝5；（2）2x2﹣x﹣2＝0，a＝2，b＝﹣1，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝17＞0，∴x＝＝，x1＝，x2＝．23．（4分）（2022春?亭湖區(qū)校級期中）解方程：（1）；（2）x2﹣4x﹣3＝0．解：（1）∵，∴2x＝x﹣1+2，∴x＝1；檢驗：當x＝1時，x﹣1＝0，則x＝1是增根，∴原分式方程無解．（2）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，∴，∴，；24．（6分）（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）解方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）2（x﹣7）2＝14；（3）x2﹣3x﹣2＝0．解：（1）∵x2﹣2x＝0，∴x2﹣2x+1＝1，即（x﹣1）2＝1，∴x﹣1＝±1，∴x1＝2，x2＝0；（2）2（x﹣7）2＝14；（x﹣7）2＝7；x﹣7＝±，x＝+7，x1＝+7，x2＝7﹣；（3）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，則x＝＝，即x1＝，x2＝．四．解答題（共5小題，滿分38分）25．（6分）（2022秋?鳳凰縣期末）閱讀下列材料：利用完全平方公式，可以將多項式ax2+bx+c（a≠0）變形為a（x+m）2+n的形式，我們把這樣的式子變形叫做多項式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行分解因式．例如：x2+11x+24＝x2+11x+（）2﹣（）2+24根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）用多項式的配方法將x2+8x﹣1變形為（x+m）2+n的形式；（2）下面是某位同學用配方法及平方差公式把多項式x2﹣3x﹣40進行分解因式的解答過程：x2﹣3x﹣40＝x2﹣3x+32﹣32﹣40＝（x﹣3）2﹣49＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7）＝（x+4）（x﹣10）老師說，這位同學的解答過程中有錯誤，請你找出該同學解答中開始出現(xiàn)錯誤的地方，然后再寫出完整的、正確的解答過程．正確的解答過程：x2﹣3x﹣40＝x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣40＝（x﹣）2﹣＝（x﹣+）（x﹣﹣）＝（x+5）（x﹣8）．（3）求證：x，y取任何實數(shù)時，多項式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值總為正數(shù)．（1）解：x2+8x﹣1＝x2+8x+42﹣42﹣1＝（x+4）2﹣17；（2）解：正確的解答過程：x2﹣3x﹣40＝x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣40＝（x﹣）2﹣＝（x﹣+）（x﹣﹣）＝（x+5）（x﹣8），故答案為：（x+5）（x﹣8）；（3）證明：x2+y2﹣2x﹣4y+16＝x2﹣2x+1+y2﹣4y+4+11＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+11，∵（x﹣1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2+11＞0，∴x，y取任何實數(shù)時，多項式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值總為正數(shù)．26．（8分）（2021秋?海淀區(qū)校級期末）關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0經(jīng)過適當變形，可以寫成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．現(xiàn)列表探究x2﹣4x﹣3＝0的變形：變形mnp（x+1）（x﹣5）＝﹣2﹣15﹣2x（x﹣4）＝3043（x﹣1）（x﹣t）＝61t6（x﹣2）2＝7227回答下列問題：（1）表格中t的值為3；（2）觀察上述探究過程，表格中m與n滿足的等量關系為m+n＝4；（3）記x2+bx+c＝0的兩個變形為（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），則的值為﹣1．解：（1）x2﹣4x﹣3+6＝6，x2﹣4x+3＝6，（x﹣1）（x﹣3）＝6，所以t＝3；故答案為3；（2）﹣1+5＝4，0+4＝4，1+3＝4，2+2＝4，所以m+n為一次項系數(shù)的相反數(shù)，即m+n＝4；故答案為m+n＝4；（3）由（2）的結論得到m1+n1＝﹣b，m2+n2＝﹣b，所以m1+n1＝m2+n2，即n1﹣n2＝﹣（m1﹣m2），∴＝﹣1．故答案為﹣1．27．（8分）（2022秋?惠安縣期末）小明在學習配方法時，將關于x的多項式x2﹣2x+3配方成（x﹣1）2+2，發(fā)現(xiàn)當x﹣1取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多項式x2﹣2x+3的值是相等的．例如：當x﹣1＝±2時，即x＝3或﹣1時，x2﹣2x+3的值均為6；當x﹣1＝±3時，即x＝4或﹣2時，x2﹣2x+3的值均為11．于是小明給出一個定義：對于關于x的多項式，若當x﹣t取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，就稱該多項式關于x＝t對偶，例如x2﹣2x+3關于x＝1對偶．請你結合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：（1）多項x2﹣6x+10關于x＝3對偶；（2）當x＝m或6﹣m時，關于x的多項x2+2bx+c的值相等，求b的值；（3）若整式（x2+8x+16）（x2﹣4x+4）關于x＝n對偶，求n的值．解：（1）x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1，則多項式關于x＝3對偶．故答案為：x＝3；（2）x2+2bx+c＝（x+b）2﹣b2+c，依題意，得m+b＝6﹣m+b互為相反數(shù)，即（m+b）+（6﹣m+b）＝0，∴b＝﹣3；（3）（x2+8x+16）（x2﹣4x+4）＝（x+4）2（x﹣2）2＝[（x+4）（x﹣2）]2＝[（x+1）2﹣9]2∵該整式關于x＝﹣1對偶．∴n＝﹣1．28．（8分）（2022春?興寧區(qū)期末）閱讀下列材料，并回答問題：天桃學區(qū)七年級某班數(shù)學興趣小組的同學在學習了實數(shù)的近似運算之后，探索利用數(shù)形結合的思想求實數(shù)近似值的方法．下面是小組同學一起探索的求解過程，請你仔細閱讀求解過程并和數(shù)學小組的成員一起把過程補充完整：（1）已知面積是2的正方形的邊長是，且＞1，則設＝1+x（0＜x＜1），畫出如圖所示的示意圖．根據(jù)各部分面積之和等于總面積．可列方程為：x2+2x+1＝2，∵0＜x＜1，∴認為x2是個較為接近于0的數(shù)，令