2023年中考數(shù)學高頻考點訓練-二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系

2023年中考九年級數(shù)學高頻考點專題訓練一二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系

一、綜合題

1.拋物線y=-x?+(m-1)x+m與y軸交于(0,3)點.

(2)求它與x軸的交點和拋物線頂點的坐標；

(3)x取什么值時，拋物線在x軸上方？

(4)x取什么值時，y的值隨x值的增大而減??？

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題:

(3)b2-4ac0；

(4)y<0時，x的取值范圍是

3.設二次函數(shù)y=ax?+bx-3(a,b是常數(shù)，a/0),部分對應值如表:

X-2-1012???

y50-3-4-3

(1)試判斷該函數(shù)圖象的開口方向.

(2)當x=4時，求函數(shù)y的值.

(3)根據(jù)你的解題經驗，直接寫出ax2+bx-3<-3的解.

4.關于x的一元二次方程a/+bx+c=0(a>0)有兩個不相等且非零的實數(shù)根，探究a,b,c

滿足的條件.

小華根據(jù)學習函數(shù)的經驗，認為可以從二次函數(shù)的角度研究一元二次方程的根的符號。下面是小

華的探究過程：第一步：設一元二次方程a/+bx+c=0(a>0)對應的二次函數(shù)為y=a/+

bx+c(a>0)；

第二步：借助二次函數(shù)圖象，可以得到相應的一元二次方程中a,b,c滿足的條件，列表如下表。

對應的二次函數(shù)的大致圖

方程兩根的情況a.b.c滿足的條件

象

ra>0,

方程有兩個不相等的負實A=b2-4ac>0,

b

根二一說

Ic>0.

①_______(a>0,

tc<0.

方程有兩個不相等的正實

②_____________③___________

根

(1)請將表格中①②③補充完整;

(2)已知關于%的方程x2-(2/c-l)x+fc2-fc=0，若方程的兩根都是正數(shù)，求k的取值

范圍.

5.如圖是二次函數(shù)y=(x+m)2+k的圖象，其頂點坐標為"(1,-4),拋物線與x軸的交點為A、B(點A

在點B的左邊)

(1)寫出拋物線的解析式、開口方向、對稱軸；

(2)求出圖象與x軸的交點A、B的坐標；

(3)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P,使以物8=SAMA2?若存在，求出點P的坐標；若不存

在，請說明理由.

m2

6.已知y=(m+l)x+m是關于x的二次函數(shù)，且當x>0時，y隨x的增大而減小.求：

(Dm的值.

(2)求函數(shù)的最值.

7.在-2,」,0,1,2這五個數(shù)中任意取兩個數(shù)m,n,已知有二次函數(shù)y=(x—+n.

(1)先取m=l,則從余下的數(shù)中任意取n,求二次函數(shù)圖象與y軸交于負半軸的概率；

(2)任意取兩個數(shù)m,n,求二次函數(shù)y=(x-mY+n的頂點在坐標軸上的概率.

8.已知函數(shù)y=(巾一1)%加:+1+4%-5是二次函數(shù).

(1)求m的值；

(2)寫出這個二次函數(shù)的解析式及其圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

9.若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.

(1)請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)''的函數(shù)；

(2)已知關于x的二次函數(shù)y\=2x2-4mx+2m2+｝和yz=ax1+bx+5,其中yi的圖像經過點A(1,

1),若y+”與為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)"的表達式，并求出當

2―3時，”的最小值.

10.已知二次函數(shù)y=-2x2+bx+c圖象的頂點坐標為(3,8),該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸的交

點為A,M是這個二次函數(shù)圖象上的點，。是原點.

(1)不等式b+2c+8K)是否成立？請說明理由；

(2)設S是aAMO的面積，求滿足S=9的所有點M的坐標.

11.已知拋物線y=x2-2kx+3k+4.

(1)拋物線經過原點時，求k的值.

(2)頂點在x軸上時，求k的值；

(3)頂點在y軸上時，求k的值；

12.如圖，在同一平面直角坐標系中，二次函數(shù)丫=江+云+。與二次函數(shù)y=(a+3)/+S—15)x+

+18的圖象與x軸的交點分別是A,B,C.

(1)判斷圖中經過點8,D,C的圖象是哪一個二次函數(shù)的圖象？試說明理由.

(2)設兩個函數(shù)的圖象都經過點3、D,求點B,。的橫坐標.

(3)若點。是過點&D、C的函數(shù)圖象的頂點，縱坐標為一2,求這兩個函數(shù)的解析式.

13.在同一直角坐標系中，拋物線Ci：y=ax2-2x-3與拋物線C2：y=x2+mx+n關于y軸對稱，C2與

x軸交于A,B兩點，其中點A在點B的左根IJ.

(1)求拋物線Ci,C2的函數(shù)表達式；

(2)求A,B兩點的坐標；

(3)在拋物線Ci上是否存在一點P,在拋物線C2上是否存在一點Q,使得以AB為邊，且以

A,B,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P、Q兩點的坐標；若不存在，請說

明理由.

14.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點，與y軸交于A點.

(1)根據(jù)圖象確定a、b、c的符號，并說明理由；

(2)如果點A的坐標為(0,-3),Z.ABC=45°,Z.ACB=60°,求這個二次函數(shù)的解析

式.

15.已知關于X的一元二次方程-x2+(3-k)x+k-l=0,其中k為常數(shù).

(1)求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若函數(shù)y=-x2+(3-k)x+k-1的圖象不經過第二象限，求k的取值范圍.

16.已知y=(k+l)xk2-2是關于x的二次函數(shù).

(1)求滿足條件的k的值；

(2)k為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點.當x為何值時，y的值隨x值的增大而增

大？

(3)k為何值時，函數(shù)有最大值？最大值是多少？當x為何值時，y的值隨x值的增大而減?。?/p>

答案解析部分

L【答案】(1)解：由拋物線y=-x2+(m-1)x+m與y軸交于(0,3)得：m=3.

...拋物線為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.

列表得：

X-10123

y03430

圖象如下.

.,.拋物線與x軸的交點為(-1,0),(3,0).

,.,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4

???拋物線頂點坐標為(1,4).

(3)解：由圖象可知：

當-l<x<3時，拋物線在x軸上方

(4)解：由圖象可知：

當x>1時，y的值隨x值的增大而減小.

2.【答案】(1)>

(2)<

(3)>

(4)-2<x<4

3.【答案】(1)解：:圖象經過(0,-3),(2,-3),

.?.圖象對稱軸為直線x=竽=1，

由表格可得，x<l時，y隨x的增大而減小，

拋物線圖象開口向上

(2)解：：(-2,5)關于直線x=l的對稱點是(4,5),

；.x=4時，函數(shù)y的值為5

(3)解：?.?拋物線開口向上，且經過點(0,-3),(2,-3),

?,.當0<x<2時，ax2+bx-3<-3,

故ax2+bx-3<-3的解為0<x<2.

'a>0

A=b2-4ac>0

4.【答案】(1)方程有一個負實根|個正實根|bn

2a

、c>0

(2)解：方程的根的判別式為4=(2k-1)2-4(9—k)=4/c2-4/c+1-4fc2+4k=1>

0,則此方程有兩個不相等的實數(shù)根

_~~(2k-1)?(k>-

由題意，可利用③得：2—,解得2

.k2-k>0(k>l或fc<0

則方程組的解為k>1

故k的取值范圍是k>1

5.【答案】(1)?.?拋物線解析式為y=(x+m)2+k的頂點為M(1,-4)

.??y=(x-1)2-4,拋物線對稱軸是直線X=l.

Va=l>0,

.?.拋物線開口方向向上

(2)???拋物線解析式為y=(x-1)2-4,

令y=0,得(x-1)2-4=0,

解得Xl=3,X2=-L

，A(-1,0),B(3,0)

(3)PAB與△MAB同底，且SAPAB=SAMAB,

?e?\ypI=I'MI=4,GRyp=±4,

又..,點P在y=(x-1)24的圖象上，yp^-4,

.'.yp=4,則(x-1)2-4=4,

解得Xl=2V2+1,X2=-2V2+1,

存在合適的點P,坐標為(2代+1,4)或(一2魚+1,4).

6.【答案】(1)解：?.?￥=(m+1)+m是關于x的二次函數(shù)，

.,.m2=2,解得m=+V2,

?.?當x>0時，y隨x的增大而減小，

.*.m+l<0,m=-V2,m=V2(不符合題意，舍)；

(2)解由(1)可得拋物線解析式為y=(l-^/I)x2—魚所以當x=()時，函數(shù)有最大值，最大值為-

V2.

7.【答案】(1)解：在-2,-1,0,1,2這五個數(shù)中任意取兩個數(shù)m,n,已知有二次函數(shù)y=(x-m)2+

n.

二次函數(shù)圖象與y軸交于負半軸的概率P一；

4

一共有20種可能，二次函數(shù)y=(x-m)2+n的頂點在坐標軸上的有8種，

所以，P=|

8.【答案】(1)解：由y=(jn—l)xm2+1+4x—5是二次函數(shù)，得

m2+1=2且TH—1。0.解得m=-1

(2)解：當m=—1時，二次函數(shù)為y=—2/+4x-5,

"."a=-2V0，

二二次函數(shù)的圖象開口向下，

"."y=-2x2+4%—5=-2(x-l)2-3,

二對稱軸為直線x=l頂點坐標為(1,-3).

9.【答案】(1)解：由“同族二次函數(shù)的定義”可知：y=x2和y=2/是一對“同族二次函數(shù)”

(答案不唯一)；

(2)解：..31=2/-4耀》+262+1的圖象過點A(1,1),二2x/一4m+2血2+i=1,解

得：m=1,=2X2-4X+3=2(X-1)2+1,.?多的頂點坐標為(1,1),且曠1+當=

2

(a+2)x+(b-4)x+8,Vy1+y2與y1是“同族二次函數(shù)”，

二月+%的頂點坐標也為(1，1).

(a+2)+(b-4)+8=l

/Jb-41，解得：fJ=

1-2(H+2)=11b=-10

22

.*.y2=5x—lOx+5=5(x—l),

又YZWxW3在對稱軸x=1的右側，

???當x=2時，y2最小=5.

10.【答案】(1)解：由題意拋物線的頂點坐標(3,8),???拋物線的解析式為產-2(x-3)2+8=-

2x2+12x-10,Ab=12,c=-10,

Ab+2c+8=12-20+8=0,

???不等式b+2c+8>0成立.

(2)解：設M(m,n),

由題意得A(3,0)..,.1?3?|n|=9,

n=±6,

①當n=6時，6=-2m2+12m-10,

解得m=2或4,②當n=-6時，-6=-2m2+12m-10,解得m二3±夕，.?.滿足條件的點M的坐標

為(2,6)或(4,6)或(3+V7,-6)或(3-夕，-6).

11.【答案】(1)解：:拋物線y=x2-2kx+3k+4經過原點，把(0,0)代入得3k+4=0,

解得：k=-

(2)解：?.?拋物線y=x2-2kx+3k+4頂點在x軸上,

.*.b2-4ac=0,

(-2k)2-4xlx(3k+4)=0,

解得：k=4或k=-1

(3)解：...拋物線y=x2-2kx+3k+4頂點在y軸上，

-2k=0,

解得：k=0

12.【答案】(1)解：根據(jù)題意，由拋物線開口，一個開口向下，一個開口向上，???a+3>a,

，經過B、D、C的圖象是：y=(a+3)x2+(b-15)x+c+18的圖象.

⑵解：解方程組［y=f+bX+c,

(y=(a+3)x2+(b-15)x+c+18

整理得：x2—5x+6=0,

解得：xi=2,X2=3,

，點B,D的橫坐標分別為2,3；

(3)解：由題可知，點D坐標為(3,-2),設所求解析式為：y=a(x一3尸一2,把點B的坐標

(2,0)代入，則磯2-3尸一2=0,解得：a=2,：.y=2(%-3)2-2,

即y=2x2—12x+16；

.,.a+3=2,b—15=-12,c+18=16,/.a=-l,b=3,c=-2,

，左邊拋物線的解析式為：y=-x2+3x-2.

13.【答案】(1)解：????、C2關于y軸對稱,

...G與C2的交點一定在y軸上，且Ci與C2的形狀、大小均相同，

a=1,n=-3,

...Ci的對稱軸為x=L

，C2的對稱軸為X=-1,

m=2,

2

ACi的函數(shù)表示式為y=x2-2x-3,C2的函數(shù)表達式為y=x+2x-3

(2)解：在C2的函數(shù)表達式為y=x2+2x-3中，令y=0可得x?+2x-3=0,解得x=-3或x=l,

AA(-3,0),B(1,0)

(3)解：存在.

「AB的中點為(-1,0),且點P在拋物線Ci上，點Q在拋物線C2上，

AAB只能為平行四邊形的一邊，

；.PQ〃AB且PQ=AB,

由(2)可知AB=1-(-3)=4,

/.PQ=4,

設P(t,t2-2t-3),則Q(t+4,t2-2t-3)或(t-4,t2-2t-3),

①當Q(t+4,t2-2t-3)時，則t2-2t-3=(t+4)2+2(t+4)-3,解得t=-2,

At2-2t-3=4+4-3=5,

.'.P(-2,5),Q(2,5)；

②當Q(t-4,t2-2t-3)時，則t2-2t-3=(t-4)2+2(t-4)-3,解得t=2,

At2-2t-3=4-4-3=-3,

：.P(2,-3),Q(-2,-3),

綜上可知存在滿足條件的點P、Q,其坐標為P(-2,5),Q(2,5)或P(2,-3),Q(-2,

3).

14.【答案】(1)解：?.?拋物線開口向上

.,.a>0

?.?對稱軸在y軸的左側

z.-A<0

2a

Ab>0

???拋物線交y軸的負半軸

/.c<0

(2)解：連接AB、AC,如圖所示:

,/在