24.4弧長(zhǎng)和扇形面積

24.4弧長(zhǎng)和扇形面積考點(diǎn)一．弧長(zhǎng)公式半徑為R，圓心角為n°的弧長(zhǎng)為.考點(diǎn)二．扇形及扇形面積公式（1）由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫作扇形.（2）半徑為R，圓心角為n°的扇形面積為；半徑為R，扇形的弧長(zhǎng)為l的扇形面積為.考點(diǎn)三．圓錐與其側(cè)面展開圖圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的，我們把連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫作圓錐的母線．圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線，弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng).考點(diǎn)四．圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形.設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)（底面圓的周長(zhǎng)）為，因此圓錐的側(cè)面積為，圓錐的全面積為.題型一：弧長(zhǎng)公式求扇形的弧長(zhǎng)、半徑或圓心角1．（2023春·遼寧盤錦·九年級(jí)?？迹┤鐖D，在中，，，，以點(diǎn)C為圓心，的長(zhǎng)為徑畫弧，交干點(diǎn)D，則弧的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】如圖（見解析），先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得．【詳解】解：如圖，連接，∵在中，，，，，，由作圖可知，，是等邊三角形，，則弧的長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式，熟記弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）已知扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，則扇形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)求得半徑，然后由扇形的圓心角和半徑長(zhǎng)，直接根據(jù)扇形的面積公式求解．【詳解】解：∵扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，∴,∴,∴扇形的面積是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式，熟練掌握弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）圖1是等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以A為圓心，長(zhǎng)為半徑的扇形（圖形周長(zhǎng)保持不變），則所得扇形的圓心角的度數(shù)是（

）A．． B．． C．． D．．【答案】D【分析】根據(jù)題意的長(zhǎng)就是邊的長(zhǎng)，由弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】解：設(shè)，，，解得：，圓心角的度數(shù)為：故選：D．題型二：扇形面積公式4．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑的與，分別交于點(diǎn)D，E，連接，，若，，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．π【答案】A【分析】連接，，證明，可得，求解，再利用扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接，，∵為的直徑，∴，∵，∴，即點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心、2為半徑的與相切于點(diǎn)D，交于E，交于F，點(diǎn)P是上的一點(diǎn)，且，則圖中陰影部分的面積是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，由題意知，，，由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，由題意知，，，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積，圓周角定理．解題的關(guān)鍵在于正確的表示陰影部分的面積．6．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，是邊上的中線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，再利用是邊上的中線得到，，，則，易證得是等邊三角形，是等邊三角形重心，然后根據(jù)扇形面積公式，用一個(gè)扇形的面積減去的面積可得到圖中陰影部分的面積．【詳解】解：為等邊三角形，，，是邊上的中線，，，，，，是等邊三角形，于點(diǎn)，是的角平分線，，是是重心，，圖中陰影部分的面積．故選：A．題型三：圓錐的側(cè)面積和表面積7．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一個(gè)圓雉的母線長(zhǎng)為，底面圓的直徑為，那么這個(gè)圓雉的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式，即可求解．【詳解】解：依題意，圓錐的側(cè)面積為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了求圓錐的側(cè)面積，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為8的半圓，則該圓錐的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，半徑為8，運(yùn)用圓的面積公式計(jì)算即得圓錐的側(cè)面積．【詳解】∵圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為8的半圓，∴圓錐的側(cè)面積是，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的面積，熟練掌握?qǐng)A的面積公式是解題的關(guān)鍵．本題也可以求出側(cè)面展開圖弧長(zhǎng)，運(yùn)用“扇形的面積等于扇形半徑與弧長(zhǎng)乘積的一半”解答，方法不唯一．9．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，將這個(gè)三角形繞著最短的邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】繞著最短的邊即直角邊為3所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，底面半徑是4，高是3，母線為5，然后利用圓錐的側(cè)面積（為底面圓周長(zhǎng)）計(jì)算即可．【詳解】解：繞著最短的邊即直角邊為3所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，底面半徑是4，高是3，母線為5，∴側(cè)面積為：，故選：C題型四：求圓周側(cè)面展開后的圓心角或者最短路徑問(wèn)題10．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用一個(gè)圓心角為的扇形紙片圍成一個(gè)底面半徑為2，側(cè)面積為的圓錐體，則該扇形的圓心角得大小為（

）A．90° B．120° C．150° D．180°【答案】D【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，∴，∴，∵，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐側(cè)面展開圖的扇形圓心角度數(shù)，熟知圓錐側(cè)面積公式和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）今年9月23日是第五個(gè)中國(guó)農(nóng)民豐收節(jié)，小明用3D打印機(jī)制作了一個(gè)底面周長(zhǎng)為12cm，高為8cm的圓柱糧倉(cāng)模型．如圖是底面直徑，是高．現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼一圈彩色裝飾帶，使裝飾帶經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)（接頭不計(jì)），則裝飾帶的長(zhǎng)度最短為（

）A． B．48cm C． D．20cm【答案】D【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點(diǎn)解題．【詳解】解：如圖，圓柱的側(cè)面展開圖為長(zhǎng)方形，，且點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∵，，∴裝飾帶的長(zhǎng)度，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開?最短路線問(wèn)題，以及學(xué)生的立體思維能力．解題關(guān)鍵是圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)方形．12．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圓錐的底面半徑R＝3，母線l＝5dm，AB為底面直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，∠COB＝150°，D為VB上一點(diǎn)，VD＝．現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表面從點(diǎn)C爬到D．則螞蟻爬行的最短路程是（）A．3 B．4 C． D．2【答案】B【分析】易得弧BC的長(zhǎng)，然后求得弧BC所對(duì)的圓心角的度數(shù)，從而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖:∵，∴設(shè)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為n，∴，解得，∴，∴．故選：B．題型五：求圖像旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的面積問(wèn)題13．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，已知，則線段掃過(guò)的圖形面積為（

）A． B． C． D．上答案都不對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)割補(bǔ)法可知陰影部分的面積即為扇形和扇形的差，然后根據(jù)扇形面積公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，則陰影部分的面積即為扇形和扇形的差，∴線段掃過(guò)的圖形面積為；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積公式及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握扇形的面積公式及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·湖北恩施·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是等腰直角三角形，，，把繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到，則線段在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的部分（陰影部分）的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，則點(diǎn)、C、A共線，利用線段在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)部分（陰影部分）的面積進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，∴，，∵繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到，∴，∴點(diǎn)B′、C、A共線，∴線段在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)部分（陰影部分）的面積．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算：陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．15．（2022·寧夏吳忠·?？家荒＃┤鐖D，在中，已知，把以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至邊延長(zhǎng)線上的處，那么邊轉(zhuǎn)過(guò)的圖形（圖中陰影部分）面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得與全等，從而得到陰影部分的面積＝扇形的面積?小扇形的面積．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，，∵，，，∴，∴，故D正確．故選：D．題型六：求弓形面積16．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知內(nèi)接于，為直徑，的平分線交于點(diǎn)D，連接，若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，求得，得到，因?yàn)?，根?jù)，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：連接，∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、扇形的面積公式、三角形的面積公式、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想求圖形面積等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（2023·云南昭通·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，弦與垂直，垂足為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，首先證明是等邊三角形，證明，求出即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接．∵，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題．18．（2023秋·河北廊坊·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC內(nèi)接于⊙O，若，⊙O的半徑r=4，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理，扇形面積公式和三角形面積公式解答．【詳解】解：∵，∴，∴陰影部分的面積．故選：C．題型七：弧長(zhǎng)和扇形面積綜合19．（2023秋·廣西南寧·九年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，以的邊為直徑作交邊于點(diǎn)D，恰有．(1)求證：與相切；(2)在上取點(diǎn)E，使得，若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓心角等于，可得，再利用，可得，即可證明；（2）連接，直線與的交點(diǎn)記為，證明為等邊三角形，求出，證明，則可得與的面積相等，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可解答．【詳解】（1）證明：為直徑，，，，，即，與相切；（2）解：如圖，連接，直線與的交點(diǎn)記為，，，，，，，，，，，為等邊三角形，根據(jù)三線合一，可得，，陰影部分面積等于扇形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，扇形的面積計(jì)算，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線，得到與的面積相等是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知為的直徑，C為上一點(diǎn)，D為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，E為上一點(diǎn)，若，且，求證：與相切；(2)如圖2，與相交于點(diǎn)F，若，，，求、、弧圍成的圖形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由，得，而，則，即可證明與相切；（2）連接，則，由，，得，，則是等邊三角形，可證明，所以，由勾股定理得，則，，而，即可求得、、弧圍成的圖形的面積．【詳解】（1）證明：如圖1，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵是的半徑，且，∴與相切；（2）解：如圖2，連接，則，∵，∴，∵，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)、、弧圍成的圖形的面積為S，∵，∴，∴、、弧圍成的圖形的面積為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、切線的判定、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、三角形的面積公式、扇形的面積公式等知識(shí)，此題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．21．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段和扇形，連接、、．(1)若，求陰影部分的面積；（結(jié)果保留根號(hào)和）(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用扇形面積公式和三角形面積公式求得即可；（2）由證可得，證為等邊三角形，則，繼而得出答案．【詳解】（1）解：，，是等邊三角形，，；（2）是等邊三角形，，，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，，，在和中，，，，，，為等邊三角形，，．一、單選題22．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)清華附中?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，．若的半徑為5，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，進(jìn)而得出，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】解：連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，三角形的內(nèi)角和為，弧長(zhǎng)．23．（2023秋·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若圓錐的底面半徑長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面扇形弧長(zhǎng)等于底面圓周長(zhǎng)，結(jié)合即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，∴，故選：B；【點(diǎn)睛】本題考查圓錐展開圖側(cè)面扇形弧長(zhǎng)等于底面圓周長(zhǎng)及扇形面積，解題的關(guān)鍵熟練掌握．24．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)：“青年一代有理想、有本領(lǐng)、有擔(dān)當(dāng)，國(guó)家就有前途，民族就有希望”．如圖①是一塊弘揚(yáng)“新時(shí)代青年勵(lì)志奮斗”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖②所示，它是以O(shè)為圓心，，長(zhǎng)分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)扇形面積公式，求出大扇形和小扇形的面積，最后根據(jù)即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得：∵，，，∴，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形面積，解題的關(guān)鍵是掌握扇形面積公式．25．（2023春·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，D是邊上的一點(diǎn)，以為直徑的交邊于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】B【分析】連接，根據(jù)，，得，再根據(jù)圓周角定理得，即可求出答案．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴的長(zhǎng)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算和圓周角定理，熟練記住弧長(zhǎng)公式：（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）是關(guān)鍵．26．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖①，已知圓錐的母線長(zhǎng)，若以頂點(diǎn)為中心，將此圓錐按圖②放置在平面上逆時(shí)針滾動(dòng)3圈后所形成的扇形的圓心角．(1)求圓錐的底面半徑；(2)求圓錐的全面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓錐底面圓周長(zhǎng)的3倍＝扇形的弧長(zhǎng)，構(gòu)建方程求解即可．（2）根據(jù)表面積＝底面積＋側(cè)面積，計(jì)算即可．【詳解】（1）由題意得：，∴cm．（2）圓錐的全面積．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．27．（2023春·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，半圓的直徑，圓心為點(diǎn)．點(diǎn)在上，四邊形是平行四邊形，頂點(diǎn)在半圓上．，垂足為，．(1)求證：是的切線；(2)求的長(zhǎng)及圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，得到四邊形是矩形，求得，于是得到結(jié)論；（2）由（1）知，四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：連接，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是矩形，，是的半徑，是的切線；（2）由（1）知，四邊形是矩形，，，，，圖中陰影部分的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形面積的計(jì)算，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．28．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，是的直徑，弦的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得為的平分線，再根據(jù)與相切于點(diǎn)，是的直徑得，進(jìn)而根據(jù)切線的判定可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先證得到，進(jìn)而得到，再證得到，然而在中利用三角函數(shù)可求出，進(jìn)而得為等邊三角形，據(jù)此得，，則，最后得到弧長(zhǎng)公式即可得到答案．【詳解】（1）證明：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，為的平分線，與相切于點(diǎn)，是的直徑，為的半徑，，又，，即為的半徑，是的切線；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)為的圓心，，在和中，，，，，，，，是的中點(diǎn)，，又，，，，在和中，，，，在中，，，，，，又，為等邊三角形，，，．一、單選題29．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由所對(duì)的圓周角，可求得所對(duì)的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：，又，由弧長(zhǎng)公式得的長(zhǎng)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了求弧的長(zhǎng)度，熟練掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．30．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知扇形的圓心角小于90度，如果將這個(gè)扇形的圓心角度數(shù)擴(kuò)大為原來(lái)的兩倍，半徑也擴(kuò)大為原來(lái)的兩倍，那么下列說(shuō)法正確的是（）A．扇形的周長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的4倍 B．弧長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的4倍C．扇形的面積擴(kuò)大為原來(lái)的4倍 D．弧長(zhǎng)和扇形的面積都擴(kuò)大為原來(lái)的4倍【答案】B【分析】根據(jù)題意可以分別表示出原來(lái)和后來(lái)扇形的面積或周長(zhǎng)，從而可以計(jì)算出這個(gè)扇形的面積或周長(zhǎng)擴(kuò)大的倍數(shù)．【詳解】解∶設(shè)原來(lái)扇形的圓心角為n，半徑為r，則原來(lái)扇形的面積為∶；弧長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，后來(lái)扇形的面積為∶，弧長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，∴，，扇形的面積擴(kuò)大為原來(lái)的8倍，弧長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，周長(zhǎng)沒有擴(kuò)大4倍，故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用扇形的面積計(jì)算公式解答．31．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，D為的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，若于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，，得，又D為的中點(diǎn)，有，根據(jù)，，，得到四邊形是矩形，從而可得，，然后得到，即得陰影部分的周長(zhǎng)．【詳解】解：在中，，，∴，∵D為的中點(diǎn)，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，，，∵，∴陰影部分的周長(zhǎng)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查陰影周長(zhǎng)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式，證明四邊形是矩形．32．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，將直徑為4的半圓形分別沿，折疊使得直徑兩端點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都與圓心重合，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，可推出是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，進(jìn)一步可得，即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：由折疊可知：∵∴是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形∴∴∴也是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形∵∴∵∴∴∵∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了圓中不規(guī)則圖形面積的求解．得出是解題關(guān)鍵．33．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，將沿翻折得到的弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，連接，若，則圖中陰影部分的面積為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和圖形，可知陰影部分的面積扇形的面積，然后根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，計(jì)算出的面積即可．【詳解】解：連接，作于點(diǎn)D，根據(jù)對(duì)稱性可知，弓形與弓形面積相等，∴陰影部分的面積的面積，根據(jù)垂徑定理，∴∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴的面積是的面積一半，∴的面積是：，即陰影部分的面積是，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查求不規(guī)則圖形的面積、垂徑定理、翻折變換，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．34．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是半直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，交于G，若，的半徑為2，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，由切線的性質(zhì)得出，求出，由弧長(zhǎng)公式可得出答案．【詳解】解：連接，∵與相切于點(diǎn)D，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．35．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)為半上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是弧上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若直徑，在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)可知點(diǎn)軌跡是以為直徑圓上的弧，求出的長(zhǎng)以及圓心角，即可求解．【詳解】解：連接，，以的長(zhǎng)為半徑，的中點(diǎn)為圓心畫圓，點(diǎn)為半圓上的三等分點(diǎn)，連接，，如圖：∵點(diǎn)為半上的三等分點(diǎn)，∴，故，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，，即，∴，故點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是，且，在中，，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，勾股定理，弧長(zhǎng)公式，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理，能夠根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．二、填空題36．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，求圓錐的高是．【答案】【分析】構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可求出圓錐的高．【詳解】解：如圖所示，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的高，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．37．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，D為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】連接，證明是直徑，取的中點(diǎn)O，連接．證明，利用弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：連接，∵是等邊三角形，D為的中點(diǎn)，∴，∴是直徑，取的中點(diǎn)O，連接．∵是等邊三角形，∴，∵，∴都是等邊三角形，∴，∴，∴的長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．38．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知的斜邊．以A為圓心，為半徑的圓A與相切．設(shè)被圓覆蓋后剩余部分面積為．則的最大值為．【答案】【分析】由題意列出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，是圓A的切線，切點(diǎn)為D，則，由題意得，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．39．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在內(nèi)有一個(gè)平行四邊形，點(diǎn)，，在圓上，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)不重合，的半徑為，則陰影部分面積為．【答案】/【分析】根據(jù)題意證得，即可得到，根據(jù)同底等高的三角形面積相等得出，即可得出．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的判斷和性質(zhì)，同底等高的三角形面積相等是解題的關(guān)鍵．40．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)首次落在斜邊上，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為.【答案】【分析】首先證明是等邊三角形，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：在中，∵，，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，∴是等邊三角形，∴，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，含直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形．三、解答題41．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，內(nèi)接于半圓O，已知AB是半圓O的直徑．，平分，分別交半圓O和于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)H，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接交于點(diǎn)G，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于得到，再根據(jù)垂直定義得到及角平分線即可得到即可解答；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及等邊對(duì)等角即可得到再利用垂直平分線的定義及等邊三角形的判定即可得到是等邊三角形，最后利用弧長(zhǎng)公式即可解答．【詳解】（1）證明：∵是半圓O的直徑，∴，∴，∵平分,∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴,∴∵∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴垂直平分，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴的長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心、角平分線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．42．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等腰三角形的頂角，和底邊相切于點(diǎn)，并與兩腰，分別相交于，兩點(diǎn)，連接，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，從而可得和都是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得，即可解答；（2）連接交于點(diǎn)，利用菱形的性質(zhì)可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）證明：連接，和底邊相切于點(diǎn)，，，，，，，和都是等邊三角形，，，，四邊形是菱形；（2）解：連接交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，在中，，，