靜力學(xué)的基本概念

單元1建筑力學(xué)基本知識(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：1.掌握靜力學(xué)的基本概念和基本公理；2.了解桿件的基本變形和組合變形；3.掌握平面體系的幾何組成分析；4.掌握靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析；5.掌握靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算。能力目標(biāo)：1.掌握平面體系的幾何組成分析方法；2.掌握靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析方法；3.掌握靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算方法。任務(wù)1靜力學(xué)的基本知識(shí)1.1.1靜力學(xué)的基本概念力和平衡靜力學(xué)基本公理約束和反約束力物體受力分析和受力圖1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用力的投影、力矩和力偶平面一般力系的平衡條件及平衡方程平面匯交力系、平面力歐系、平面平衡力系1.1.1靜力學(xué)的基本概念1．力和平衡力是物體間相互的機(jī)械作用，這種作用的效果會(huì)使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化(運(yùn)動(dòng)效應(yīng)或外效應(yīng))，或者使物體發(fā)生變形（變形效應(yīng)或內(nèi)效應(yīng))。靜力學(xué)研究物體的外效應(yīng)。由于力是物體與物體之間的相互作用，因此力不可能脫離物體而單獨(dú)存在，某物體受到力的作用，一定是有另一物體對(duì)它施加作用。實(shí)踐表明，力對(duì)物體作用的效應(yīng)決定于力的三個(gè)要素:力的大小、方向和作用點(diǎn)。1.1.1靜力學(xué)的基本概念1．力和平衡——力1）力的大小力的大小反映物體之間相互機(jī)械作用的強(qiáng)弱程度。力的單位是牛頓(N)或千牛頓(kV)。2）力的方向力的方向表示物體間的相互機(jī)械作用具有方向性，它包括力所順沿的直線(稱(chēng)為力的作用線)在空間的方位和力沿其作用線的指向。例如重力的方向是“鉛垂向下”，“鉛垂”是力的方位，“向下”是力的指向。1.1.1靜力學(xué)的基本概念1．力和平衡3）力的作用點(diǎn)力的作用點(diǎn)是指力作用在物體上的位置。通常它是一塊面積而不是一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)作用面積很小時(shí)可以近似看作一個(gè)點(diǎn)。力是一個(gè)有大小和方向的量，所以力是矢量，記作F(圖).用一段帶有箭頭的線段（AB）來(lái)表示：線段（AB）的長(zhǎng)度按一定的比例尺表示力的大小；線段的方位和箭頭的指向表示力的方向。線段的起點(diǎn)A或終點(diǎn)B(應(yīng)在受力物體上〕表示力的作用點(diǎn)。線段所沿的直線稱(chēng)為力的作用線。用字母符號(hào)表示矢量時(shí)，常用黑斜體字F、P表示，而F、P只表示該矢量的大小。1.1.1靜力學(xué)的基本概念1．力和平衡——?jiǎng)傮w和平衡1）剛體的概念實(shí)踐表明，任何物體受力時(shí)多少總要產(chǎn)生一些變形。但是，工程實(shí)際中的機(jī)械零件和結(jié)構(gòu)構(gòu)件在正常工作情況下的變形，一般是很微小的，甚至只有用專(zhuān)門(mén)的儀器才能測(cè)量出來(lái)。在許多情況下，這樣的微小的變形對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)影響甚微，可以略去不計(jì)，從而使問(wèn)題的研究得以簡(jiǎn)化。這樣，通過(guò)對(duì)實(shí)際物體進(jìn)行抽象簡(jiǎn)化，在理論力學(xué)中提出了物體的一種理想模型—?jiǎng)傮w（Rigidbody）。剛體是在任何情況下保持其大小和形狀不變的物體。靜力學(xué)中所研究的物體只限于剛體，所以又稱(chēng)為剛體靜力學(xué)，它是研究變形體力學(xué)的基礎(chǔ)。1.1.1靜力學(xué)的基本概念1．力和平衡——?jiǎng)傮w和平衡2）平衡的概念平衡是指物體相對(duì)于慣性參考系處于靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。顯然，平衡是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的特殊形式。在工程實(shí)際中，一般可取固連于地球的參考系作為慣性參考系。這樣，平衡是指物體相對(duì)于地球靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。運(yùn)用靜力學(xué)理論來(lái)研究物體相對(duì)于地球的平衡問(wèn)題，其分析計(jì)算的結(jié)果具有足夠的精確度。1.1.1靜力學(xué)的基本概念2．靜力學(xué)基本公理為了便于以后的研究，首先明確靜力學(xué)的幾個(gè)基本定義。力系：作用在物體上的一組力。按照力系中各力作用線分布的不同形式，力系可分為：1）匯交力系力系中各力作用線匯交于一點(diǎn)；2）力偶系力系中各力可以組成若干力偶或力系由若干力偶組成；3）平行力系力系中各力作用線相互平行；4）一般力系力系中各力作用線既不完全交于一點(diǎn)，也不完全相互平行。按照各力作用線是否位于同一平面內(nèi)，上述力系各自又可以分為平面力系和空間力系兩大類(lèi)，如平面匯交力系、空間一般力系等等。1.1.1靜力學(xué)的基本概念2．靜力學(xué)基本公理為了便于以后的研究，首先明確靜力學(xué)的幾個(gè)基本定義。等效力系：兩個(gè)力系對(duì)物體的作用效應(yīng)相同，則稱(chēng)這兩個(gè)力系互為等效力系。當(dāng)一個(gè)力與一個(gè)力系等效時(shí)，則稱(chēng)該力為力系的合力；而該力系中的每一個(gè)力稱(chēng)為其合力的分力。把力系中的各個(gè)分力代換成合力的過(guò)程，稱(chēng)為力系的合成；反過(guò)來(lái)，把合力代換成若干分力的過(guò)程，稱(chēng)為力的分解。平衡力系：若剛體在某力系作用下保持平衡。在平衡力系中，各力相互平衡，或者說(shuō)，諸力對(duì)剛體產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)相互抵消?？梢?jiàn)，平衡力系是對(duì)剛體作用效應(yīng)等于零的力系。1.1.1靜力學(xué)的基本概念2．靜力學(xué)基本公理（1）二力平衡公理作用于剛體上的兩個(gè)力平衡的充分必要條件是這兩個(gè)力大小相等、方向相反、作用線在同一條直線上(簡(jiǎn)稱(chēng)二力等值、反向、共線)。這個(gè)公理概括了作用于剛體上最簡(jiǎn)單的力系平衡時(shí)所必須滿足的條件。對(duì)于剛體，這個(gè)條件是既必要又充分的；但對(duì)于變形體，這個(gè)條件是必要但不充分的。如圖所示，即F1=—F2。在兩個(gè)力作用下處于平衡的物體稱(chēng)為二力構(gòu)件;若為桿件，則稱(chēng)為二力桿。如圖所示，根據(jù)二力平衡公理可知，作用在二力構(gòu)件上的兩個(gè)力，它們必通過(guò)兩個(gè)力作用點(diǎn)的連線(與桿件的形狀無(wú)關(guān))，且等值、反向。二力桿件1.1.1靜力學(xué)的基本概念2．靜力學(xué)基本公理（2）加減平衡力系公理在作用于剛體上的已知力系上，加上或減去任意一個(gè)平衡力系，不會(huì)改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效應(yīng)。這是由于平衡力系中，各力對(duì)剛體的作用效應(yīng)相互抵消，力系對(duì)剛體的效應(yīng)等于零。根據(jù)這個(gè)原理，可以進(jìn)行力系的等效變換。1.1.1靜力學(xué)的基本概念2．靜力學(xué)基本公理（2）加減平衡力系公理作用于剛體上的力可沿其作用線移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。利用加減平衡力系公理，很容易證明力的可傳性原理，如圖所示，小車(chē)A點(diǎn)上作用力F，在其作用線上任取一點(diǎn)B，在B點(diǎn)沿力F的作用線加一對(duì)平衡力。使F=F1=—F2，根據(jù)加減平衡力系公理得出，力系F1、F2、F對(duì)小車(chē)的作用效應(yīng)不變，將F和F2組成的平衡力系去掉，只剩下力F1，與原力等效，由于F=F1，這就相當(dāng)于將力F沿其作用線從A點(diǎn)移到B點(diǎn)而效應(yīng)不變。1.1.1靜力學(xué)的基本概念2．靜力學(xué)基本公理（2）加減平衡力系公理由此可知，力對(duì)剛體的作用效果與力的作用點(diǎn)在作用線上的位置無(wú)關(guān)，即力在同一剛體上可沿其作用線任意移動(dòng)。由此對(duì)于剛體來(lái)說(shuō)，力的作用點(diǎn)在作用線上的位置已不是決定其作用效果的要素。此外，必須注意的是力的可傳性原理只適用于剛體而不適用于變形體。1.1.1靜力學(xué)的基本概念2．靜力學(xué)基本公理（3）作用力與反作用力公理兩個(gè)物體間相互作用的一對(duì)力，總是大小相等、方向相反、作用線相同，并分別而且同時(shí)作用于這兩個(gè)物體上。由此可知，力總是成對(duì)出現(xiàn)的。甲物體給乙物體一作用力時(shí)，乙物體必給甲物體一反作用力，且兩者等值、反向、共線。應(yīng)當(dāng)注意，作用力和反作用力并非作用于同一物體上，而是分別作用于不同的兩個(gè)物體上。因此，對(duì)于每一物體來(lái)說(shuō)，不能把作用力和反作用力看成是一對(duì)平衡力。在分析若干個(gè)物體所組成的系統(tǒng)的受力情況時(shí)，借助此公理，我們能從一個(gè)物體的受力分析過(guò)渡到相鄰物體的受力分析。1.1.1靜力學(xué)的基本概念2．靜力學(xué)基本公理（4）力的平行四邊形法則作用于物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力可合成為一個(gè)力，此合力也作用于該點(diǎn)，合力的大小和方向由以原兩力矢為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線來(lái)表示，如圖所示，F(xiàn)1和F2為作用于剛體上A點(diǎn)的兩個(gè)力，以這兩個(gè)力為鄰邊作出平行四邊形ABCD，圖中FR即為F1、F2的合力。這個(gè)公理說(shuō)明了力的合成遵循矢量加法，其矢量表達(dá)式為：FR=F1+F2合力FR等于兩個(gè)分力F1、F2的矢量和。力的合成1.1.1靜力學(xué)的基本概念2．靜力學(xué)基本公理（4）力的平行四邊形法則在工程實(shí)際問(wèn)題中，常把一個(gè)力F沿直角坐標(biāo)軸方向分解，可得出兩個(gè)互相垂直的分力Fx和Fy，如圖所示。Fx和Fy的大小可由三角公式求得：力的分解1.1.1靜力學(xué)的基本概念2．靜力學(xué)基本公理（5）三力平衡匯交定理

一個(gè)剛體在共面而不平行的三個(gè)力作用下處于平衡狀態(tài)，這三個(gè)力的作用線必匯交于一點(diǎn)。這個(gè)公理只說(shuō)明了不平行的三力平衡的必要條件，而不是充分條件。它常用來(lái)確定剛體在不平行三力作用下平衡時(shí)，其中某一未知力的作用線（力的方向）。如圖所示，剛體受到共面而不平行的三個(gè)力F、F2、F3作用處于平衡，根據(jù)力的可傳性原理將F2、F3沿其作用線移到二者的交點(diǎn)O處，再根據(jù)力的平行四邊形法則將F2、F3合成合力F，于是剛體上只受到兩個(gè)力F1和F作用處于平衡狀態(tài)，根據(jù)二力平衡公理可知，F(xiàn)1、F必在同一直線上。即F1必過(guò)F2、F3的交點(diǎn)O。因此，三個(gè)力F1、F2、F3的作用線必交于一點(diǎn)。1.1.1靜力學(xué)的基本概念2．靜力學(xué)基本公理（6）剛化公理若變形體在某個(gè)力系作用下處于平衡狀態(tài)，則將此物體變成剛體（剛化）時(shí)其平衡不受影響。此公理指出了剛體靜力學(xué)的平衡理論能應(yīng)用于變形體的條件：若變形體處于平衡狀態(tài)，則作用于其上的力系一定滿足剛體靜力學(xué)的平衡條件。也就是說(shuō)，對(duì)已知處于平衡狀態(tài)的變形體，可以應(yīng)用剛體靜力學(xué)的平衡理論。然而，剛體平衡的充分與必要條件，對(duì)于變形體的平衡，只是必要條件而不是充分條件。1.1.1靜力學(xué)的基本概念3．約束和約束反力1）約束和約束反力的定義力學(xué)中通常把物體分為自由體和非自由體兩類(lèi)。在空間能自由作任意方向運(yùn)動(dòng)的物體稱(chēng)為自由體。例如航行中的飛機(jī)。某些方向的運(yùn)動(dòng)受到限制的物體稱(chēng)為非自由體。例如，在鋼軌上行駛的火車(chē)、安裝在軸承中的電機(jī)轉(zhuǎn)子等。工程構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)大都受到某些限制，因而都是非自由體。由此可知，自由體和非自由體兩者的主要區(qū)別是：自由體可以自由位移，不受任何其他物體的限制，它可以任意地移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)。非自由體則不能自由位移，其某些位移受到其他物體的限制不能發(fā)生。將限制阻礙非自由運(yùn)動(dòng)的物體稱(chēng)為約束物體，簡(jiǎn)稱(chēng)約束。約束總是通過(guò)物體之間的直接接觸形成的。如鋼軌是對(duì)火車(chē)的約束，軸承是對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)子的約束等。1.1.1靜力學(xué)的基本概念3．約束和約束反力1）約束和約束反力的定義約束體在限制其他物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，所施加的力稱(chēng)為約束反力或約束力，簡(jiǎn)稱(chēng)反力。約束反力的方向總是與它所限制的物體的運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反。如圖（b）所示，柔繩拉住小球以限制其下落的張力T便是約束反力。約束反力的作用點(diǎn)就是約束與被約束物體的接觸點(diǎn)。約束反力的特點(diǎn)是，它們的大小不能預(yù)先獨(dú)立地確定。約束反力的大小與被約束物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和作用于其上的其它力有關(guān)，應(yīng)當(dāng)通過(guò)力學(xué)規(guī)律(包括平衡條件)才能確定。1.1.1靜力學(xué)的基本概念3．約束和約束反力1）約束和約束反力的定義與約束反力相對(duì)應(yīng)，凡能主動(dòng)使物體運(yùn)動(dòng)或是物體由運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的力稱(chēng)為主動(dòng)力。如重力、電磁力、流體阻力、水壓力、土壓力。主動(dòng)力在工程上也稱(chēng)為荷載。它們的特點(diǎn)是其大小可以預(yù)先獨(dú)立地測(cè)定。在一般情況下，約束反力是由主動(dòng)力引起的，所以它是一種被動(dòng)力。工程上的物體，一般同時(shí)受到主動(dòng)力和約束反力的作用。對(duì)它們進(jìn)行受分析，就是要分析這兩方面的力。通常主動(dòng)力是已知的，約束反力是未知的，所以問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確分析約束反力。1.1.1靜力學(xué)的基本概念3．約束和約束反力（2）幾種基本類(lèi)型的約束及其約束反力1）柔體約束由柔軟且不計(jì)自重的繩索、膠帶、鏈條等形成的約束稱(chēng)為柔體約束。柔體約束的約束反力為拉力，沿著柔體的中心線背離被約束的物體，用符號(hào)FT或T表示，如圖所示。柔體約束1.1.1靜力學(xué)的基本概念3．約束和約束反力（2）幾種基本類(lèi)型的約束及其約束反力2）光滑接觸面約束物體之間光滑接觸，只限制物體沿接觸面的公法線方向并指向接觸面的運(yùn)動(dòng)，而不能限制物體沿著接觸面切線方向的運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。所以光滑接觸面約束的約束反力為壓力，通過(guò)接觸點(diǎn)，方向沿著接觸面的公法線指向被約束的物體，通常用FN或N表示，如圖所示。光滑接觸面約束3）光滑的圓柱鉸鏈約束由一個(gè)圓柱型銷(xiāo)釘插入兩個(gè)物體的圓孔所構(gòu)成的，且認(rèn)為銷(xiāo)釘和圓孔的表面都是完全光滑的約束稱(chēng)為光滑的圓柱鉸鏈約束，如圖所示。這種約束力可以用圖所示的力學(xué)簡(jiǎn)圖表示，其特點(diǎn)是只限制兩物體在垂直于銷(xiāo)釘軸線的平面內(nèi)沿任意方向的相對(duì)移動(dòng)，而不能限制物體繞銷(xiāo)釘軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)和沿其軸線方向的相對(duì)滑動(dòng)。因此，鉸鏈的約束反力作用在與銷(xiāo)釘軸線垂直的平面內(nèi)，并通過(guò)銷(xiāo)釘中心，但方向待定，如圖所示的FA。工程中常用通過(guò)鉸鏈中心的相互垂直的兩個(gè)分力XA、YA表示，如圖所示。1.1.1靜力學(xué)的基本概念3．約束和約束反力（2）幾種基本類(lèi)型的約束及其約束反力4）鏈桿約束兩端各以鉸鏈與其他物體相連且中間不受力（包括物體本身的自重）的直桿稱(chēng)為鏈桿，如圖（a）中的AB桿即為鏈桿。鏈桿只限制物體沿鏈桿軸線方向的運(yùn)動(dòng)。因此，鏈桿約束反力是沿著鏈桿中心線，指向待定，常用符號(hào)R表示。簡(jiǎn)圖如圖（b）所示，約束反力的表示如圖（c）、（d）所示（指向假設(shè)）。1.1.1靜力學(xué)的基本概念3．約束和約束反力（2）幾種基本類(lèi)型的約束及其約束反力5）鉸鏈支座約束將結(jié)構(gòu)或構(gòu)件連接在支撐物上的裝置，稱(chēng)為支座。支座對(duì)構(gòu)件就是一種約束。支座對(duì)它所支撐的構(gòu)件的約束反力也叫支座反力。鉸鏈支座包括固定鉸支座和可動(dòng)鉸支座兩種。①固定鉸支座圓柱形鉸鏈所連接的兩個(gè)構(gòu)件中，如果有一個(gè)被固定在基礎(chǔ)上，便構(gòu)成了固定鉸支座，如圖（a）所示。這種支座不能限制構(gòu)件繞銷(xiāo)釘軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)，只能限制構(gòu)件在垂直于銷(xiāo)釘軸線的平面內(nèi)向任意方向的移動(dòng)?？梢?jiàn)固定鉸支座的約束性能與圓柱鉸鏈相同。所以，固定鉸支座的支座反力在垂直于銷(xiāo)釘軸線的平面內(nèi)，通過(guò)鉸心，且方向未定。固定鉸支座的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖（b）所示，約束反力如圖（c）所示。1.1.1靜力學(xué)的基本概念3．約束和約束反力（2）幾種基本類(lèi)型的約束及其約束反力5）鉸鏈支座約束②可動(dòng)鉸支座可動(dòng)鉸支座約束又叫滾軸支座約束。在固定鉸支座下面安裝幾個(gè)滾軸支承于平面上，但支座的連接使它不能離開(kāi)支承面，就構(gòu)成了可動(dòng)鉸支座，如圖（a）所示。這種支座只限制構(gòu)件在垂直于支承面方向上的移動(dòng)，而不能限制構(gòu)件繞銷(xiāo)釘軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿支承面方向上的移動(dòng)。所以，可動(dòng)鉸支座的支座反力是通過(guò)銷(xiāo)釘中心，并垂直于支承面，但指向未定?？蓜?dòng)鉸支座的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖（b）所示，約束反力如圖（c）所示。1.1.1靜力學(xué)的基本概念3．約束和約束反力（2）幾種基本類(lèi)型的約束及其約束反力6）固定端支座約束如果把結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的一端牢牢地嵌固在支承物里面，使構(gòu)件既不能向任意方向移動(dòng)，也不能轉(zhuǎn)動(dòng)，這種約束稱(chēng)為固定端支座，如圖（a）所示。所以固定端支座的約束反力為兩個(gè)相互垂直的分力和一個(gè)約束反力偶，其分力和反力偶的指向和大小待定，箭頭指向可以假設(shè)。固定端支座的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖（b）所示，約束反力如圖（c）所示。1.1.1靜力學(xué)的基本概念4．物體受力分析和受力圖（1）物體受力分析1）物體受力分析的定義在工程中常常將若干構(gòu)件通過(guò)某種連接方式組成機(jī)構(gòu)或結(jié)構(gòu)，用以傳遞運(yùn)動(dòng)或承受荷載，這些機(jī)構(gòu)或結(jié)構(gòu)統(tǒng)稱(chēng)為物體系統(tǒng)。在求解靜力平衡問(wèn)題時(shí)，一般首先要分析物體的受力情況，了解物體受到哪些力的作用，其中哪些力是已知的，哪些力是未知的，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為對(duì)物體進(jìn)行受力分析。2）脫離體在工程實(shí)際中，一般都是幾個(gè)構(gòu)件或桿件相互聯(lián)系在一起的情況。因此需要首先明確對(duì)哪一個(gè)物體進(jìn)行受力分析，即明確研究對(duì)象。把該研究對(duì)象從與它相聯(lián)系的周?chē)矬w（包括約束）中分離出來(lái)，這個(gè)被分離出來(lái)的研究對(duì)象稱(chēng)為脫離體。3）受力圖在脫離體上面畫(huà)出周?chē)矬w對(duì)它的全部作用力（包括主動(dòng)力和約束反力），這種表示物體所受全部作用力情況的圖形叫脫離體的受力圖，簡(jiǎn)稱(chēng)受力圖。(2)物體受力圖的畫(huà)法1）受力圖繪圖步驟①明確研究對(duì)象，取脫離體。它可以是單個(gè)物體，也可以是由若干個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)，視具體情況而定。②根據(jù)已知條件，畫(huà)出作用在研究對(duì)象上的全部主動(dòng)力。③根據(jù)約束類(lèi)型和物體運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，畫(huà)出相應(yīng)的約束反力。2）注意事項(xiàng)①應(yīng)注意兩個(gè)物體之間相互作用的約束反力應(yīng)符合作用力與反作用力公理。②作受力圖時(shí)，必須按約束的功能畫(huà)約束反力，不能根據(jù)主觀臆測(cè)來(lái)畫(huà)約束反力。③受力圖上只畫(huà)脫離體的簡(jiǎn)圖及其所受全部外力，不畫(huà)已被解除的約束。④當(dāng)以系統(tǒng)為研究對(duì)象時(shí)，受力圖上只畫(huà)該系統(tǒng)（研究對(duì)象）所受的主動(dòng)力和約束反力，而不畫(huà)系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力（稱(chēng)為內(nèi)力）。⑤正確判斷二力桿，二力桿中的兩個(gè)力的作用線沿力作用點(diǎn)連線，且等值、反向。同一約束反力在不同受力圖上出現(xiàn)時(shí)，其指向必須一致。1.1.1靜力學(xué)的基本概念4．物體受力分析和受力圖(2)物體受力圖的畫(huà)法3）物體受力分析和受力圖畫(huà)法下面舉例說(shuō)明物體受力分析的方法與受力圖畫(huà)法【例1-1】重力G的球放在光滑斜面上，并用繩索系于鉛直的墻上，如圖（a）所示，試畫(huà)出球的受力圖。解：(1)取球?yàn)檠芯繉?duì)象。(2)去掉約束，畫(huà)出球的簡(jiǎn)圖。

(3)在球上畫(huà)出全部主動(dòng)力和約束反力，如圖（b）所示?！纠?-2】如圖（a）所示簡(jiǎn)支梁，跨中受集中力F的作用，A端為固定鉸支座約束，B端為可動(dòng)鉸支座約束。試畫(huà)出梁的受力圖。解：（1）取梁AB為研究對(duì)象，解除A、B兩處的約束，畫(huà)出其脫離體簡(jiǎn)圖。（2）在梁的中點(diǎn)C畫(huà)主動(dòng)力F。（3）在受約束的A處和B處，根據(jù)約束類(lèi)型畫(huà)出約束反力。B處為可動(dòng)鉸支座約束，其反力通過(guò)鉸鏈中心且垂直于支承面，其指向假定如圖1-16（b）所示；A處為固定鉸支座約束，其反力可用通過(guò)鉸鏈中心A并以相互垂直的分力XA、YA表示。受力圖如圖1-16（b）所示。同時(shí)，注意到梁只在A、B、C三點(diǎn)受到互不平行的三個(gè)力作用而處于平衡，因此，也可以根據(jù)三力平衡匯交定理進(jìn)行受力分析。已知F、RB相交于D點(diǎn)，則A處的約束反力RA也應(yīng)通過(guò)D點(diǎn)，從而可確定RA必通過(guò)A、D兩點(diǎn)的連線，可畫(huà)出如圖1-16（c）所示的受力圖。1.1.1靜力學(xué)的基本概念5．結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖(1)結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖的定義工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)、構(gòu)造、荷載等往往是比較復(fù)雜的，如果完全按照實(shí)際情況進(jìn)行力學(xué)分析和計(jì)算，會(huì)使問(wèn)題非常復(fù)雜難以求解。因此有必要采用簡(jiǎn)化的圖形來(lái)代替實(shí)際結(jié)構(gòu)，這種簡(jiǎn)化的圖形就稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖。(2)選取計(jì)算簡(jiǎn)圖的基本原則1）要正確反映主要受力情況，使計(jì)算結(jié)果接近實(shí)際情況，有足夠的精確性；2）要忽略影響不大的次要因素，以簡(jiǎn)化計(jì)算工作量。1.1.1靜力學(xué)的基本概念5．結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖(3)計(jì)算簡(jiǎn)圖的簡(jiǎn)化方法1）體系的簡(jiǎn)化工程實(shí)際中往往都是由若干構(gòu)件或桿件組成的空間體系，除特殊情況外，一般根據(jù)其受力情況簡(jiǎn)化為平面體系。對(duì)于構(gòu)件或桿件常用其縱向軸線（畫(huà)成粗實(shí)線）來(lái)表示。2）節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)化桿件之間相互連接之處稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。在工程實(shí)際中連接的形式是多種多樣的，但在計(jì)算簡(jiǎn)圖中，通常只簡(jiǎn)化為鉸節(jié)點(diǎn)和剛節(jié)點(diǎn)兩種理想形式。1.1.1靜力學(xué)的基本概念5．結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖(3)計(jì)算簡(jiǎn)圖的簡(jiǎn)化方法2）節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)化鉸節(jié)點(diǎn)的特征是其所鉸接的各桿件均可繞節(jié)點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿件間的夾角可以改變大小如圖（a）所示。剛節(jié)點(diǎn)的特征是其所連接的各桿件之間不能繞節(jié)點(diǎn)有相對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)，變形前后，節(jié)點(diǎn)處各桿件間的夾角都保持不變?nèi)鐖D（b）所示。1.1.1靜力學(xué)的基本概念5．結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖(3)計(jì)算簡(jiǎn)圖的簡(jiǎn)化方法3）支座的簡(jiǎn)化在工程結(jié)構(gòu)中，隨著支座構(gòu)造形式或材料的不同，其支承的約束情況差異很大。在簡(jiǎn)化時(shí)通常根據(jù)實(shí)際構(gòu)造的約束情況，參照前述內(nèi)容把支座恰當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化為固定鉸支座、可動(dòng)鉸支座、固定端支座等。4）荷載的簡(jiǎn)化工程結(jié)構(gòu)受到的荷載，一般是作用在構(gòu)件內(nèi)各處的體荷載（如自重）以及作用在一面積上的面荷載（如風(fēng)壓）。在計(jì)算簡(jiǎn)圖中，常把它們簡(jiǎn)化為作用在構(gòu)件縱向軸線上的線荷載、集中力和集中力偶等。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用1．力的投影、力矩及力偶（1）力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影如圖1-18所示，設(shè)力F作用在物體上某點(diǎn)A處，用AB表示。通過(guò)力F所在的平面的任意點(diǎn)O作直角坐標(biāo)系xOy。從力F的起點(diǎn)A及終點(diǎn)B分別作垂直于x軸的垂線，得垂足a和b，并在x軸上得線段ab，線段ab的長(zhǎng)度加以正負(fù)號(hào)稱(chēng)為力F在x軸上的投影，用X表示。同理可以確定力F在y軸上的投影為線段a1b1,用Y表示。當(dāng)力的始端投影到終端的投影方向與投影軸的正向一致時(shí)，力的投影取正值，反之，當(dāng)力的始端投影到終端的投影方向與投影軸的正向相反時(shí)，力的投影取負(fù)值。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用1．力的投影、力矩及力偶（1）力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影從圖1-18中的幾何關(guān)系得出，力在某軸上的投影，等于力的大小乘以該力與該軸正向間夾角的余弦，即（1-3）式中，α為力F與X軸所夾的銳角，α＜90°時(shí)力在x軸上的投影值為正，α＞90°時(shí)力在x軸上的投影值為負(fù)，α＝90°時(shí)力在x軸上的投影等于零。由式（1-3）可知：當(dāng)力與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，力在該軸上的投影為零；當(dāng)力與坐標(biāo)軸平行時(shí)，力在該軸上投影的絕對(duì)值與該力的大小相等。如果已知力F的大小及方向，就可以用式(1-3)方便地計(jì)算出投影X和Y；反之，如果已知力F在x軸和y軸上的投影X和Y，則由圖1-18中的幾何關(guān)系，可用式(1-4)確定力F的大小和方向。（1-4）1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用1．力的投影、力矩及力偶（1）力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影（1-4）式中，α為力F與x軸所夾的銳角，力F的具體方向可由X、Y的正負(fù)號(hào)確定。此外，必須要注意的是，不能將力的投影與分力兩個(gè)概念混淆，分力是矢量，而力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量。力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影計(jì)算，在力學(xué)計(jì)算中應(yīng)用非常普遍，必須熟練掌握。。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用1．力的投影、力矩及力偶（1）力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影已知力F1=100N,F2=50N,F3=80N,F4=60N，各力的方向如圖所示，試求各力在x軸和y軸上的投影。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用1．力的投影、力矩及力偶（1）力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影【解】F1的投影：

X1=0Y1=100（N）F2的投影：

X2=F2?cos45°=50×0.707=35.36（N）

Y2=F2?sin45°=50×0.707=35.36（N）F3的投影:

X3=﹣F3?cos30°=﹣80×0.866=-69.28（N）

Y3=F3?sin30°=80×0.5=40（N）F4的投影:

X4=-F4?cos60°=﹣60×0.5=-30（N）

Y4=-F4?sin60°=﹣60×0.866=-51.96（N）1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用1．力的投影、力矩及力偶（2）力矩及合力矩定理

1）力矩從實(shí)踐中知道，力對(duì)物體的作用效果除了能使物體移動(dòng)外，還能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。力矩是很早以前人們?cè)谑褂酶軛U、滑輪、絞盤(pán)等機(jī)械搬運(yùn)或提升重物時(shí)所形成的一個(gè)概念?，F(xiàn)以扳手?jǐn)Q螺母為例來(lái)加以說(shuō)明。如圖所示，在扳手上加一力F，可以使扳手繞螺母的軸線旋轉(zhuǎn)。實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)效果不僅與力F的大小有關(guān)，而且還與O點(diǎn)到力作用線的垂直距離d有關(guān)。當(dāng)d保持不變時(shí)，力F越大，轉(zhuǎn)動(dòng)越快。當(dāng)力F不變時(shí)，d值越大，轉(zhuǎn)動(dòng)也越快。若改變力的作用方向，則扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)方向就會(huì)發(fā)生改變，因此，我們用F與d的乘積和適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)來(lái)表示力F使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用1．力的投影、力矩及力偶（2）力矩及合力矩定理2）合力矩定理平面匯交力系的作用效應(yīng)可以用它的合力來(lái)代替。作用效應(yīng)包括移動(dòng)效應(yīng)和轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而力使物體繞某點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)由力對(duì)點(diǎn)的矩來(lái)度量。由此可得，平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于該力系中的各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和，這就是平面匯交力系的合力矩定理。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用1．力的投影、力矩及力偶（3）力偶與力偶矩1）力偶在生產(chǎn)實(shí)踐中，為了使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，常常在物體上施加兩個(gè)大小相等、方向相反、不共線的平行力。例如鉗工用絲錐攻絲時(shí)兩手加力在絲杠上，如圖所示。由此，得出力偶的定義：大小相等、方向相反且不共線的兩個(gè)平行力稱(chēng)為力偶。用符號(hào)（F，F(xiàn)'）表示。兩個(gè)相反力之間垂直距離d叫力偶臂，如圖所示。兩個(gè)力的作用平面稱(chēng)為力偶面。攻絲力偶1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用1．力的投影、力矩及力偶（3）力偶與力偶矩2）力偶矩力偶矩是用來(lái)度量力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效果的大小。它等于力偶中的任一個(gè)力與力偶臂的乘積。以符號(hào)m（F，F(xiàn)'）表示，或簡(jiǎn)寫(xiě)為m，即力偶矩與力矩一樣，也是以數(shù)量式中正負(fù)號(hào)表示力偶矩的轉(zhuǎn)向。通常規(guī)定：若力偶使物體作逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。力偶矩的單位和力矩的單位相同，是牛頓?米(N?m)或千牛頓?米(N?m)。作用在某平面的力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)是由力偶矩來(lái)衡量的。力偶的作用效果取決于以下三個(gè)要素:①構(gòu)成力偶的力的大小。②力偶臂的大小。③力偶的轉(zhuǎn)向。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用1．力的投影、力矩及力偶（3）力偶與力偶矩3）力偶與力偶矩的性質(zhì)①力偶沒(méi)有合力，所以不能用一個(gè)力來(lái)代替，也不能用一個(gè)力來(lái)與之平衡。由于力偶中的兩個(gè)力大小相等、方向相反、作用線平行，如果求它們?cè)谌我惠S上的投影，如圖所示，設(shè)力與軸x的夾角為α，由圖可得：由此得出，力偶中的二力在其作用面內(nèi)的任意坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和恒為零，所以力偶對(duì)物體只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而一個(gè)力在一般情況下對(duì)物體有移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種效應(yīng)。因此，力偶與力對(duì)物體的作用效應(yīng)不同，不能用一個(gè)力代替，即力偶不能和一個(gè)力平衡，力偶只能和轉(zhuǎn)向相反的力偶平衡。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用1．力的投影、力矩及力偶（3）力偶與力偶矩3）力偶與力偶矩的性質(zhì)②力偶對(duì)其所在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，與矩心位置無(wú)關(guān)。力偶的作用是使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，所以力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可以用力偶的兩個(gè)力對(duì)其作用面某一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和來(lái)度量。如圖所示，一力偶（F，F(xiàn)'）作用于某物體上，其力偶臂為d，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，其力偶矩為m=Fd，在該力偶作用面內(nèi)任選一點(diǎn)O為矩心，設(shè)矩心與F'的垂直距離為x。由此力偶對(duì)O點(diǎn)的力矩為:③同一平面的兩個(gè)力偶，如果它們的力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶等效，稱(chēng)為力偶的等效性。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用1．力的投影、力矩及力偶（3）力偶與力偶矩4）平面力偶系的合成作用在物體上的一群力偶或一組力偶，稱(chēng)為力偶系。作用在物體上同一平面內(nèi)的兩個(gè)或兩個(gè)以上的力偶，稱(chēng)為平面力偶系。平面力偶系合成可以根據(jù)力偶的等效性來(lái)進(jìn)行。其合成的結(jié)果為：平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。即若計(jì)算結(jié)果為正值，則表示合力偶是逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；若計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，則表示合力偶是順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用2．平面一般力系的平衡條件及平衡方程（1）力的平移定理作用在剛體上的一個(gè)力F，可以平移到同一剛體上的任一點(diǎn)O，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力F對(duì)新作用點(diǎn)O的矩。這就是稱(chēng)為力的平行移動(dòng)定理，簡(jiǎn)稱(chēng)力的平移定理。下面對(duì)定理進(jìn)行論證。首先，設(shè)在剛體A點(diǎn)上作用有一力F，如圖(a)所示，然后在剛體上任取一點(diǎn)B，現(xiàn)要將力F從A點(diǎn)平移到剛體B點(diǎn)。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用2．平面一般力系的平衡條件及平衡方程（2）平面一般力系平衡條件的應(yīng)用1）平面一般力系的平衡條件平面一般力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，若主矢F‘和主矩MO同時(shí)等于零，表明作用于簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的平面匯交力系和附加力平面力偶系都自成平衡，則原力系一定是平衡力系；反之，如果主矢F’和主矩MO中有一個(gè)不等于零或兩個(gè)都不等于零時(shí)，則平面一般力系就可以簡(jiǎn)化為一個(gè)合力或一個(gè)力偶，原力系就不能平衡。因此，平面一般力系平衡的必要與充分條件是，力系的主矢和力系對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的主矩都等于零，即F‘=0，MO=0。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用2．平面一般力系的平衡條件及平衡方程（2）平面一般力系平衡條件的應(yīng)用2）平面一般力系的平衡方程①基本形式平面一般力系平衡的必要與充分的解析條件是：力系中所有各力在任意選取的兩個(gè)坐標(biāo)軸中的每一軸上投影的代數(shù)和分別等于零；力系中所有各力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零，即上式表明，平面一般力系處于平衡的必要和充分條件是：力系中所有各力分別在x軸和y軸上的投影的代數(shù)和等于零，力系中各力對(duì)任意一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和等于零。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用2．平面一般力系的平衡條件及平衡方程（2）平面一般力系平衡條件的應(yīng)用2）平面一般力系的平衡方程②其他形式平衡方程式并不是平面一般力系平衡方程的唯一形式，它只是平面一般力系平衡方程的基本形式。除此以外，還有以下兩種形式。Ⅰ二力矩式。用另一點(diǎn)的力矩方程代替其中一個(gè)投影方程，則得到以上兩個(gè)力矩方程和一個(gè)投影方程的形式，稱(chēng)為二矩式，即1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用2．平面一般力系的平衡條件及平衡方程（2）平面一般力系平衡條件的應(yīng)用2）平面一般力系的平衡方程②其他形式平衡方程式并不是平面一般力系平衡方程的唯一形式，它只是平面一般力系平衡方程的基本形式。除此以外，還有以下兩種形式。Ⅱ三力矩式。即三個(gè)平衡方程都是力矩方程，即由上可知，平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程組，均可用來(lái)解決平面一般力系的平衡問(wèn)題。每一組方程中都只含有三個(gè)獨(dú)立的方程式，都只能求解三個(gè)未知量。任何再列出的平衡方程，都不再是獨(dú)立的方程，但可用來(lái)校核計(jì)算結(jié)果。應(yīng)用時(shí)可根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選用不同形式的平衡方程組，以達(dá)到計(jì)算方便的目的。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用3．平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系（1）平面匯交力系的平衡條件物體在平面匯交力系作用下處于平衡的充分必要條件是：合力R的大小等于零，即式中(∑X)2、(∑Y)2均為非負(fù)數(shù)，要使上式成立則要使R=0，即上式表明，平面匯交力系平衡的充分和必要的解析條件為：力系中各力的兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和均等于零。1.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用3．平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系（2）平面力偶系的平衡條件平面力偶系合成的結(jié)果只能是一個(gè)合力偶，當(dāng)平面力偶系的合力偶矩等于零時(shí)，表明使物體順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的力偶矩與使物體逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的力偶矩相等，作用效果相互抵消，物體必處于平衡狀態(tài)；反之，若合力偶矩不為零，則物體必產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)而不平衡。這樣可得到平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中所有各力偶矩的代數(shù)和等于零，即：

M=∑m=01.1.2平面力系平衡條件的應(yīng)用3．平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系（3）平面平行力系的平衡條件在平面力系中，若各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行，這樣的力系稱(chēng)為平面平行力系。平面平行力系在工程中經(jīng)常遇到，如梁等結(jié)構(gòu)所受的力系，常常都可簡(jiǎn)化成平面平行力系問(wèn)題來(lái)解決。如圖所示，設(shè)物體受平面平行力系F1、F2、…、Fn的作用。如選取x軸與各力垂直，則不論力系是否平衡，每一個(gè)力在x軸上的投影恒等于零，即∑X=0。于是，平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，即平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能求解兩個(gè)未知量。任務(wù)2桿件的基本變形與組合變形1.2.1桿件的幾何特征1.2.2內(nèi)力和應(yīng)力1.2.3強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)1.2.5桿件變形的基本形式和應(yīng)力計(jì)算1.2.6幾種常見(jiàn)的組合變形1.2.1桿件的幾何特征工程中各種各樣的建筑物都是由若干構(gòu)件按照一定的規(guī)律組合而成的，稱(chēng)為結(jié)構(gòu)。組成結(jié)構(gòu)的各單獨(dú)部分稱(chēng)為構(gòu)件。結(jié)構(gòu)一般按其幾何特征分為以下三種類(lèi)型。(1)桿系結(jié)構(gòu)。桿件的幾何特點(diǎn)是：橫截面是與桿長(zhǎng)方向垂直的截面，而軸線是各截面形心的連線，如圖所示。1.2.1桿件的幾何特征(1)桿系結(jié)構(gòu)。橫截面相同的桿件稱(chēng)為等截面桿；橫截面不同的桿件稱(chēng)為變截面桿，如圖所示。1.2.1桿件的幾何特征(1)桿系結(jié)構(gòu)。工程中常見(jiàn)的桿系結(jié)構(gòu)按其受力特性不同，可分為以下幾種。

1)梁。梁是一種受彎桿件，其軸線通常為直線。在圖a)、c)中所示的為單跨梁，在圖d)中所示的為多跨梁。1.2.1桿件的幾何特征(1)桿系結(jié)構(gòu)。工程中常見(jiàn)的桿系結(jié)構(gòu)按其受力特性不同，可分為以下幾種。2)拱。拱是由曲桿構(gòu)成，在豎向荷載作用下能產(chǎn)生水平反力的結(jié)構(gòu)。圖b)所示分別為三鉸拱和無(wú)鉸拱。1.2.1桿件的幾何特征(1)桿系結(jié)構(gòu)。工程中常見(jiàn)的桿系結(jié)構(gòu)按其受力特性不同，可分為以下幾種。3)剛架。剛架是由梁和柱組成的結(jié)構(gòu)。剛架結(jié)構(gòu)具有剛結(jié)點(diǎn)。圖a)、b)所示的結(jié)構(gòu)為單層剛架，圖c)所示的結(jié)構(gòu)為多層剛架。圖d)所示的結(jié)構(gòu)稱(chēng)為排架，也稱(chēng)鉸結(jié)剛架或鉸結(jié)排架。1.2.1桿件的幾何特征(1)桿系結(jié)構(gòu)。工程中常見(jiàn)的桿系結(jié)構(gòu)按其受力特性不同，可分為以下幾種。4)桁架。桁架是由若干直桿用鉸鏈連接組成的結(jié)構(gòu)1.2.1桿件的幾何特征(1)桿系結(jié)構(gòu)。工程中常見(jiàn)的桿系結(jié)構(gòu)按其受力特性不同，可分為以下幾種。5)組合結(jié)構(gòu)。組合結(jié)構(gòu)是桁架與梁或桁架與剛架組合在一起形成的結(jié)構(gòu)1.2.1桿件的幾何特征(1)桿系結(jié)構(gòu)。工程中常見(jiàn)的桿系結(jié)構(gòu)按其受力特性不同，可分為以下幾種。6)懸索結(jié)構(gòu)。懸索結(jié)構(gòu)的主要承重構(gòu)件為懸掛于塔、柱上的纜索，索只受軸向拉力，可最充分地發(fā)揮鋼材強(qiáng)度，且自重輕，可跨越很大的跨度，如懸索屋蓋、懸索橋、斜拉橋1.2.1桿件的幾何特征(2)薄壁結(jié)構(gòu)。薄壁結(jié)構(gòu)的幾何特征是其厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于另外兩個(gè)方向的尺寸。如薄板(樓板)、薄殼等。

(3)實(shí)體結(jié)構(gòu)。實(shí)體結(jié)構(gòu)的幾何特征是三個(gè)方向的尺寸基本相仿。如擋土墻、水壩等。1.2.2內(nèi)力和應(yīng)力1．內(nèi)力的概念桿件在外力作用下產(chǎn)生變形，從而桿件內(nèi)部各部分之間就產(chǎn)生相互作用力，這種由外力引起的桿件內(nèi)部之間的相互作用力稱(chēng)為內(nèi)力。研究桿件內(nèi)力常用的方法是截面法。截面法是假想用一平面將桿件在需求內(nèi)力的截面處截開(kāi)，將桿件分為兩部分，如圖（a）所示；取其中一部分作為研究對(duì)象，此時(shí)截面上的內(nèi)力被顯示出來(lái)，變成研究對(duì)象上的外力如圖（b）所示，再由平衡條件求出內(nèi)力。1.2.2內(nèi)力和應(yīng)力2．應(yīng)力由于桿件是由均勻連續(xù)材料制成，所以內(nèi)力連續(xù)分布在整個(gè)截面上。由截面法求得的內(nèi)力是截面上分布內(nèi)力的合內(nèi)力。只知道合內(nèi)力還不能判斷桿件是否會(huì)因強(qiáng)度不足而破壞，還必須知道內(nèi)力在橫截面上分布的密集程度（簡(jiǎn)稱(chēng)集度）。.我們將內(nèi)力在一點(diǎn)處的分布集度稱(chēng)為應(yīng)力。為了分析圖（a）所示截面上任意一點(diǎn)E處的應(yīng)力，圍繞E點(diǎn)取一微小面積△A，作用在微小面積△A上的合內(nèi)力記為△P，則比值稱(chēng)為△A上的平均應(yīng)力。平均應(yīng)力pm不能精確地表示E點(diǎn)處的內(nèi)力分布集度。當(dāng)△A無(wú)限趨近于零時(shí)，平均應(yīng)力pm的極限值p才能表示E點(diǎn)處的內(nèi)力分布集度，即：1.2.3強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題1.強(qiáng)度強(qiáng)度是指構(gòu)件抵抗破壞的能力。構(gòu)件在工作條件下不發(fā)生破壞，即說(shuō)明該構(gòu)件具有抵抗破壞的能力，滿足了強(qiáng)度要求。強(qiáng)度問(wèn)題是研究構(gòu)件滿足強(qiáng)度要求的計(jì)算理論和方法。解決強(qiáng)度問(wèn)題的關(guān)鍵是作構(gòu)件的應(yīng)力分析。當(dāng)結(jié)構(gòu)中的各構(gòu)件均已滿足強(qiáng)度要求時(shí)，整個(gè)結(jié)構(gòu)也就滿足了強(qiáng)度要求。因此，研究強(qiáng)度問(wèn)題時(shí)，只需以構(gòu)件為研究對(duì)象即可。2.剛度剛度是指構(gòu)件抵抗變形的能力。結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在工作條件下所發(fā)生的變形未超過(guò)工程允許的范圍，即說(shuō)明該結(jié)構(gòu)或構(gòu)件具有抵抗變形的能力，滿足了剛度要求。剛度問(wèn)題是研究結(jié)構(gòu)或構(gòu)件滿足剛度要求的計(jì)算理論和方法。解決剛度問(wèn)題的關(guān)鍵是求結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的變形。

3.穩(wěn)定性穩(wěn)定性是指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的保持原有形狀的穩(wěn)定平衡狀態(tài)的能力。結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在工作條件下不會(huì)突然改變?cè)械男螤?，以致發(fā)生過(guò)大的變形而導(dǎo)致破壞，即說(shuō)明滿足穩(wěn)定性要求。1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)1.重心地球上的任何物體都受到地球引力的作用，這個(gè)力稱(chēng)為物體的重力。如果把一個(gè)物體分成許多微小部分，則這些微小部分所受的重力形成匯交于地球中心的空間匯交力系。但是，由于地球半徑很大，這些微小部分所受的重力可看成空間平行力系，該力系的合力大小就是該物體的重力。由實(shí)驗(yàn)可知，不論物體在空間的方位如何，物體重力的作用線始終是通過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是物體重力的作用點(diǎn)，稱(chēng)為物體的重心。對(duì)重心的研究，在實(shí)際工程中具有重要意義。例如，水壩、擋土墻、吊車(chē)等的傾覆穩(wěn)定性問(wèn)題就與這些物體的重心位置直接有關(guān)。混凝土振搗器，其轉(zhuǎn)動(dòng)部分的重心必須偏離轉(zhuǎn)軸才能發(fā)揮預(yù)期的作用。在建筑設(shè)計(jì)中，重心的位置影響著建筑物的平衡與穩(wěn)定。在建筑施工過(guò)程中采用兩個(gè)吊點(diǎn)起吊柱子就是要保證柱子重心在兩吊點(diǎn)之間。1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)由此，根據(jù)靜力學(xué)力矩理論，可得到重心的坐標(biāo)公式。（1）一般物體重心的坐標(biāo)公式（2）均質(zhì)物體重心的坐標(biāo)公式對(duì)均質(zhì)物體而言，其重心位置完全取決于其幾何形狀，而與其重量無(wú)關(guān)，物體的重心就是其形心，均質(zhì)物體重心的坐標(biāo)公式如下：式中dG——物體微小部分的重量(或所受的重力)；x、y、z——分別為物體微小部分的空間坐標(biāo)；G——物體的總重力。V——均質(zhì)物體的總體積。1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)2.形心對(duì)于極薄的勻質(zhì)薄板，可以用平面圖形來(lái)表示，它的重力作用點(diǎn)稱(chēng)為形心。規(guī)則圖形的形心比較容易確定，就是指截面的幾何中心。如圖所示，平面圖形形心的坐標(biāo)為：式中dA——平面圖形微小部分的面積；y、z——分別為圖形微小部分在平面坐標(biāo)系yOz中的坐標(biāo)；A——平面圖形的總面積。形心1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)3.面積矩（1）面積矩的定義如圖所示為任意形狀的平面圖形的面積為A，則截面對(duì)y軸和z軸的面積矩(或稱(chēng)靜矩)分別定義為：由上式可見(jiàn)，面積矩是與坐標(biāo)軸的選擇有關(guān)的，對(duì)不同的坐標(biāo)軸，面積矩的大小就不同，而且面積矩是代數(shù)量，可能為正，也可能為負(fù)，也可能為零，面積矩的量綱是長(zhǎng)度的三次方，常用單位為m3或mm3。1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)3.面積矩（2）面積矩的計(jì)算1）簡(jiǎn)單圖形的面積矩如圖2-8所示，簡(jiǎn)單平面圖形的面積A與其形心坐標(biāo)yc(或zc)的乘積，稱(chēng)為簡(jiǎn)單圖形對(duì)z軸或y軸的面積矩，即當(dāng)坐標(biāo)軸通過(guò)截面圖形的形心時(shí)，其面積矩為零；反之，截面圖形對(duì)某軸的面積矩為零，則該軸一定通過(guò)截面圖形的形心。2）組合圖形的面積矩式中Ai——各簡(jiǎn)單圖形的面積;yci、zci——各簡(jiǎn)單圖形的形心坐標(biāo)。該式表明組合圖形對(duì)某軸的面積矩等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸面積矩的代數(shù)和。1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)4.慣性矩、慣性積與慣性半徑（1）慣性矩1）慣性矩計(jì)算公式如圖所示，任意平面圖形上所有微面積dA與其坐標(biāo)y(或z)平方乘積的總和，稱(chēng)為該平面圖形對(duì)z軸(或y軸)的慣性矩，用Iz（或Iy）表示，即：該式表明慣性矩恒為正值，它的常用單位是m4或mm4。若dA至坐標(biāo)原點(diǎn)O之距為ρ，如圖所示，ρ2dA稱(chēng)為該微元面積對(duì)原點(diǎn)O的極慣性矩，則整體圖形面積A對(duì)原點(diǎn)O的極慣性矩為1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)4.慣性矩、慣性積與慣性半徑（1）慣性矩幾種常見(jiàn)截面的慣性矩見(jiàn)表所示。1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)4.慣性矩、慣性積與慣性半徑（1）慣性矩幾種常見(jiàn)截面的慣性矩見(jiàn)表所示。1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)4.慣性矩、慣性積與慣性半徑（1）慣性矩2）慣性矩平行移軸公式同一平面圖形對(duì)不同坐標(biāo)軸的慣性矩是不相同的，但它們之間存在著一定的關(guān)系。如圖所示任意圖形對(duì)兩個(gè)相平行的坐標(biāo)軸的慣性矩之間的關(guān)系。1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)4.慣性矩、慣性積與慣性半徑（1）慣性矩3）慣性矩的特征①截面的極慣性矩是對(duì)某一極點(diǎn)定義的，而對(duì)軸的慣性矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的。②極慣性矩和對(duì)軸的慣性矩的量綱均為長(zhǎng)度的四次方，單位為m4、cm4或mm4。③極慣性矩和對(duì)軸的慣性矩的數(shù)值均恒為大于零的正值。④截面對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩，恒等于截面對(duì)以該點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性矩之和，即1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)4.慣性矩、慣性積與慣性半徑（1）慣性矩4）組合截面慣性矩的計(jì)算組合截面如圖所示，對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩或?qū)δ骋惠S的慣性矩，分別等于組合截面各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一點(diǎn)的極慣性矩或?qū)ν惠S的慣性矩之代數(shù)和，即組合界面慣性矩1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)4.慣性矩、慣性積與慣性半徑（2）慣性積如圖所示，任意平面圖形上所有微面積dA與其坐標(biāo)z、y乘積的總和，稱(chēng)為該平面圖形對(duì)z、y兩軸的慣性積表示，即慣性積可為正，可為負(fù)，也可為零。慣性積的特征如下：①截面的慣性積是對(duì)相互垂直的一對(duì)坐標(biāo)軸定義的。②慣性積的量綱為長(zhǎng)度的四次方，單位為m4、cm4或mm4。③慣性積的數(shù)值可正可負(fù)，也可能為零。若一對(duì)坐標(biāo)軸中有一軸為截面圖形的對(duì)稱(chēng)軸，則截面對(duì)該對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積必等于零。但截面對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，該對(duì)坐標(biāo)軸中不一定就是圖形的對(duì)稱(chēng)軸。④組合截面對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積，等于各組合圖形對(duì)同一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積的代數(shù)和，即1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)4.慣性矩、慣性積與慣性半徑（3）慣性半徑在工程設(shè)計(jì)計(jì)算中，常將圖形的慣性矩表示為圖形面積A與某一長(zhǎng)度平方的乘積，即式中iz、iy為平面圖形對(duì)z、y軸的慣性半徑。慣性半徑的特征如下：①截面的慣性半徑僅對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的。②慣性半徑的量綱為長(zhǎng)度的一次方，單位為m。③慣性半徑的數(shù)值恒取正值。1.2.4截面圖形的幾何性質(zhì)5.形心主慣性軸與形心主慣性矩若截面對(duì)某對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積Iz0y0=0，則這對(duì)坐標(biāo)軸z0、y0稱(chēng)為截面的主慣性軸，簡(jiǎn)稱(chēng)主軸。截面對(duì)主軸的慣性矩稱(chēng)為主慣性矩，簡(jiǎn)稱(chēng)主慣矩。由此，當(dāng)截面具有對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，截面對(duì)包括對(duì)稱(chēng)軸在內(nèi)的一對(duì)正交軸的慣性積等于零。例如圖（a）中，y為截面的對(duì)稱(chēng)軸，z1軸與y軸垂直，截面對(duì)z1、y軸的慣性積等于零，z1、y即為主軸。同理，圖（a）中的z2、y和z、y也都是主軸。通過(guò)形心的主慣性軸稱(chēng)為形心主慣性軸，簡(jiǎn)稱(chēng)形心主軸。截面對(duì)形心主軸的慣性矩稱(chēng)為形心主慣性矩，簡(jiǎn)稱(chēng)為形心主慣矩。凡通過(guò)截面形心，且包含有一根對(duì)稱(chēng)軸的一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸一定是形心主軸。圖（a）中的z、y軸通過(guò)截面形心，z、y軸即為形心主軸。圖（b）、（c）、（d）中的z、y軸均為形心主軸。1.2.5桿件變形的基本形式和應(yīng)力計(jì)算作用在桿上的外力是多種多樣的，因此，桿的變形也是各種各樣的。不過(guò)這些變形不外乎是以下四種基本變形形式之一?；蛘呤菐追N基本變形形式的組合。1．軸向拉伸或軸向壓縮在一對(duì)大小相等、方向相反、作用線與桿軸線相重合的外力P作用下，桿件將發(fā)生長(zhǎng)度的改變(伸長(zhǎng)或縮短)，如圖（a）（b）所示。其正應(yīng)力計(jì)算如下：

式中σ——橫截面上的應(yīng)力；FN——橫截面上的軸力，如圖2-16（a）（b）所示，F(xiàn)N=P。A——橫截面面積。1.2.5桿件變形的基本形式和應(yīng)力計(jì)算作用在桿上的外力是多種多樣的，因此，桿的變形也是各種各樣的。不過(guò)這些變形不外乎是以下四種基本變形形式之一?；蛘呤菐追N基本變形形式的組合。2．剪切在一對(duì)相距很近、大小相等，方向相反的橫向外力P作用下，桿件的橫截面將沿力的方向發(fā)生錯(cuò)動(dòng)，如圖（c）所示。其切應(yīng)力計(jì)算公式如下：

式中τ——剪切構(gòu)件的切應(yīng)力；Fs——剪切面上的剪力，如圖2-16（c）所示，F(xiàn)s=P。A——剪切面面積。1.2.5桿件變形的基本形式和應(yīng)力計(jì)算作用在桿上的外力是多種多樣的，因此，桿的變形也是各種各樣的。不過(guò)這些變形不外乎是以下四種基本變形形式之一。或者是幾種基本變形形式的組合。3．扭轉(zhuǎn)在一對(duì)大小相等、方向相反、位于垂直于桿軸線的兩平面內(nèi)的力偶m作用下，桿的任意兩個(gè)橫截面將繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖（d）所示。其切應(yīng)力計(jì)算公式如下：

式中τρ——橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力；T——橫截面上的扭矩；ρ——橫截面上任一點(diǎn)到圓心的距離；Ip——橫截面對(duì)形心的極慣性矩。對(duì)于圓形截面，。1.2.5桿件變形的基本形式和應(yīng)力計(jì)算作用在桿上的外力是多種多樣的，因此，桿的變形也是各種各樣的。不過(guò)這些變形不外乎是以下四種基本變形形式之一?；蛘呤菐追N基本變形形式的組合。4．彎曲在一對(duì)大小相等、方向相反、位于桿的縱向平面內(nèi)的力偶m作用下，桿件的軸線由直線彎成曲線，如圖（e）所示。純彎曲時(shí)直桿件橫截面上任一點(diǎn)處正應(yīng)力計(jì)算公式如下：

式中σ——橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力；M——橫截面上的彎矩Iz——橫截面對(duì)中性軸z的慣性矩y——所求應(yīng)力點(diǎn)的縱坐標(biāo)1.2.5桿件變形的基本形式和應(yīng)力計(jì)算作用在桿上的外力是多種多樣的，因此，桿的變形也是各種各樣的。不過(guò)這些變形不外乎是以下四種基本變形形式之一?；蛘呤菐追N基本變形形式的組合。4．彎曲直桿件在彎曲時(shí)，其橫截面上不僅有正應(yīng)力σ，還有切應(yīng)力τ，其計(jì)算公式如下：

式中τ——橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力；Fs——橫截面上的剪力；Iz——整個(gè)橫截面對(duì)中性軸z的慣性矩；b——矩形截面的寬度；Sz*——橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對(duì)中性軸的靜矩。1.2.6幾種常見(jiàn)的組合變形1．組合變形的概念在工程實(shí)際中，桿件可能同時(shí)承受不同形式的荷載而發(fā)生復(fù)雜的變形，但都可看做是上述基本變形的組合。由兩種或兩種以上基本變形組成的復(fù)雜變形成為組合變形。如圖（a）所示的屋架桁條，將產(chǎn)生相互垂直的兩個(gè)平面彎曲的組合變形；圖（b）所示的鉆床立柱，將產(chǎn)生軸向拉伸與平面彎曲的組合變形；圖（c）所示的機(jī)床傳動(dòng)軸，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)與兩相互垂直平面內(nèi)平面彎曲的組合變形。1.2.6幾種常見(jiàn)的組合變形2．斜彎曲變形對(duì)于橫截面具有對(duì)稱(chēng)軸的梁，當(dāng)外力作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)時(shí)，梁的軸線在變形后將變成一條位于縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)的平面曲線。這種變形形式稱(chēng)為平面彎曲。當(dāng)外力不作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)時(shí)，如圖所示，實(shí)驗(yàn)及理論研究表明，此時(shí)梁的撓曲線并不在梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)(不屬于平面彎曲)，這種彎曲稱(chēng)為斜彎曲。

1.2.6幾種常見(jiàn)的組合變形3．軸向拉伸（壓縮）與彎曲組合變形在外力作用下，構(gòu)件同時(shí)產(chǎn)生彎曲和拉伸（或壓縮）變形的情況，稱(chēng)為彎曲與拉伸（或壓縮）的組合變形。軸向力引起軸向拉伸(或壓縮)，橫向力引起平面彎曲(或斜彎曲)。如圖所示的煙囪在自重作用下引起軸向壓縮，在風(fēng)力作用下引起彎曲，所以是軸向壓縮與彎曲的組合變形。

1.2.6幾種常見(jiàn)的組合變形4．彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形在外力作用下，構(gòu)件同時(shí)產(chǎn)生彎曲和扭轉(zhuǎn)變形的情況，稱(chēng)為彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形。如圖所示，一圓柱型圓桿一端固定，一端自由，自由端在外力P的作用下產(chǎn)生平面彎曲變形，在外力偶M的作用下產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，所以此變形屬于彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形。

任務(wù)3平面體系的幾何組成分析1.3.1幾何組成分析的目的1.3.2幾何不變體系與幾何可變體系1.3.3平面體系的自由度和約束1.3.4幾何不變體系的組成規(guī)則1.3.5幾何組成分析方法1.3.1幾何組成分析的目的桿件結(jié)構(gòu)是由若干桿件相互連接所組成的體系，并與地基聯(lián)結(jié)成一整體，用來(lái)承受荷載的作用。當(dāng)不考慮各桿件本身的變形時(shí)，它應(yīng)能保持其幾何形狀和位置不變，從而才能承受荷載，作為結(jié)構(gòu)使用。由此，在桿件組成體系中，并不是無(wú)論怎樣組成都能作為工程結(jié)構(gòu)使用。例如圖(a)是一個(gè)由兩根鏈桿與基礎(chǔ)組成的鉸接三角形，在荷載的作用下，可以保持其幾何形狀和位置不變，可以作為工程結(jié)構(gòu)使用。圖(b)是一個(gè)鉸接四邊形，受荷載作用后容易傾斜如圖中虛線所示，則不能作為工程結(jié)構(gòu)使用。但如果在鉸接四邊形中加一根斜桿，構(gòu)成如圖（c）所示的鉸接三角形體系，就可以保持其幾何形狀和位置，從而可以作為工程結(jié)構(gòu)使用。

1.3.1幾何組成分析的目的以上分析可見(jiàn)，結(jié)構(gòu)必須是幾何不變體系。因此，在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)和選取其計(jì)算簡(jiǎn)圖時(shí)，首先必須判別它是否是幾何可變的。這種判別工作稱(chēng)為體系的幾何組成分析。對(duì)體系進(jìn)行幾何組成分析可達(dá)到如下目的：1）判別某體系是否為幾何不變體系，以決定其能否作為工程結(jié)構(gòu)使用。2）研究并掌握幾何不變體系的組成規(guī)則，以便合理布置構(gòu)件，使所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)在荷載作用下能夠維持平衡。3）確定結(jié)構(gòu)是否有多余聯(lián)系，即判斷結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)還是超靜定結(jié)構(gòu)，以選擇分析計(jì)算方法。在進(jìn)行幾何組成分析時(shí)，由于不考慮材料的應(yīng)變，因而組成結(jié)構(gòu)的某一桿件或者已經(jīng)判明幾何不變的部分，均可視為剛體，平面的剛體又稱(chēng)剛片。

1.3.2幾何不變體系與幾何可變體系1．幾何不變體系在不考慮材料應(yīng)變的條件下，任意荷載作用后體系的位置和形狀均能保持不變，這樣的體系稱(chēng)為幾何不變體系，如圖所示。

1.3.2幾何不變體系與幾何可變體系2．幾何可變體系在不考慮材料應(yīng)變的條件下，即使在微小的荷載作用下，也會(huì)產(chǎn)生機(jī)械運(yùn)動(dòng)而不能保持其原有形狀和位置的體系稱(chēng)為幾何可變體系，如圖所示。

1.3.3平面體系的自由度和約束1．自由度設(shè)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，要確定它的位置，需要有x、y兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)，如圖（a）所示，因此一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)的自由度為2，即點(diǎn)在平面內(nèi)可以作兩種相互獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，通常用平行于坐標(biāo)軸的兩種移動(dòng)來(lái)描述。確定一個(gè)剛片在平面內(nèi)的位置則需要有三個(gè)獨(dú)立的幾何參變量。如圖(b)所示，在剛片上先用x、y兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)確定A點(diǎn)的位置，再用傾角φ，確定通過(guò)A點(diǎn)的任一直線AB的位置，這樣，剛片的位置便完全確定了。因此，一個(gè)剛片在平面內(nèi)的自由度為3，即剛片在平面內(nèi)不但可以自由移動(dòng)，而且還可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)。由此看出，體系幾何不變的必要條件是自由度等于或小于零。

1.3.3平面體系的自由度和約束2．約束能減少體系自由度的裝置稱(chēng)為約束。減少一個(gè)自由度的裝置即為一個(gè)約束，并以此類(lèi)推。工程中常見(jiàn)的約束有以下幾種。（1）鏈桿如圖（a）所示，剛片AB上增加一根鏈桿AC的約束后，剛片只能繞A轉(zhuǎn)動(dòng)和鉸A繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。原來(lái)剛片有三個(gè)自由度，現(xiàn)在只有兩個(gè)。因此，一個(gè)鏈桿相當(dāng)于一個(gè)約束。1.3.3平面體系的自由度和約束2．約束（2）鉸支座如圖(b)所示，鉸支座A，可阻止剛片AB上、下和左、右的移動(dòng)，只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)角φ，因此鉸支座可使剛片減少兩個(gè)自由度，相當(dāng)于兩個(gè)約束，亦即相當(dāng)于兩根鏈桿。1.3.3平面體系的自由度和約束2．約束（3）簡(jiǎn)單鉸凡連接兩個(gè)剛片的鉸稱(chēng)簡(jiǎn)單鉸，簡(jiǎn)稱(chēng)單鉸。如圖(c)所示，連接剛片AB和AC的鉸A。原來(lái)剛片AB和AC各有三個(gè)自由度，共計(jì)是六個(gè)自由度。用鉸連接后，如果認(rèn)為AB仍為三個(gè)自由度，AC則只能繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)，亦即AC只有一個(gè)自由度，所以自由度減少為四個(gè)。由此，簡(jiǎn)單鉸可使自由度減少兩個(gè)。即一個(gè)簡(jiǎn)單鉸相當(dāng)于兩個(gè)約束，或者說(shuō)相當(dāng)于兩根鏈桿。1.3.3平面體系的自由度和約束2．約束（4）固定端支座如圖(d)所示固定端，不僅阻止剛片AB上、下和左、右的移動(dòng)，也阻止其轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，固定端支座可使剛片減少三個(gè)自由度，相當(dāng)于三個(gè)約束，或者說(shuō)相當(dāng)于三根鏈桿。1.3.3平面體系的自由度和約束2．約束（5）剛性連接如圖(e)所示，AB和AC之間為剛性連接。原來(lái)剛片AB與AC各有三個(gè)自由度，共計(jì)為六個(gè)自由度。剛性連接后，如果認(rèn)為AB仍有三個(gè)自由度，AC則既不能上、下和左、右移動(dòng)，亦不能轉(zhuǎn)動(dòng)，可見(jiàn)，剛性連接可使自由度減少三個(gè)。因此，剛性連接相當(dāng)于三個(gè)約束，或者說(shuō)相當(dāng)于三根鏈桿。1.3.4幾何不變體系的組成規(guī)則1．二元體規(guī)則所謂二元體是指由兩根不在同一直線上的鏈桿連接一個(gè)新結(jié)點(diǎn)的裝置，如圖（a）所示。二元體規(guī)則是分析一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)剛片之間應(yīng)當(dāng)怎樣連接才能組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。如圖(a)所示，在鉸接三角形中，將BC看做剛片丁，AB,AC看做是連接A點(diǎn)和剛片I的兩根鏈桿，體系仍然是幾何不變體系。由此可見(jiàn)：一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)剛片用兩根不共線的鏈桿相連，組成幾何不變體系，且無(wú)多余約束。圖(b)中，A點(diǎn)通過(guò)兩根不共線的鏈桿與剛片I相連，組成幾何不變體系，其中的第三根鏈桿是多余約束。圖(c)中①、②兩根鏈桿共線，體系為瞬變體系，它是可變體系中的一種特殊情況。結(jié)論：在一個(gè)體系上增加或減少一個(gè)二元體，不會(huì)改變體系的幾何組成性質(zhì)。1.3.4幾何不變體系的組成規(guī)則2．兩剛片規(guī)則兩剛片用不在一條直線上的一個(gè)鉸(B鉸)和一根鏈桿(AC鏈桿)連接，則組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。兩剛片規(guī)則是分析兩個(gè)剛片如何連接才能組成幾何不變體系，且沒(méi)有多余約束。此規(guī)則也可由鉸接三角形推得。如圖(a)所示，將AB、BC分別看做剛片Ⅰ、Ⅱ，將AC看做鏈桿①，體系仍然為幾何不變體系。由此可見(jiàn)：兩剛片用一個(gè)鉸和一根鏈桿相連，且鏈桿與此鉸不共線，組成幾何不變體系，且無(wú)多余約束。1.3.4幾何不變體系的組成規(guī)則2．兩剛片規(guī)則一個(gè)單鉸相當(dāng)于兩根鏈桿約束，所以兩根鏈桿可以代替一個(gè)鉸，因此得出圖(b)所示的圖形是幾何不變的。在圖(c)中，鏈桿①、②、③平行，體系為幾何可變體系。在圖(d)、(e),中，連接兩剛片的三根鏈桿相交于一點(diǎn)（虛鉸），也是幾何可變體系。結(jié)論：兩剛片用既不完全平行也不交于一點(diǎn)的三根鏈桿連接，則組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。1.3.4幾何不變體系的組成規(guī)則3．三剛片規(guī)則三剛片用不在一條直線上的三個(gè)鉸（實(shí)鉸或虛鉸）兩兩連接，則組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。三剛片規(guī)則是分析三個(gè)剛片的連接方式。圖(a)中，將鉸接三角形中的AB,BC,AC分別看做剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，由此得三剛片規(guī)則。1.3.4幾何不變體系的組成規(guī)則3．三剛片規(guī)則圖(b)所示的體系中，兩根鏈桿中的交點(diǎn)稱(chēng)為實(shí)鉸，兩鏈桿的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)稱(chēng)為虛鉸。虛鉸和實(shí)鉸的作用是一樣的。因此，圖(b)中體系是幾何不變體系，且無(wú)多余約束。結(jié)論：三剛片分別用不完全平行也不共線的兩根鏈桿兩兩連接，且所形成的三個(gè)虛鉸不在同一條直線上，則組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。1.3.5幾何組成分析方法1．幾何組成分析思路幾何組成分析的依據(jù)是三個(gè)基本組成規(guī)則，只要能正確和靈活地運(yùn)用它們便可分析各種各樣的體系。幾何組成分析的思路如下：（1）首先直接觀察出幾何不變部分，把它當(dāng)做剛片處理，再逐步運(yùn)用規(guī)則。該方法也可稱(chēng)為擴(kuò)大剛片法。（2）拆除二元體，使結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，便于分析。（3）對(duì)于折線形鏈桿或曲桿，可用直桿等效代換。1.3.5幾何組成分析方法2．幾何組成分析實(shí)例（1）利用擴(kuò)大剛片法進(jìn)行幾何組成分析1）與基礎(chǔ)相連的二元體圖（a）所示的三角桁架，是用不在同一直線上的兩鏈桿將一點(diǎn)和基礎(chǔ)相連，構(gòu)成幾何不變的二元體。對(duì)圖

（b）所示桁架作幾何組成分析時(shí)，觀察其中ABC部分系由鏈桿①、②固定C點(diǎn)而形成的幾何不變二元體。在此基礎(chǔ)上，分別用鏈桿（③，④）、（⑤，⑥）、（⑦，⑧）組成二元體，依次固定D、E、F各點(diǎn)。其中每對(duì)鏈桿均不共線，由此組成的桁架屬無(wú)多余約束的幾何不變體系。1.3.5幾何組成分析方法2．幾何組成分析實(shí)例（1）利用擴(kuò)大剛片法進(jìn)行幾何組成分析2）與基礎(chǔ)相連的一剛片如圖所示AB桿與基礎(chǔ)之間用鉸A和鏈桿1相連，組成幾何不變體系，可看做是一個(gè)擴(kuò)大了的剛片。將BC桿看做鏈桿，則CD桿用不交于一點(diǎn)的三根鏈桿BC,2,3和擴(kuò)大剛片相連，組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。1.3.5幾何組成分析方法2．幾何組成分析實(shí)例（1）利用擴(kuò)大剛片法進(jìn)行幾何組成分析3）與基礎(chǔ)相連的兩剛片如圖所示的三鉸剛架，是用不在一條直線上的三個(gè)鉸，將兩剛片和基礎(chǔ)三者之間兩兩相連構(gòu)成幾何不變體1.3.5幾何組成分析方法2．幾何組成分析實(shí)例（2）利用拆除二元體進(jìn)行幾何組成分析如圖所示的體系，假如BB′以下部分是幾何不變的，則①、②兩桿為二元體，可先將二元體部分去掉，只分析BB′以下部分。當(dāng)去掉由①、②鏈桿組成的二元體后，由于體系左、右完全對(duì)稱(chēng)，所以可只分析半邊體系的幾何組成即可?，F(xiàn)取左半分析，將AB當(dāng)做剛片，由③、④鏈桿固定D點(diǎn)組成剛片Ⅰ。將CD當(dāng)做剛片Ⅱ，則剛片Ⅰ、Ⅱ和基礎(chǔ)由不在一條直線上的三個(gè)鉸A、C、D兩兩相連構(gòu)成幾何不變體系。由此整個(gè)體系為無(wú)多余約束的幾何不變體系。1.3.5幾何組成分析方法2．幾何組成分析實(shí)例（3）利用等效代換方法進(jìn)行幾何組成分析如圖所示的體系，設(shè)EDE可作為剛片Ⅰ。折桿AD也是一個(gè)剛片，但由于它只用兩個(gè)鉸A、D分別與地基和剛片Ⅰ相連，其約束作用與通過(guò)A、D兩鉸的一根鏈桿完全等效，如圖（a）中虛線所示，所以可用鏈桿AD等效代換折桿AD。同理可用鏈桿CE等效代換折桿CE。于是圖（a）所示體系可由圖（b）所示體系等效代換。由此，剛片Ⅰ與地基用不交于同一點(diǎn)的三根鏈桿①、②、③相連，組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。1.3.5幾何組成分析方法2．幾何組成分析實(shí)例（3）利用等效代換方法進(jìn)行幾何組成分析分別將圖中的AC、BD、基礎(chǔ)分別視為剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，剛片Ⅰ和剛片Ⅲ以鉸A相連，剛片Ⅱ和剛片111用鉸B連接，剛片Ⅰ和剛片Ⅱ是用CD、EF兩鏈桿相連，相當(dāng)于一個(gè)虛鉸O。則連接三剛片的三個(gè)鉸A、B、O不在一直線上，符合三剛片規(guī)則，由此可以判定圖所示的體系為無(wú)多余約束的幾何不變體系任務(wù)4靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析1.4.1靜定結(jié)構(gòu)的概念1.4.2軸向拉壓桿的內(nèi)力分析及舉例1.4.3單跨靜定梁內(nèi)力分析及舉例1.4.1靜定結(jié)構(gòu)的概念無(wú)多余約束的幾何不變體系是靜定結(jié)構(gòu)。如圖所示的簡(jiǎn)支梁是無(wú)多余約束的幾何不變體系，其支座反力和桿件內(nèi)力均可由平衡方程全部求解出來(lái)，因此簡(jiǎn)支梁是靜定的。1.4.1靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定結(jié)構(gòu)有靜定梁、靜定平面剛架、靜定平面桁架、三鉸拱及靜定組合結(jié)構(gòu)等，雖然結(jié)構(gòu)形式各異，但是有其共同的特性:1）靜定結(jié)構(gòu)解答的唯一性。2）在靜定結(jié)構(gòu)中溫度改變、支座移動(dòng)、制造誤差及材料收縮等均不會(huì)引起內(nèi)力和反力，如圖所示。1.4.1靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定結(jié)構(gòu)有靜定梁、靜定平面剛架、靜定平面桁架、三鉸拱及靜定組合結(jié)構(gòu)等，雖然結(jié)構(gòu)形式各異，但是有其共同的特性:3）靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和反力與結(jié)構(gòu)的材料、構(gòu)件的截面形狀和尺寸無(wú)關(guān)。4）當(dāng)平衡力系加在靜定結(jié)構(gòu)的某一內(nèi)部幾何不變部分時(shí)，結(jié)構(gòu)中只有該部分受力，其余部分無(wú)內(nèi)力和反力，如圖（a）（b）所示。1.4.1靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定結(jié)構(gòu)有靜定梁、靜定平面剛架、靜定平面桁架、三鉸拱及靜定組合結(jié)構(gòu)等，雖然結(jié)構(gòu)形式各異，但是有其共同的特性:5)當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)的某一內(nèi)部幾何不變部分上的荷載作等效變換時(shí)，只有該部分的內(nèi)力發(fā)生變化，其余部分的內(nèi)力和反力均保持不變,如圖所示。1.4.1靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定結(jié)構(gòu)有靜定梁、靜定平面剛架、靜定平面桁架、三鉸拱及靜定組合結(jié)構(gòu)等，雖然結(jié)構(gòu)形式各異，但是有其共同的特性:6）當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)的某一個(gè)內(nèi)部幾何不變部分作組成上的局部改變時(shí)，只在該部分的內(nèi)力發(fā)生變化，其余部分的內(nèi)力和反力均保持不變，如圖所示。1.4.2軸向拉壓桿的內(nèi)力分析及舉例1．軸向拉壓桿的內(nèi)力如圖（a）所示為一等截面直桿受軸向外力作用，產(chǎn)生軸向拉伸變形。先用截面法分析M-M截面上的內(nèi)力。用假想的橫截面將桿件在M-M截面處截開(kāi)分為左、右兩部分，取左部分為研究對(duì)象，如圖（b）所示，左右兩段桿在橫截面M-M上相互作用的內(nèi)力是一個(gè)分布力系，其合力為N。由于整根桿件處于平衡狀態(tài)，所以左段桿也應(yīng)保持平衡，由平衡條件∑X=0可知，M-M橫截面上分布內(nèi)力的合力N必然是一個(gè)與桿軸相重合的內(nèi)力，且N=P，其指向背離截面。同理，若取右段為研究對(duì)象，如圖（c）所示，可得出同樣的結(jié)果。acb1.4.2軸向拉壓桿的內(nèi)力分析及舉例1．軸向拉壓桿的內(nèi)力對(duì)于壓桿，也可以通過(guò)上述方法求得其任一橫截面上的內(nèi)力N，但其指向?yàn)檠刂孛娴姆ň€指向截面。將作用線與桿件軸線相重合的內(nèi)力，稱(chēng)為軸力，用符號(hào)N表示，沿著截面的法線背離截面的軸力，稱(chēng)為拉力；反之稱(chēng)為壓力。軸力的正負(fù)號(hào)