湖南省邵陽市重點中學2023-2024學年高一上學期基礎知識競賽數(shù)學試題（含答案）

下學期高一數(shù)學競賽姓名：___________班級：___________學號：___________一、單選題（4分一個，共8題）1．設集合，，則（

）A．B．C． D．2．已知a，b＞0，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．不充分不必要條件3．已知，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．84．函數(shù)的圖像的大致形狀是（

）A． B．C． D．5．設，則（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若f(x)滿足，則f（6）＝（

）A．－6 B．0 C．6 D．127．定義在上的函數(shù)f(x)滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，，，若任給，存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍為（

）.A． B．C． D．二、多選題（4分一個，共3題，部分寫對得2分，選錯得0分）9．已知a，b均為正實數(shù)，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為10．已知函數(shù)的定義域均為R，，且當時，，則（

）A．B．C．函數(shù)在上單調遞減D．方程有且只有1個實根11．定義“正對數(shù)”：，下列命題中正確的有（

）A．若，，則；B．若，，則；C．若，，則；D．若，，則.三、填空題（4分一個，共4題）12．若正實數(shù)，滿足，，則的值為.13．已知函數(shù)在是奇函數(shù)，且在為增函數(shù)，，則不等式的解集是.14．已知函數(shù)（且），若，是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是．15．若函數(shù)和在區(qū)間上的單調性相同，則把區(qū)間叫做的“穩(wěn)定區(qū)間”.已知區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題（16題8分，17題8分，18題12分，19題12分）16．（1）；（2）．17．已知集合(1)若，求實數(shù)的取值范圍.(2)命題q：“，使得”是真命題，求實數(shù)m的取值范圍.18．若二次函數(shù)滿足，且.(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(3)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．已知是定義在上的奇函數(shù)．(1)求的值；(2)若函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象通過平移得到，求函數(shù)的值域．(3)若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域為，求的取值范圍．參考答案1．C【分析】根據(jù)補集的定義結合集合的描述法理解運算.【詳解】設集合，可得：，且，故.故選：C.2．B【分析】分充分性和必要性分別討論：充分性：取特殊值判斷；必要性：利用基本不等式進行證明.【詳解】充分性：取，滿足，但是，不滿足.故充分性不滿足；必要性：.故必要性滿足.故“”是“”的必要非充分條件．故選：B3．C【分析】，根據(jù)結合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：，因為，又，所以，則，當且僅當，即時，取等號，即的最小值是7.故選：C4．D【分析】化簡函數(shù)解析式，利用指數(shù)函數(shù)的性質判斷函數(shù)的單調性，即可得出答案.【詳解】根據(jù)，是減函數(shù)，是增函數(shù).在上單調遞減，在上單調遞增故選：D.【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)表達式求函數(shù)圖象，解題關鍵是掌握指數(shù)函數(shù)圖象的特征，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.5．A【分析】由指數(shù)與對數(shù)的互化，再結合換底公式以及對數(shù)的運算性質可求得結果.【詳解】因為，則，，則，，所以，.故選：A.6．D【分析】將變形為，令，則是奇函數(shù)，再結合，利用奇函數(shù)的性質計算即可.【詳解】，令，則，所以是奇函數(shù)，，所以，又，所以.故選：D7．B【分析】構造新函數(shù)，根據(jù)題意得出函數(shù)在內單調遞減；把不等式轉化為，結合單調性和定義域即可求解.【詳解】不妨設任意的，，因為，則，所以，所以在內單調遞減.不等式等價于，又，所以等價于，因為在內單調遞減，所以，即不等式的解集為.故選：B.8．D【分析】求出在，上的值域，利用的性質得出在，上的值域，再求出在，上的值域，根據(jù)題意得出兩值域的包含關系，從而解出的范圍【詳解】解：當時，，可得在，上單調遞減，在上單調遞增，在，上的值域為，，在上的值域為，，在上的值域為，，，，在上的值域為，，當時，為增函數(shù)，在，上的值域為，，，解得；當時，為減函數(shù)，在，上的值域為，，，解得；當時，為常數(shù)函數(shù)，值域為，不符合題意；綜上，的范圍是或．故選：．【點睛】本題考查了分段函數(shù)的值域計算，集合的包含關系，對于不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．9．ACD【分析】對于A，利用基本不等式即可解得；對于B，結合代換即可用基本不等式解決；對于C，消元變?yōu)榻o定范圍內二次函數(shù)最值問題；對于D，結合代換即可用基本不等式解決.【詳解】對于A，因為a，b均為正實數(shù)，且，所以，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，當且僅當即時，等號成立，故B錯誤；對于C，，當時，的最小值為，故C正確；對于D，，當且僅當即時，等號成立，故D正確.故選：ACD.10．ACD【分析】由題設中的三個關系式可得、、、，再利用賦值法可判斷AB的正確，最后再結合時可得的圖象，從而可判斷CD的正誤.【詳解】對AB，由可得，故，所以，所以，故B錯誤.故，故，故為周期函數(shù)，且周期為，而可得，故，令可得，所以，故A正確；對C，由可得故，即，由可得，即，故為奇函數(shù)且為周期函數(shù)且周期為.根據(jù)上述性質可得的圖象如下，故在上單調遞減，所以C正確；對D，又即為，此方程即為的解.結合的圖象可得該方程只有1個解即為，所以D正確．故選：ACD．11．BCD【解析】對于A，通過舉反例說明錯誤；對于B，由“正對數(shù)”的定義分別對、分，；，兩種情況進行推理；對于CD，分別從四種情況，即當，時；當，時；當，時；當，時進行推理．【詳解】對于A，當，時，滿足，，而，，，命題A錯誤；對于B，當，時，有，從而，，；當，時，有，從而，，.當，時，，命題B正確；對于C，由“正對數(shù)”的定義知，且．當，時，，而，則；當，時，有，，而，，則．當，時，有，，而，則．當，時，，則．當，時，，命題C正確；對于D，由“正對數(shù)”的定義知，當時，有.當，時，有，從而，，；當，時，有，從而，，；當，時，有，從而，，；當，時，，，，，從而，命題D正確．故選：BCD．【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用，考查新定義，解答的關鍵是對“正對數(shù)”定義的理解與應用，考查運算能力和邏輯推理能力，屬于難題．12．20【分析】利用對數(shù)的性質可得，故可求的值.【詳解】因為，所以.故答案為：20.13．【分析】由題意可得，，在為增函數(shù)，討論，或，，解不等式即可得到所求解集．【詳解】奇函數(shù)在為增函數(shù)，且(－5)，可得，且，在為增函數(shù)，則由可得，(5)，解得；或，，解得．綜上可得所求解集為，，．故答案為：.14．或【分析】對進行分類討論，由函數(shù)的單調性、分離參數(shù)法、存在量詞命題的真假性等知識求得正確答案.【詳解】因為，若，由于單調遞減，則在R上單調遞增；若，由于單調遞增，則在R上單調遞減，又，故，因為，是假命題，故，恒成立為真命題，即不等式對恒成立，當時，，即在恒成立，設，即在恒成立．由于對勾函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，因為，因此；當時，，即在恒成立，當時，函數(shù)有最小值，即，又因為，故．綜上可知：或．故答案為：或【點睛】方法點睛：存在量詞命題是假命題，則其否定是真命題.當命題正面求解困難時，可利用命題的否定來進行求解.含參數(shù)的不等式恒成立問題，可以利用分離常數(shù)法進行求解，分離參數(shù)時，要注意不等式的符號.15．【分析】根據(jù)題意分同增或同減，結合指數(shù)函數(shù)的性質運算求解.【詳解】因為，則，由題意得與在區(qū)間上同增或同減.若兩函數(shù)同增，則在區(qū)間上恒成立，可得，解得；若兩函數(shù)同減，則在區(qū)間上恒成立，可得，無解；綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16．（1）；（2）【分析】（1）直接計算得到答案.（2）直接計算得到答案.【詳解】（1）；（2）.17．(1)(2)【分析】（1）考慮的情況，然后求解出的范圍，最后根據(jù)對應范圍在實數(shù)集下的補集求解出結果；（2）根據(jù)條件先分析出，然后考慮的情況，由此求解出符合條件的的取值范圍.【詳解】（1）當時，，若，滿足，則，解得；若，因為，所以，所以，所以時，的取值范圍是，所以時，的取值范圍是.（2）因為“，使得”是真命題，所以，當時，若，成立，此時，解得；若，則有或，解得，所以時，的取值范圍是或，所以命題為真命題時的取值范圍是.18．(1)；(2)；(3).【分析】（1）設二次函數(shù)解析式，根據(jù)已知，應用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）由（1）得，結合其圖象，討論、、求對應最大值表達式；（3）討論、、，對于、分別轉化為、恒成立，求參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）設，因為，所以.因為，所以，即.因為，所以，得對任意恒成立，所以.由，得，所以.（2）由題知，由的圖象知，當時，由可得.①當時，；②當時，；③當時，.綜上，（3）由題意得對任意恒成立，①當時，成立，此時；②當時，恒成立，，當且僅當，即時等號成立，，即；③當時，恒成立，，又，當且僅當，即時等號成立，，即.綜上，實數(shù)的取值范圍為.19．(1)；(2)；(3).【分析】（1）由題意得，化簡可求出的值；（2）對兩函數(shù)變形得，，再根據(jù)的圖象可以由函數(shù)的圖象通過平移得到，可得，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質可求出的值域；（3）令，由其在上遞增，結合題意可得，則將問題轉化為關于的方程有兩個不相等的正實根，從而可求出的取值范圍．【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以，得，所以，，得；（2）由（1）得，，因為函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象通過平移得到，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以