Chap3-2廣義容斥原理

廣義容斥原理容斥原理是組合數(shù)學(xué)中一種重要的計(jì)數(shù)技巧。廣義容斥原理是對(duì)容斥原理的推廣和擴(kuò)展?；镜娜莩庠砣绻麅蓚€(gè)集合A和B是可數(shù)的，那么A和B元素的和數(shù)等于A元素的個(gè)數(shù)與B元素的個(gè)數(shù)的和減去兩個(gè)集合的交集中元素個(gè)數(shù)。集合的基本操作并、交、補(bǔ)集等必不可少。理解基本操作是理解容斥原理的前提。應(yīng)用場(chǎng)景容斥原理可以用于解決諸如選課、顏色染色和方案計(jì)數(shù)等很多實(shí)際問(wèn)題。融會(huì)貫通學(xué)會(huì)應(yīng)用容斥原理對(duì)于進(jìn)一步的數(shù)學(xué)建模和解題有很大的幫助。多重集合的容斥原理需要多次使用某些元素的集合稱為多重集合。多重集合遵循容斥原理的推廣，容斥原理的系數(shù)就是各個(gè)元素取幾次的乘積。1系數(shù)特征系數(shù)是各個(gè)元素取幾次的乘積。2組合問(wèn)題容斥原理可以用于解決多種集合的組合問(wèn)題。3選擇問(wèn)題通過(guò)對(duì)元素的放回或不放回進(jìn)行選擇，可以使用容斥原理解決選擇問(wèn)題。4重疊事件對(duì)于事件之間重疊部分不確定的問(wèn)題，容斥原理可以計(jì)算出概率。閉合類問(wèn)題的容斥原理可以用生成函數(shù)的方法來(lái)處理容斥原理中的閉包問(wèn)題。1生成函數(shù)將所有問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的形式求解。2形式冪級(jí)數(shù)當(dāng)我們把一個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)理解為形式冪級(jí)數(shù)時(shí)，就把這個(gè)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為了一個(gè)元素個(gè)數(shù)無(wú)限的向量。3多重集合的生成函數(shù)多重集合的生成函數(shù)乘積就是容斥原理的系數(shù)。排列組合的容斥原理對(duì)于排列組合的問(wèn)題，可以先將全集轉(zhuǎn)化為元素不同的集合，再引入容斥原理。集合劃分根據(jù)排列組合問(wèn)題的性質(zhì)，利用集合劃分的方式將全集統(tǒng)一起來(lái)。排列問(wèn)題不能重復(fù)選取，需要連續(xù)選取的問(wèn)題可以用排列來(lái)處理。組合問(wèn)題不能重復(fù)選取，順序不重要的問(wèn)題可以用組合來(lái)處理。質(zhì)數(shù)問(wèn)題容斥原理在質(zhì)數(shù)相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)中經(jīng)典而有趣的問(wèn)題。染色問(wèn)題的容斥原理染色問(wèn)題中，我們需要涂不同顏色的沙粒，而容斥原理可以幫助我們計(jì)算需要的沙粒數(shù)。顏色的重要性不同的顏色對(duì)于染色問(wèn)題非常重要。有限個(gè)顏料一個(gè)系統(tǒng)中只有有限的顏料，這種情況需要考慮到顏料前后的關(guān)系?？芍赝繉?duì)于可重涂的情況，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不可重涂的問(wèn)題再進(jìn)行容斥。超集合問(wèn)題的容斥原理超集合問(wèn)題需要求出由若干超集合的并集組成的集合中，包含若干指定集合中元素的集合數(shù)目。1角度不同超集合的問(wèn)題和之前的容斥問(wèn)題需要用不同的角度去理解。2概率問(wèn)題超集合的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為概率問(wèn)題。3有配合的場(chǎng)景和置換群理論等組合數(shù)學(xué)理論有很好的配合。綜合應(yīng)用案例分析利用多種容斥原理的應(yīng)用場(chǎng)景解決一個(gè)大型的組合問(wèn)題。場(chǎng)景內(nèi)容男女人數(shù)男11人，女8人踢足球和打籃球每個(gè)人都必須踢足球或打籃球，其中4人雙打兩項(xiàng)吃早飯每個(gè)人必須吃早飯，其中3個(gè)人可以在一起吃早飯去