中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試（暑假作業(yè)檢測）數(shù)學(xué)試題

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試（暑假作業(yè)檢測）數(shù)學(xué)試題試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三四總分得分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．－2 C． D．42．若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．3．在平面四邊形中，滿足，則四邊形是A．矩形 B．正方形C．菱形 D．梯形4．《九章算術(shù)》是中國古代人民智慧的結(jié)晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個圓臺形狀的建筑物，下底面周長為三丈，上底面周長為二丈，高為一丈”，則該圓臺的側(cè)面積（單位：平方丈）為（

）A． B． C． D．5．已知，是兩條不重合直線，，是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則6．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形7．，若是的最小值，則的取值范圍為（

）.A．[1，2] B．[1，0] C．[1，2] D．8．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠（球）的表面上有四個點，，，，且球心在上，，，，則該鞠（球）的表面積為（

）A． B． C． D．評卷人得分二、多選題9．下列選項中，與的值相等的有（

）A． B．C． D．10．某同學(xué)在研究函數(shù)時，分別得出下面幾個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．等式在時恒成立B．函數(shù)的值域為C．若，則一定有D．方程在上有三個根11．已知，，，，且的圖象的對稱中心與對稱軸的最小距離為，則下列說法正確的是（

）A．B．的圖象關(guān)于直線對稱C．把圖象向左平移單位，所得圖象關(guān)于軸對稱D．保持圖象上每一點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后把圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象12．已知正方體的棱長為，如圖，點分別為的中點，則下列說法正確的是（

）A．平面平面B．直線與直線所成角的余弦值為C．平面截正方體所得截面的面積為D．點與點到平面的距離相等第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．14．已知，則．15．已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是．16．已知三角形的三邊長，其面積是固定的，而已知平面凸四邊形的四邊長，其面積是不確定的．現(xiàn)有一平面凸四邊形，，則其面積最大值為．評卷人得分四、解答題17．如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點．(1)用，，表示向量；(2)在線段上是否存在點，使？若存在，求出的位置，若不存在，說明理由．18．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上有且僅有一個零點，求實數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)在[a，b]上的值域為[2a，2b]，若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．19．如圖所示，已知是半徑為，中心角為的扇形，為弧上一動點，四邊形是矩形，．(1)求矩形的面積的最大值及取得最大值時的值；(2)在中，，，其面積，求的周長．20．如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，平面，，，點是的中點.(1)證明：；(2)求二面角的大小.21．已知向量，向量與向量的夾角為，且.(1)求向量的坐標(biāo)；(2)若，且，，其中，，是的內(nèi)角，若，求的取值范圍.22．如圖①所示，長方形中，，點M是邊CD的中點，將沿AM翻折到，連結(jié)PB，PC，得到圖②的四棱錐．

(1)若棱PB的中點為N，求CN的長；(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【分析】因為是實數(shù)，所以復(fù)數(shù)的實部是，虛部是，直接由實部等于0，虛部不等于0求解的值．【詳解】解：由是純虛數(shù)，得，解得．故選：A.2．B【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式比較.【詳解】因為，則，又，所以.故選：B.【點睛】本題考查不等關(guān)系及基本不等式的運用．屬于簡單題．3．C【分析】由知四邊形是平行四邊形，由知道對角線互相垂直，即可選出答案。【詳解】因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形的對角線互相垂直，所以四邊形是菱形.【點睛】本題考查向量與向量之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題4．B【分析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，由已知周長求得和，代入圓臺的側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，可得，可得，又由圓臺的高為1丈，可得圓臺的母線長為，所以圓臺的側(cè)面積為.故選：B.5．C【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系逐項分析即得.【詳解】若，，則或，故A錯誤；若，，則或或與相交，故B錯誤；若，，則或，又，故，故C正確；若，，則，又，則或，故D錯誤.故選：C.6．C【分析】利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得，從而可求，或，進(jìn)而可得為直角，或，即可判斷三角形的形狀.【詳解】，由正弦定理可得：，可得：，，可得：，，可得：，，或，為直角，或，的形狀為等腰三角形或直角三角形.故選：C7．D【分析】先求出時，的最小值，由題意可得在上遞減，且，從而可求出的取值范圍【詳解】由于當(dāng)時，在時取得最小值，因為是的最小值，所以當(dāng)時，是遞減的，則，此時最小值為，因此，解得，故選：D．8．C【分析】畫出圖形，作出輔助線，求出，進(jìn)而得到，利用勾股定理求出球的半徑，求出球的表面積.【詳解】如圖，取AB的中點M，連接MP，由AC=BC=4，AC⊥BC得：，由，得：，連接CM并延長，交球O于點H，連接PH，因為PC球O的直徑，設(shè)球的半徑為R，則PH⊥CH，，則，所以，解得：，球的表面積為.故選：C【點睛】立體幾何中外接球問題，要畫出具體圖形，找到球心的位置，結(jié)合解三角形等知識進(jìn)行求出半徑，再求解球的表面積或體積.9．BC【分析】利用二倍角公式，兩角和與差的正弦（余弦）、正切公式求值后判斷．【詳解】；；；．．故選：BC．10．ABC【分析】根據(jù)解析式可驗證知A正確；由的解析式可得值域，結(jié)合奇函數(shù)對稱性知B正確；由B中解析式可確定當(dāng)時在上單調(diào)遞增，結(jié)合奇函數(shù)對稱性可證得在上單調(diào)遞增，知C正確；分別在和時，令解得零點，得D錯誤.【詳解】對于A，，，A正確；對于B，當(dāng)時，；，；由A知：為奇函數(shù)，當(dāng)時，；的值域為，B正確；對于C，由B知：當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；又為奇函數(shù)，則在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增，則若，則一定有，C正確；對于D，當(dāng)時，令，解得：；當(dāng)時，令，方程無解；在上有且僅有一個解，D錯誤.故選：ABC.11．ABD【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、降冪公式及輔助角公式可得，根據(jù)已知有求得，即，應(yīng)用代入法驗證對稱軸、根據(jù)圖象平移寫出平移后的解析式并判斷對稱性，即可得答案.【詳解】由，而對稱中心與對稱軸的最小距離為，即，可得，所以，可得，A正確；故，則，故的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；，顯然不關(guān)于軸對稱，C錯誤；橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再左移個單位則，D正確.故選：ABD12．ABC【分析】連接，證明，后可得面面平行，判斷A，由此可求得異面直線所成的角，判斷B，作出完整的截面，求出面積判斷C，根據(jù)點面距離的概念與性質(zhì)判斷D．【詳解】連接，因為點分別為的中點，所以，且，正方體中，與平行且相等，與平行且相等，所以與平行且相等，所以是平行四邊形，是平行四邊形，所以，，由得，由平面，平面，得平面，同理平面，而．平面，所以平面平面，A正確；由以上證明過程知（或春補(bǔ)角）是直線與直線所成角，，，三角形是等腰三角形，所以，所以B正確．因為平面平面，所以截面與這兩個平面的交線平行，因此取中點，連接，則，所以，所以截面就是梯形，，，，梯形的高為，截面面積為．C正確．，且與在平面的同側(cè)，在同一平面內(nèi)，所以與到平面的距離不相等，也即點與點到平面的距離不相等，D錯．故選：ABC．【點睛】本題考查面面平行的判斷，異面直線所成的角，正方體的截面的計算，點到平面的距離等，解題關(guān)鍵是掌握空間線面位置關(guān)系的判定方法，證明時注意定理的條件，解答選擇題、填空題時注意常用的結(jié)論，它們可以使學(xué)生能更好更快地判斷出正確結(jié)論．13．/【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式以及復(fù)數(shù)的除法化簡所求復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，所以，，因此，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故答案為：.14．【分析】由已知條件及誘導(dǎo)公式可得，再應(yīng)用二倍角余弦公式求目標(biāo)式的值.【詳解】，由.故答案為：15．【分析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性得到且，解不等式,可求得答案．【詳解】函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，，函數(shù)，且，，又，．故答案為：16．【分析】設(shè)，，利用兩次余弦定理求得，的關(guān)系，再根據(jù)三角形面積公式以及余弦的差角公式，即可求得結(jié)果．【詳解】設(shè)，，連接，作圖如下：在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，故可得，即，又四邊形的面積，令，則，由，則，上述兩式相加可得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值40，此時的最大值為，由，其最大值為．故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決問題的關(guān)鍵是將四邊形面積轉(zhuǎn)換成兩個三角形面積之和即可得到，同一邊在不同三角形中運用余弦定理得到，令，平方相加即可得到，從而順利求解.17．(1)(2)當(dāng)時，【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)，，用，，表示向量，依題意可得，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律求出，即可得解．【詳解】（1）解：因為是中點，所以，所以；（2）解：假設(shè)存在點，使，設(shè)，，顯然，，因為，所以，即，，，，即，解得，所以當(dāng)時，.18．(1)(2)【分析】（1）利用圖像法求解；（2）假設(shè)存在實數(shù)m，符合題意，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程兩個不等正根，列不等式組，即可求出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）因為函數(shù)在上有且僅有一個零點，所以的圖像與只有一個交點.作出圖象如圖所示：由圖像可得：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以要使的圖像與只有一個交點，只需或，故實數(shù)k的取值范圍.（2）假設(shè)存在實數(shù)m，符合題意.因為，所以.因為和在[a，b]（其中a>0）上單調(diào)遞增，所以在[a，b]上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在[a，b]上的值域為，所以，所以a、b是關(guān)于x的方程兩個不等正根，只需：解得：.即實數(shù)m的取值范圍為.【點睛】已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．19．(1)當(dāng)時，；(2).【分析】（1）將利用加以表示，并利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值；（2）由題可得，然后利用余弦定理及三角形面積公式可得，進(jìn)而即得.【詳解】（1）因為，所以，則，又，所以，所以，，則，故當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，.（2）∵，∴，又，∴，，即，又，∴，，∴，即，∴，∴，即的周長為.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由平面，知，結(jié)合，可證平面，從而得，再證，進(jìn)而知平面，然后由線面垂直的性質(zhì)定理得證；（2）先證平面平面，可知二面角與二面角是互余的，再根據(jù)二面角的定義找出二面角的平面角，并求之，即可得解.【詳解】（1）因為平面，平面，所以，因為底面為矩形，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，點是的中點，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）由（1）知，平面，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以二面角與二面角是互余的，則求二面角的大小轉(zhuǎn)