2024屆一輪復習人教A版 平面解析幾何 作業(yè)

2024屆一輪復習人教A版平面解析幾何作業(yè)一、選擇題1．（2023·北京高考真題）已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】設圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當且僅當在線段上時取得等號，故選：A.2．（2023·湖北襄陽高三期末）將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（）A．對任意的，B．當時，；當時，C．對任意的，D．當時，；當時，【答案】D【解析】依題意，，，因為，由于，，，所以當時，，，，，所以；當時，，，而，所以，所以．所以當時，；當時，．3.（2023·四川南充高三聯(lián)考）已知是拋物線的焦點，點，在該拋物線上且位于軸的兩側，（其中為坐標原點），則與面積之和的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】據(jù)題意得，設，則，或，因為位于軸兩側所以.所以兩面積之和為.4.（2019·北京高考）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個結論：①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結論的序號是A．① B．② C．①② D．①②③【答案】C【解析】由得,,,所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六個整點,結論①正確.由得,,解得,所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過.結論②正確.如圖所示,易知,四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法③錯誤.故選C.5.（多選題）（2023·全國高三單元測）已知為坐標原點，，是拋物線：上的一點，為其焦點，若與雙曲線的右焦點重合，則下列說法正確的有（）A．若，則點的橫坐標為4B．該拋物線的準線被雙曲線所截得的線段長度為C．若外接圓與拋物線的準線相切，則該圓面積為D．周長的最小值為【答案】ACD【解析】因為雙曲線的方程為，所以，，則，因為拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，所以，即，選項A：若，則點的橫坐標為，所以選項A正確；選項B：因為拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，所以拋物線的準線被雙曲線所截得的線段長度為，所以選項B錯誤；選項C：因為、，所以外接圓的圓心的橫坐標為1，又因為外接圓與拋物線的準線相切，所以圓心到準線的距離等于圓心到焦點的距離等于半徑，所以圓心在拋物線上且到準線的距離為3，所以，所以該外接圓面積為，所以選項C正確；選項D：因為的周長為，所以選項D正確.故選：ACD6．（多選題）（2023·江蘇南京高三期末）泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交會的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交會，卻在轉瞬間無處尋覓．已知點，直線l：，若某直線上存在點P，使得點P到點M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結論正確的是（）A．點P的軌跡曲線是一條線段B．點P的軌跡與直線：是沒有交會的軌跡即兩個軌跡沒有交點C．不是“最遠距離直線”D．是“最遠距離直線”【答案】BCD【解析】由題意可得，點P到點M的距離比到直線l的距離小1，即等價于“點P到點M的距離等于到直線：的距離”故P點軌跡是以為焦點，直線：為準線的拋物線，其方程是，故A錯誤點P的軌跡方程是拋物線，它與直線沒交點，即兩者是沒有交會的軌跡，故B正確要滿足“最遠距離直線”則必須滿足與上述拋物線有交點，把代入拋物線，消去y并整理得因為，無解，所以不是“最遠距離直線”，故C正確；把代入拋物線，消去y并整理得，因為，有解，所以是“最遠距離直線”，故D正確．故選：BCD．二、填空題7．（2023·四川南充高三期末）設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是．【答案】5【解析】易得.設，則消去得：，所以點P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因為兩直線的斜率互為負倒數(shù)，所以，點P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.8．（2023·福建莆田一中高三月考）橢圓的左、右焦點分別為焦距為，若直線與橢圓的一個交點滿足則該橢圓的離心率等于.【答案】【解析】注意到直線過點即為左焦點，又斜率為，所以傾斜角為，即.又故，那么.，，.9.（2023·大連24中高三月考）設拋物線的焦點為，點在上，，若以為直徑的圓過點（0,2），則的方程為.【答案】或【解析】∵拋物線方程為,∴焦點，設,由拋物線性質,可得，因為圓心是的中點,所以根據(jù)中點坐標公式可得,圓心橫坐標為，由已知圓半徑也為,據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(0,2)，故圓心縱坐標為2，則M點縱坐標為4，即,代入拋物線方程得，所以p=2或p=8.所以拋物線C的方程為或.10．（2023·山西師大附中高三月考）設為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且,則直線的斜率的最大值為.【答案】【解析】設，由題意，顯然時不符合題意，故，則，可得：，當且僅當時取等號，三、解答題11.（2023·遼寧盤錦高三聯(lián)考）在直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）若點A在第一象限，證明：當k>0時，恒有||>||．【解析】（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．3分（Ⅱ）設，其坐標滿足，消去y并整理得，故．若，即．而，于是，化簡得，所以．（Ⅲ）．因為A在第一象限，故．由知，從而．又，故，即在題設條件下，恒有．12.（2023·全國高考）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.【解析】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓