一元二次方程的根的判別式八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)題典2

2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【滬教版】專題姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．〔2021秋?浦東新區(qū)期末〕在以下方程中，有兩個不相等實(shí)數(shù)根的是〔〕A．x2＝2x﹣4B．x2﹣4x+4＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2+4＝0【分析】先計(jì)算各方程的根的判別式，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況，從而得到正確答案．【解析】A、方程化為x2﹣2x+4＝0，那么△＝〔﹣2〕2﹣4×4＝﹣12＜0，方程無實(shí)數(shù)根，所以A選項(xiàng)不符合題意；B、△＝〔﹣4〕2﹣4×4＝0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，所以B選項(xiàng)不符合題意；C、△＝〔﹣2〕2﹣4×〔﹣1〕＝8＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，所以C選項(xiàng)符合題意；D、△＝02﹣4×4＝﹣16＜0，方程無實(shí)數(shù)根，所以D選項(xiàng)不符合題意．應(yīng)選：C．2．〔2021秋?上海期末〕以下方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是〔〕A．x2﹣3x＝0B．x2﹣6x+10＝0C．x2﹣6x+9＝0D．x2＝1【分析】分別計(jì)算每個方程根的判別式的值，從而得出答案．【解析】A．此方程根的判別式△＝〔﹣3〕2﹣4×1×0＝9＞0，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；B．此方程根的判別式△＝〔﹣6〕2﹣4×1×10＝﹣4＜0，沒有實(shí)數(shù)根，符合題意；C．此方程根的判別式△＝〔﹣6〕2﹣4×1×9＝0，有兩個相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；D．此方程根的判別式△＝02﹣4×1×〔﹣1〕＝4＞0，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；應(yīng)選：B．3．〔2021秋?普陀區(qū)期中〕以下一元二次方程中，有實(shí)數(shù)根的是〔〕A．x2﹣mx﹣m2＝0〔m是實(shí)數(shù)〕B．x2﹣x+2021＝0C．x2﹣2x+3＝0D．2x2+x+1＝0【分析】只要判斷每個方程的根的判別式的值與零的關(guān)系就可以了．【解析】A、△＝〔﹣m〕2﹣4×1×〔﹣m2〕＝5m2≥0，有實(shí)數(shù)根；B、△＝12﹣4×1×2021＝﹣8079＜0，沒有實(shí)數(shù)根；C、△＝〔﹣2〕2﹣4×1×3＝﹣8＜0，沒有實(shí)數(shù)根；D、△＝12﹣4×2×1＝1﹣42應(yīng)選：A．4．〔2021秋?閔行區(qū)期中〕以下關(guān)于x的一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是〔〕A．x2﹣6x+1＝0B．2x2+2＝xC．4x2+4x+1＝0D．x2﹣〔m﹣1〕x＝3【分析】根據(jù)根的判別式的值的大小與零的關(guān)系來判斷根的情況．沒有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，即判別式的值是負(fù)數(shù)的方程．【解析】A、△＝36﹣4＝32＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；B、△＝﹣15＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根；C、△＝0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；D、△＝〔m﹣1〕2+12＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．應(yīng)選：B．5．〔2021秋?長寧區(qū)期末〕m為實(shí)數(shù)，那么關(guān)于x的方程x2﹣〔m﹣2〕x﹣2m＝0的實(shí)數(shù)根情況一定是〔〕A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個實(shí)數(shù)根D．沒有實(shí)數(shù)根【分析】計(jì)算△＝b2﹣4ac，然后根據(jù)結(jié)果判斷與0的大小關(guān)系，從而得出結(jié)論．【解析】△＝〔m﹣2〕2﹣4×〔﹣2m〕＝〔m+2〕2．對于任意實(shí)數(shù)m，都有〔m+2〕2≥0，即△≥0，所以原方程一定有兩個實(shí)數(shù)根，應(yīng)選：C．6．〔2021?松江區(qū)二?！酬P(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有兩個實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是〔〕A．k＞4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0【分析】假設(shè)一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，那么根的判別式△＝b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0．【解析】∵方程有兩個實(shí)數(shù)根，∴根的判別式△＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0，即k≤4，且k≠0．應(yīng)選：D．7．〔2021?靜安區(qū)二?！橙绻P(guān)于x的方程x2﹣6x+m＝0有實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是〔〕A．m＞9B．m≥9C．m＜9D．m≤9【分析】由關(guān)于x的方程x2﹣6x+m＝0有實(shí)數(shù)根知△＝b2﹣4ac≥0，求出m的取值范圍即可．【解析】∵關(guān)于x的方程x2﹣6x+m＝0有實(shí)數(shù)根，∴△≥0，∴△＝〔﹣6〕2﹣4m≥0，∴m≤9，應(yīng)選：D．8．〔2021秋?楊浦區(qū)校級期中〕以下說法中，正確的選項(xiàng)是〔〕A．x+y與B．方程x2＝3x的解是x＝±3C．方程〔x﹣3〕2＝16的解為x＝±7D．假設(shè)方程ax2﹣bx+a＝0有兩個實(shí)數(shù)根，那么這兩實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)【分析】根據(jù)有理化因式的定義對A進(jìn)行判斷；利用因式分解法解方程可對B、C進(jìn)行判斷；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和倒數(shù)的定義可對D進(jìn)行判斷．【解析】A、x+y與x+B、方程x2＝3x的解為x1＝0，x2＝3，所以B選項(xiàng)錯誤；C、方程〔x﹣3〕2＝16的解為x1＝﹣1，x2＝7，所以C選項(xiàng)錯誤；D、方程ax2﹣bx+a＝0有兩個實(shí)數(shù)根，那么兩兩根之積為aa=1，即這兩實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)，所以應(yīng)選：D．9．〔2021?虹口區(qū)二?！橙绻P(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍為〔〕A．m≤4B．m＜4C．m≥4D．m＞4【分析】由方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根得出△＝〔﹣4〕2﹣4m＞0，解之可得．【解析】根據(jù)題意知△＝〔﹣4〕2﹣4m＞0，解得m＜4，應(yīng)選：B．10．〔2021?閔行區(qū)二?！撤匠蘹2﹣23x+3＝0根的情況〔〕A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B．有一個實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根D．有兩個相等的實(shí)數(shù)根【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．【解析】由題意可知：△＝〔﹣23〕2﹣4×1×3＝12﹣12＝0，應(yīng)選：D．二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請把答案直接填寫在橫線上11．〔2021?浦東新區(qū)二?！酬P(guān)于x的一元二次方程x2﹣23x+k＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，那么k值為3．【分析】根據(jù)判別式的意義得到△＝〔﹣23〕2﹣4k＝0，然后解關(guān)于k的一元一次方程即可．【解析】根據(jù)題意得△＝〔﹣23〕2﹣4k＝0，解得k＝3．故答案為：3．12．〔2021?黃浦區(qū)二模〕關(guān)于x的方程x2﹣6x+k＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，那么k的值是9．【分析】關(guān)于x的方程x2﹣6x+k＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即△＝b2﹣4ac＝0，代入即可求k值．【解析】∵關(guān)于x的方程x2﹣6x+k＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝〔﹣6〕2﹣4×1×k＝0，解得k＝9，故答案為：9．13．〔2021?普陀區(qū)二?！橙绻P(guān)于x的方程x2﹣x+m﹣1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，那么m的值等于54【分析】一元二次方程有兩個相等的實(shí)根，即根的判別式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解析】∵方程x2﹣x+m﹣1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝b2﹣4ac＝〔﹣1〕2﹣4〔m﹣1〕＝0，解得m=5故答案為：5414．〔2021?閔行區(qū)二?！橙绻P(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，那么c＝﹣1．【分析】利用判別式的意義得到△＝〔﹣3〕2﹣4k＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．【解析】根據(jù)題意得△＝22+4c＝0，解得c＝﹣1．故答案為﹣1．15．〔2021?奉賢區(qū)二?！橙绻辉畏匠蘹2﹣px+3＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，那么p的值是±23．【分析】關(guān)于x的方程x2﹣px+3＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即△＝b2﹣4ac＝0，代入即可求p的值．【解析】∵一元二次方程x2﹣px+3＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝〔﹣p〕2﹣4×1×3＝0，解得p=±23故答案為：±23．16．〔2021春?上海期中〕方程組a+b=10【分析】根據(jù)方程組，可以將a、b看成方程x2﹣10x﹣24＝0的兩根．解此方程即可．【解析】∵a+∴可以將a、b看成方程x2﹣10x﹣24＝0的兩根．∴a＝﹣2，b＝12，或者a＝12，b＝﹣2．∴方程組a+b=10故答案為：a=-217．〔2021?嘉定區(qū)二?！橙绻P(guān)于x的方程x2﹣6x+m＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，那么m的值為9．【分析】一元二次方程有兩個相等的實(shí)根，即根的判別式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解析】∵方程x2﹣6x+m＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝b2﹣4ac＝〔﹣6〕2﹣4m＝0，解得m＝9，故答案為：9．18．〔2021?浦東新區(qū)二?！橙绻P(guān)于x的方程x2+3x﹣k＝0沒有實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是k＜【分析】根據(jù)判別式的意義得到△＝32﹣4×〔﹣k〕＜0，然后解不等式即可．【解析】根據(jù)題意得△＝32﹣4×〔﹣k〕＜0，解得k＜故答案為：k＜三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021秋?舞鋼市期末〕關(guān)于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2+2mx+m﹣3＝0，求：當(dāng)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)m的取值范圍．【分析】由方程根的情況，根據(jù)根的判別式可得到關(guān)于m的不等式，可求得m的取值范圍．【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2+2mx+m﹣3＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＞0且m﹣1≠0，即〔2m〕2﹣4〔m﹣1〕〔m﹣3〕＞0且m≠1，解得m＞34且m≠∴當(dāng)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)m的取值范圍為m＞34且m≠20．〔2021秋?靜安區(qū)校級期中〕關(guān)于x的方程x2+2kx＝x﹣〔k﹣2〕2，當(dāng)k取何值時(shí)，此方程：〔1〕有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；〔2〕沒有實(shí)數(shù)根．【分析】首先利用根的判別式得出關(guān)于x的方程x2+〔2k﹣1〕x+〔k﹣2〕2＝0的判別式，再根據(jù)〔1〕當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；〔2〕當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．建立k的不等式求得k的取值范圍即可．【解析】方程化為：x2+〔2k﹣1〕x+〔k﹣2〕2＝0，∴△＝〔2k﹣1〕2﹣4×〔k﹣2〕2＝12k﹣15．〔1〕當(dāng)12k﹣15＞0，k＞5〔2〕當(dāng)12k﹣15＜0，k＜521．〔2021秋?楊浦區(qū)期中〕關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣〔m﹣1〕x+m＝﹣1，其根的判別式的值為1，求m的值及方程的根．【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．【解析】原方程化為：mx2﹣〔m﹣1〕x+m+1＝0，由題意可知：△＝〔m﹣1〕2﹣4m×〔m+1〕＝1，∴m＝0〔舍去〕或m＝﹣2，∴原方程為：﹣2x2+3x﹣1＝0，∴x=12或x＝22．〔2021秋?楊浦區(qū)校級期中〕關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣〔3m﹣1〕x+2m﹣1＝0．〔1〕求證：無論m為任意實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．〔2〕如果這個方程的根的判別式的值等于1，求方程的解．【分析】〔1〕先計(jì)算判別式的值得到△＝m2﹣2m+1，配方得△＝〔m﹣1〕2，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△≥0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論．〔2〕利用判別式的定義得到△＝〔3m﹣1〕2﹣4m〔2m﹣1〕＝1，解m的方程，再利用一元二次方程的定義確定m＝2，即可求得一元二次方程為2x2﹣5x+3＝0，因式分解法解方程即可求得方程的解．【解析】〔1〕關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣〔3m﹣1〕x+2m﹣1＝0．∵△＝〔3m﹣1〕2﹣4m〔2m﹣1〕＝〔m﹣1〕2≥0，∴無論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)根．〔2〕由題意得，△＝〔3m﹣1〕2﹣4m〔2m﹣1〕＝1，解得m1＝0，m2＝2，而m≠0，∴m＝2，∴關(guān)于x的一元二次方程為2x2﹣5x+3＝0．∴〔2x﹣3〕〔x﹣1〕＝0，解得x1=32，x2＝23．〔2021秋?閔行區(qū)期中〕關(guān)于x的一元二次方程〔m+1〕x2﹣3x+2＝0〔m為常數(shù)〕．〔1〕如果方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；〔2〕如果方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，求m的值；〔3〕如果方程沒有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．【分析】〔1〕根據(jù)根的判別式△＝b2﹣4ac＞0，m+1≠0來求m的取值范圍；〔2〕方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，那么△＝b2﹣4ac＝0，那么可求出答案；〔3〕方程沒有實(shí)數(shù)根，那么△＝b2﹣4ac＜0，可求出答案．【解析】〔1〕∵方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝b2﹣4ac＝〔﹣3〕2﹣4×2×〔m+1〕＝﹣8m+1＞0，且m+1≠0，∴m＜18且m≠﹣∴m的取值范圍是m＜18且m≠﹣〔2〕∵方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝b2﹣4ac＝﹣8m+1＝0，∴m=1〔3〕∵方程沒有實(shí)數(shù)根，∴△＝b2﹣4ac＝﹣8m+1＜0，∴m＞1∴