新教材2023年秋高中物理第1章安培力與洛倫茲力素養(yǎng)提升課2帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動教師用書含答案新人教版選擇性必修第二冊

素養(yǎng)提升課(二)帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動1．掌握幾種常見有界磁場的分布特點(diǎn)。2．會分析直線邊界、圓形邊界磁場中帶電粒子的運(yùn)動軌跡。3．能利用幾何知識求解圓周運(yùn)動的半徑。4．會分析有界磁場中的臨界、極值問題。帶電粒子在直線邊界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動1．單平面邊界的磁場問題從單平面邊界垂直磁場射入的正、負(fù)粒子重新回到邊界時(shí)的速度大小、速度方向和邊界的夾角與射入磁場時(shí)相同。2．雙平行平面邊界的磁場問題帶電粒子由邊界上P點(diǎn)以如圖所示方向進(jìn)入磁場。(1)當(dāng)磁場寬度d與軌跡圓半徑r滿足r≤d時(shí)(如圖中的r1)，粒子在磁場中做半圓周運(yùn)動后從進(jìn)入磁場時(shí)的邊界上的Q1點(diǎn)飛出磁場。(2)當(dāng)磁場寬度d與軌跡圓半徑r滿足r>d時(shí)(如圖中的r2)，粒子將從另一邊界上的Q2點(diǎn)飛出磁場。【典例1】如圖所示，直線MN上方存在著垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，質(zhì)量為m、電荷量為－q(q＞0)的粒子1在紙面內(nèi)以速度v1＝v0從O點(diǎn)射入磁場，其方向與MN的夾角α＝30°；質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子2在紙面內(nèi)以速度v2＝3v0也從O點(diǎn)射入磁場，其方向與MN的夾角β＝60°。已知粒子1、2同時(shí)到達(dá)磁場邊界的A、B兩點(diǎn)(圖中未畫出)，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用。求：(1)兩粒子在磁場邊界上的穿出點(diǎn)A、B之間的距離d；(2)兩粒子進(jìn)入磁場的時(shí)間間隔Δt。[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)速度方向和粒子的電性畫出運(yùn)動軌跡，利用幾何關(guān)系求出軌道半徑。(2)粒子的運(yùn)動具有對稱性，即進(jìn)、出磁場時(shí)的速度方向和邊界的夾角相等。[解析](1)做出兩粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，有qvB＝mv2r，則r故d＝OA＋OB＝2r1sin30°＋2r2sin60°＝4mv(2)粒子1做圓周運(yùn)動的圓心角θ1＝5粒子2圓周運(yùn)動的圓心角θ2＝4粒子做圓周運(yùn)動的周期T＝2粒子1在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的時(shí)間t1＝θ1粒子2在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的時(shí)間t2＝θ2所以Δt＝t1－t2＝πm[答案](1)4mv0qB(1)要按照“畫軌跡，找圓心，求半徑(利用幾何關(guān)系)”的基本思路進(jìn)行。(2)解題過程中注意對稱性的應(yīng)用。[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(2022·黑龍江哈九中高二期中)如圖所示，在平板PQ上方有一勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里。某時(shí)刻有a、b、c三個(gè)電子(不計(jì)重力)分別以大小相等、方向如圖所示的初速度va、vb和vc經(jīng)過平板PQ上的小孔O垂直射入勻強(qiáng)磁場。這三個(gè)電子打到平板PQ上的位置到小孔O的距離分別是la、lb和lc，電子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間分別為ta、tb和tc。整個(gè)裝置放在真空中。則下列判斷正確的是()A．la＝lb<lc B．la<lb<lcC．ta＞tb＞tc D．ta＝tc＜tbC[三個(gè)電子的速度大小相等，軌跡如圖所示，垂直進(jìn)入同一勻強(qiáng)磁場中。由于初速度va和vc的方向與PQ的夾角相等，所以這兩個(gè)電子的運(yùn)動軌跡正好組合成一個(gè)完整的圓，則這兩個(gè)電子打到平板PQ上的位置到小孔的距離是相等的。而初速度vb的電子方向與PQ垂直，則它的運(yùn)動軌跡正好是半圓，所以電子打到平板PQ上的位置到小孔的距離恰好是圓的直徑。由于它們的速度大小相等，因此它們的運(yùn)動軌跡的半徑均相同，所以速度為vb的距離最大，故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤。從圖中可得，初速度va的電子偏轉(zhuǎn)的角度最大，初速度vc的電子偏轉(zhuǎn)的角度最小，根據(jù)粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間與偏轉(zhuǎn)的角度之間的關(guān)系tT＝θ2π可得偏轉(zhuǎn)角度最大的a運(yùn)動的時(shí)間最長，偏轉(zhuǎn)角度最小的c在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最短，故帶電粒子在圓形邊界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動1．在圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域內(nèi)，沿徑向?qū)?zhǔn)磁場圓心射入的粒子一定沿徑向射出。如圖所示，磁場圓半徑為R，粒子軌跡圓半徑為r，帶電粒子從P點(diǎn)對準(zhǔn)磁場圓心O射入，由幾何知識容易證明粒子從Q點(diǎn)飛出的速度方向的反向延長線必過磁場圓心O點(diǎn)。2．帶電粒子入射方向偏離圓形勻強(qiáng)磁場圓心射入的問題處理這類問題時(shí)一定要分清磁場圓和軌跡圓，并要注意區(qū)分軌跡圓的圓心和圓形邊界勻強(qiáng)磁場的圓心。(1)當(dāng)粒子沿圖甲所示軌跡運(yùn)動時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長、速度偏轉(zhuǎn)角最大。(2)由圖甲看出，在軌跡圓半徑和速度偏轉(zhuǎn)角一定的情況下，可實(shí)現(xiàn)此偏轉(zhuǎn)的最小磁場圓是以PQ為直徑的圓。(3)如圖乙所示，由幾何知識很容易證明：當(dāng)r＝mvqB＝R時(shí)，相同帶電粒子從P點(diǎn)沿紙面內(nèi)【典例2】在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖所示。一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點(diǎn)A處以速度v沿x軸負(fù)方向射入磁場，它恰好從磁場邊界與y軸的交點(diǎn)C處沿y軸正方向飛出。(1)請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷qm(2)若磁場的方向和所在空間范圍不變，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時(shí)的速度方向相對于入射方向改變了60°角，磁感應(yīng)強(qiáng)度B′為多大？此次粒子在磁場中運(yùn)動所用時(shí)間t是多少？[思路點(diǎn)撥](1)粒子沿半徑方向進(jìn)入磁場后，仍會沿著半徑方向射出磁場。(2)畫出運(yùn)動軌跡并求出軌道半徑是解答本題的關(guān)鍵。[解析](1)粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，由左手定則可知，該粒子帶負(fù)電荷。粒子由A點(diǎn)射入，由C點(diǎn)飛出，其速度方向改變了90°角，則粒子軌跡半徑R＝r，又qvB＝mv2r，則粒子的比荷(2)設(shè)粒子從D點(diǎn)飛出磁場，速度方向改變了60°角，故AD弧所對圓心角為60°，粒子做圓周運(yùn)動的半徑R′＝rtan又R′＝mvqB'，所以B′粒子在磁場中運(yùn)動所用時(shí)間t＝16[答案](1)負(fù)電荷vBr(2)33B[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(2022·黑龍江哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)如圖所示，在圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，ab是圓的直徑。一帶電粒子從a點(diǎn)射入磁場，速度大小為v、方向與ab成30°角時(shí)，恰好從b點(diǎn)飛出磁場，且粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為t；若同一帶電粒子從a點(diǎn)沿ab方向射入磁場，也經(jīng)時(shí)間t飛出磁場，則其速度大小為()A．12v B．3C．23v D．3B[帶電粒子兩次在磁場中的運(yùn)動時(shí)間相同，圓心角都是60°；設(shè)圓形磁場的半徑為R，粒子第一次在磁場中運(yùn)動時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得qvB＝mv2r1，r1粒子第二次在磁場中運(yùn)動時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得qv2B＝mv22r2，r2＝Rtan60°，解得v2＝3]帶電粒子在有界磁場中的臨界問題帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，帶電粒子速度大小的變化，引起帶電粒子做圓周運(yùn)動的半徑發(fā)生變化。或者隨著帶電粒子速度方向的變化使帶電粒子的運(yùn)動狀態(tài)在某一時(shí)刻發(fā)生變化。找到臨界點(diǎn)對應(yīng)的條件是解決此類問題的突破口。解決此類問題應(yīng)注意以下結(jié)論：(1)剛好穿出或剛好不能穿出磁場的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡與邊界相切。(2)當(dāng)以一定的速率垂直射入磁場時(shí)，運(yùn)動的弧長越長、圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動時(shí)間越長。(3)當(dāng)比荷相同，速率v變化時(shí)，在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的圓心角越大的帶電粒子，運(yùn)動時(shí)間越長?！镜淅?】如圖所示，勻強(qiáng)磁場寬度l＝43cm，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B＝0.1T，方向垂直紙面向里，有一質(zhì)量m＝8×10-25kg、電荷量q＝5×10-18C的正離子，以方向垂直磁場的初速度v0從小孔C沿水平方向射入勻強(qiáng)磁場，轉(zhuǎn)過圓心角θ＝60°后從磁場右邊界A點(diǎn)射出(取π＝3)。(1)求離子的初速度v0；(2)求離子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間；(3)只改變正離子的速度大小，使之無法從右邊界射出，求離子速度的最大值(取3＝1.73，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)。[解析](1)由幾何關(guān)系得r＝lsinθ由洛倫茲力提供向心力得qv0B＝mv解得v0＝5×104m/s。(2)離子運(yùn)動周期為T＝2πrv0＝9.6離子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間為t＝θ360°T＝1.6×10-6(3)若離子剛好不從右邊界射出，則離子軌跡剛好和右邊界相切，由幾何關(guān)系得離子軌跡半徑為R＝l由洛倫茲力提供向心力得qvmB＝mv解得vm≈4.3×104m/s。[答案](1)5×104m/s(2)1.6×10-6s(3)4.3×104m/s(1)帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的臨界問題往往對應(yīng)著一些特殊的詞語，如“恰好”“剛好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解題時(shí)應(yīng)予以特別關(guān)注。(2)畫出粒子運(yùn)動的軌跡并根據(jù)幾何知識求得此時(shí)帶電粒子運(yùn)動的軌道半徑往往是求解此類問題的關(guān)鍵。[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(2022·云南玉溪第三中學(xué)高二階段練習(xí))如圖所示，矩形邊界ABCD內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向里，AB長為2l，AD長為l。從AD的中點(diǎn)E以不同速率發(fā)射粒子，速度方向與AD成30°角；粒子帶正電，電荷量為q，質(zhì)量為m；不計(jì)粒子重力與粒子間的相互作用。求：(1)從AB邊離開磁場的粒子，出射點(diǎn)離A點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離；(2)要使粒子全部從AB邊離開磁場，發(fā)射速率應(yīng)滿足的條件。[解析](1)如圖所示當(dāng)粒子的軌跡恰好與CD邊相切時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系，有R1(1-cos60°)＝l