華師版八下數學平行四邊形(知識歸納)

華東師大版八年級下冊數學平行四邊形的性質及判定平行四邊形的性質【知識要點及基礎例題】定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形的中心對稱性及性質定理1：平行四邊形的對邊相等。例1、如圖所示，已知四邊形ABDE是平行四邊形，C為邊BD延長線上一點，連結AC、CE，有AC=DE。求證：AD=CE練習：如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，以AB、BD為鄰邊作平行四邊形ABDE，連結AD、EC。求證：△ADC≌△ECD平行四邊形性質定理2：平行四邊形的對角相等。例2、如圖，在平行四邊形ABCD中，，求平行四邊形ABCD各個內角的度數。平行四邊形性質定理3：平行四邊形的對角線互相平分。例3、如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，AB=4，AC=6，并且AB⊥CA，求對角線BD的長。練習：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O。若AC=14，BD=8,AB=10，則△OAB的周長為（）平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心。平行線間的距離①兩條直線平行，其中一條直線上的任一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離。②平行線的性質：平行線之間的距離處處相等。例4、如圖，直線，點P在直線上，點A、B在直線上，設△PAB面積為S。當點P運動到位置時，△PAB與△的面積相等嗎？為什么？練習：如圖所示，直線和AB的夾角，且AB=50mm,求兩平行線之間的距離?！舅季S拓展】利用平行四邊形的性質進行計算例1、若平行四邊形ABCD的對角線相交與O點，且AB≠BC，過O點作OE⊥AC，交BC于E。如果三角形ABE的周長為b。則平行四邊形ABCD的周長是（） （例1圖）例2、如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為AD的中點，CE交BA的延長線于點F。若BC=2AB，求的度數。練習：1、如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點A正好落在CD上的點F，若△FDE的周長為8，△FCB的周長為12，則FC的長為（）如圖，在平行四邊形ABCD中，，將平行四邊形ABCD折疊，使點D、C分別落在點F、E處（點F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，則等于（）利用平行四邊形的性質進行證明例3、如圖甲所示，在平行四邊形ABCD中，AE、BF分別平分,并分別交CD于點E、F,AE、BF相交于點M。（1）求證：AE⊥BF；（2）判斷線段DF與CE的大小關系，并予以證明。（兩種解法）練習：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，O是對角線AC的中點，過點O的直線EF分別交AB、DC于點E、F，與CB、AD的延長線分別交于點G、H。除AB=CD，AD=BC，OA=OC這三對相等的線段外，圖中還有多對相等的線段，請選出其中一對加以證明．與平行四邊形面積有關的計算例4、如圖，點E是平行四邊形ABCD內任意一點，平行四邊形ABCD的面積是6，連結點E與平行四邊形的四個頂點，求圖中陰影部分的面積。練習：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E為AC上一點，AE=2EC，點F為AB上一點，BF=2AF，△BEF的面積為2平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積。利用平行四邊形的性質進行方案設計例5、如圖是一塊平行四邊形貼片ABCD，且AB=2AD?，F在想用這塊貼片截出一個直角三角形，并要求斜邊與AB重合，且面積最大，能否截出符合條件的三角形？如果能截出，畫出截線；如果不能截出，請說明理由。練習：張大伯承包了一個呈四邊形的池塘：如圖所示，它的四個角A，B，C，D處均有一棵核桃樹，張大伯今年養(yǎng)魚喜獲豐收，明年準備把池塘面積擴大一倍，但又不想毀掉這四棵大樹，并且擴建后的池塘呈平行四邊形形狀．張大伯這一設想是否能實現？請你幫助他解決一下，并畫出草圖． 平行四邊形的判定【知識要點及基礎例題】平行四邊形的判定方法1：定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。例1、如圖所示，已知四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，P、Q分別是AB、CD上的點，且AP=CQ，求證：四邊形PDQB為平行四邊形。 平行四邊形判定方法2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。例2、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是CD、AB上的點，CM=AN，E、F是AC上的點，且AE=CF.求證：四邊形MENF是平行四邊形。平行四邊形判定3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。例3、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E是AD的中點，BE的延長線與CD的延長線交于點F。△ABE≌△DFE（2）試連結BD、AF，判斷四邊形ABDF的形狀。平行四邊形判定4：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。例4、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是對角線A、C的三等分點，求證：四邊形BFDE是平行四邊形。平行四邊形判定5：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。例5、如圖所示，AE、CF分別是平行四邊形ABCD的內角的平分線。求證：四邊形AECF是平行四邊形?！铩锲叫兴倪呅闻卸ǚ椒ǖ倪x擇平行四邊形的五種判定方法：①定義法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。這五種判定方法分別是從四邊形的邊、角、對角線三個方面來判定，我們應仔細觀察題目中所給出的條件，仔細選擇適合題目的判定方法進行解答。在這五種方法中，有一種與對角線有關，一種與對角有關，其他三種與邊有關，這五種判定方法還與平行四邊形的性質相呼應，注意區(qū)別與聯(lián)系?！锲叫兴倪呅闻卸ǚ椒ㄟx擇已知條件選擇的判定方法邊一組對邊相等方法2，方法3一組對邊平行定義（方法1），方法3角一組對角相等方法5對角線方法4例6、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E、F在AC上且AF=CE,點G、H分別在AB、CD上且AG=CH,AC與GH相交于點O。（1）求證：EG∥FH（2）GH、EF互相平分。 【拓展提高】例1、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，以對角線AC為邊長在其兩側各作一個正△ACP和正△ACQ,求證：四邊形BPDQ是平行四邊形。例2、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E、F在對角線AC上，且AF=CE.求證：四邊形BEDF是平行四邊形。（多種方法證明）例3、如圖所示，已知現有六邊形的鐵板ABCDEF,其中∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，AB=10cm，BC=70cm，CD=20cm，DE=40cm，求AF和EF的長．（兩種思路）例4、加倍中線構造平行四邊形解題如圖所示，已知AD為△ABC的中線，E為AC上一點，連結BE交AD于點F且AE=FE。求證：AC=BF例5、與平行四邊形相關的動點問題如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm,點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以1cm/s的速度由A向D運動，Q以2cm/s的速度由C出發(fā)向B運動，幾秒后，四邊形ABQP是平行四邊形？【規(guī)律總結】1、證明兩條線段相等的常用方法：①等角對等邊；②“三線合一”的性質；③證明兩線段所在三角形全等；④平行四邊形對邊相等或對角線互相平分。當題中有三角形中線時，常加倍中線構造平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質推出線段相等、平行或角相等。例5、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC上的點，請你自行規(guī)定E、F在邊AD、BC上的位置，然后補充題設，提出結論并證明（要求至少編制兩個正確命題，且補充題設不能相同）例6、如圖所示，某城市部分街道示意圖，其中CD垂直平分AF，AB∥CD，BC∥DF。從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達的公交車，路線1是B?D?A?E，路線2是B?C?F?E，請比較兩條路線路程的長短，并給出證明．

【中考對接】（廈門)如圖所示，已知△ABC是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上，，∠EFB=60°，DC=EF．求證四邊形EFCD是平行四邊形。若BF=EF,求證：AE=AD

(2010江蘇）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E、F是對角線AC上兩點，且AE=CF。求證：【強化練習】（天津）如圖所示，點D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，連結DE、EF、FD,則圖中平行四邊形的個數為()個如圖所示，D、E、F分別在△ABC的各邊上且DE∥AF,DE=AF,延長FD至G，使FG=2DF。求證：ED與AG互相平分。-