專題24.4特殊角的三角函數(shù)值-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【華師大版】

2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【華師大版】專題24.4特殊角的三角函數(shù)值姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2021?津南區(qū)模擬）sin45°+cos45°的值為（）A．1 B．2 C．2 D．22【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．【解析】原式==2故選：C．2．（2020秋?興化市期末）已知α為銳角，且sin（α﹣10°）=32，則A．70° B．60° C．50° D．30°【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得α﹣10°＝60°，進而可得α的值．【解析】∵sin（α﹣10°）=3∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．故選：A．3．（2018秋?懷柔區(qū)期末）已知∠A為銳角，且sinA=12，那么∠A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．【解析】∵sinA=12，∠∴∠A＝30°．故選：B．4．（2021春?淮南月考）若(3tanA-3)2+|2cosB﹣1|A．直角三角形 B．等邊三角形 C．含有60°的任意三角形 D．頂角為鈍角的等腰三角形【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出tanA與cosB的值，再由特殊角的三角函數(shù)值求出∠A與∠B的值，進而可得出結(jié)論．【解析】∵(3tanA-3)2+|2cosB∴3tanA﹣3＝0，2cosB﹣1＝0，∴tanA=3，cosB=∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．故選：B．5．（2020秋?長春期末）式子2cos30°﹣tan45°的值是（）A．1-22 B．0 C．3-1 【分析】把30°的余弦值、45°的正切值代入，計算即可．【解析】2cos30°﹣tan45°＝2×3=3-故選：C．6．（2019秋?乳山市期末）銳角α滿足sinα＞22，且tanαA．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系的增減性，得出答案．【解析】∵sinα＞22∴45°＜α＜60°．故選：B．7．（2020秋?白銀期末）在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝22，∠C＝90°，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．60°【分析】首先作出圖形，可得cosA=ACAB，繼而可求得∠【解析】在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝22，∴cosA=AC則∠A＝45°．故選：C．8．（2019秋?相山區(qū)期末）下列計算錯誤的個數(shù)是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°②sin245°+cos245°＝1③（tan60°）2=13④tan30A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值分別計算等式的左右兩邊，據(jù)此即可對每個等式作出判斷．【解析】①sin60°﹣sin30°=32-12②sin245°+cos245°＝（22）2+（22）2=③（tan60°）2＝（3）2＝3，錯誤；④tan30°=33，故選：C．9．（2020秋?杭州期末）下列不等式成立的是（）A．sin60°＜sin45°＜sin30° B．cos30°＜cos45°＜cos60° C．tan60°＜tan45°＜tan30° D．sin30°＜cos45°＜tan60°【分析】將特殊角的三角函數(shù)值進行比較即可．【解析】A、∵32∴sin60°＞sin45°＞sin30°，故選項不成立；B、∵32∴cos30°＞cos45°＞cos60°，故選項不成立；C、∵3＞1＞∴tan60°＞tan45°＞tan30°，故選項不成立；D、∵12∴sin30°＜cos45°＜tan60°，故選項成立．故選：D．10．（2016?新泰市模擬）你認為tan15°的值可能是（）A．36 B．2+3 C．2-3 【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得tan30°，根據(jù)正切函數(shù)的增減性，可得答案．【解析】由15°＜30°，得tan15°＜tan30°=3tan15°大約是2-3故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2020春?思明區(qū)校級月考）cos30°的值等于32【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值可得答案．【解析】cos30°=3故答案為：3212．（2020秋?舞鋼市期末）已知α是銳角，sin（α+15°）=32，則cosα＝2【分析】根據(jù)60°的正弦值32求出α，根據(jù)45【解析】∵sin60°=3∴α+15°＝60°，∴α＝45°，則cosα＝cos45°=2故答案為：2213．（2021?常州模擬）計算：sin245°+2cos230°＝2．【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計算即可．【解析】原式＝（22）2+2×（32=12+=1=4＝2，故答案為：2．14．（2020?淮安模擬）△ABC中，已知（2sinA﹣1）2+|tanB-33|＝0，∠A、∠B為銳角，則∠C＝105【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得2sinA﹣1＝0，tanB-33=0，然后可得∠A＝45°，∠B＝30°，再利用三角形內(nèi)角和為180【解析】由題意得：2sinA﹣1＝0，tanB-33∴sinA=22，tanB∴∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故答案為：105．15．（2020?南關(guān)區(qū)校級二模）△ABC中，∠C＝90°，tanA=43，則sinA+cosA＝7【分析】根據(jù)tanA=43和三角函數(shù)的定義畫出圖形，進而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cos【解析】如圖，∵tanA=BCAC∴設(shè)AB＝5x，則BC＝4x，AC＝3x，則有：sinA+cosA=BC故答案為：7516．（2020秋?泗水縣期末）已知∠A+∠B＝90°，若sinA=35，則cosB＝3【分析】根據(jù)互為余角的三角函數(shù)的關(guān)系：一個角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．【解析】由∠A+∠B＝90°，若sinA=3cosB=sinA=3故答案為：3517．（2017秋?利津縣期末）請首先規(guī)范書寫出30°角的三個銳角三角函數(shù)值sin30°=12，cos30°=32，tan30°=33，在△ABC中，若|sinA-12【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及結(jié)合非負數(shù)的性質(zhì)分析得出答案．【解析】sin30°=12，cos30°=32，∵|sinA-12∴sinA=12，cosB∴∠a＝30°，∠B＝45°，∴∠C的度數(shù)是：180°﹣30°﹣45°＝105°．故答案為：sin30°=12，cos30°=32，tan30°18．（2018?即墨區(qū)自主招生）已知三角函數(shù)的變換公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，則下列說法正確的序號是②③④．①cos（﹣30°）=-3②cos75°=6③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；④cos2x＝cos2x﹣sin2x．【分析】根據(jù)已知中的定義以及特殊角的三角函數(shù)值即可判斷．【解析】①cos（﹣30°）＝cos30°=3②cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°?cos45°﹣sin30°?sin45°=32③cos（x﹣y）＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，命題正確；④cos2x＝cosx?cosx﹣sinx?sinx＝cos2x﹣sin2x，命題正確；故答案為：②③④．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2020?灌云縣模擬）計算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）cos230°1+sin30°【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值進而分別代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值進而分別代入求出答案．【解析】（1）原式=2×=1+3=-3（2）原式=(32)=3=720．（2018秋?南昌期末）（1）在△ABC中，∠B＝45°，cosA=12．求∠（2）在直角三角形ABC中，已知sinA=45，求tan【分析】（1）由條件根據(jù)∠A的余弦值求得∠A的值，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求∠C即可．（2）根據(jù)角A的正弦設(shè)BC＝4x，AB＝5x，得AC的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得結(jié)論．【解析】（1）∵在△ABC中，cosA=1∴∠A＝60°，∵∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝75°；（2）∵sinA=BC設(shè)BC＝4x，AB＝5x，∴AC＝3x，∴tanA=BC21．（2020秋?平果市期末）若sin（α﹣15°）=22（（1）求α的值；（2）計算：sin2α+cos2α．【分析】（1）根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值得出相應(yīng)的銳角的度數(shù)，進而求出α的值，（2）根據(jù)（1）所得到的值代入計算，即可得出正確答案．【解析】解（1）∵sin(α-15°)=22，∴α﹣15°＝45°∴α＝60°；（2）sin2α+cos2α＝（sin60°）2+（cos60°）2=(3222．（2020?鹽池縣一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D在BC上一點，AC＝2，CD＝1，記∠CAD＝α．（1）試寫出α的三個三角函數(shù)值；（2）若∠B＝α，求BD的長．【分析】（1）在直角三角形ACD中，由AC與CD的長求出AD的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出α的三個三角函數(shù)值即可；（2）由∠CAD＝∠B＝α，且一對公共角，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ACD與三角形BCA相似，由相似得比例，求出BD的長即可．【解析】（1）在Rt△ACD中，AC＝2，CD＝1，根據(jù)勾股定理得：AD=A則sinα=CDAD=55，cosα=（2）∵∠CAD＝∠B＝α，∠C＝∠C＝90°，∴△ACD∽△BCA，設(shè)BD＝x，則BC＝x+1，∴ACBC=CD解得：x＝3，則BD＝3．23．（2020?叢臺區(qū)校級一模）嘉琪在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（22）2+（22）2＝據(jù)此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（1）當(dāng)α＝30°時，驗證sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．（2）請你對嘉琪的猜想進行證明．【分析】（1）將α＝30°代入，根據(jù)三角函數(shù)值計算可得；（2）設(shè)∠A＝α，則∠B＝90°﹣α，根據(jù)正弦函數(shù)的定義及勾股定理即可驗證．【解析】（1）當(dāng)α＝30°時，sin2α+sin2（90°﹣α）＝sin230°+sin260°＝（12）2+（32=1＝1；所以當(dāng)α＝30°時，sin2α+sin2（90°﹣α）＝1成立．（2）證明：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A＝α，則∠B＝90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝（BCAB）2+（ACAB=B=A＝1．24．要求tan45°的值，可構(gòu)造直角三角形進行計算，如圖所示，作Rt△ABC，使∠C＝90°，直角邊AC＝BC＝1，斜邊AB=2．∠ABC＝45°，所以tan45°=AC（1）在此圖的基礎(chǔ)上，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，可求出tan22.5°的值．請簡要寫出你添加的輔助線，并求出tan22.5°的值；（2）仿照（1）求出tan15°的值．【分析】（1）延長CA到D，使DA＝AC，連接DB，如圖1，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝1，AB=2．∠ABC＝45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計算出∠D＝22.5°，然后在Rt△BDC中，根據(jù)正切的定義可求出tan22.5（2）Rt△ABC，∠C＝90°，AC=3，BC＝1，AB＝2，∠BAC＝30°，延長CA到D，使AD＝AB＝2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計算出∠D＝15°，然后在Rt△BDC中，根據(jù)正切的定義