《線性代數(shù)》教案完整版教案整本書全書電子教案

1、 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第一章 行列式 1.1二階、三階行列式 1.2 n階行列式教學目的要求： 使學生掌握二、三階行列式的定義及計算方法；理解逆序數(shù)的定義及計算方法教學重點、難點： 二、三階行列式的定義及計算方法；逆序數(shù)的計算方法教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 導入（10分鐘）本章主要內(nèi)容和知識點 新授課內(nèi)容（75分鐘）二、三階行列式的定義一、二階行列式的定義 從二元方程組的解的公式,引出二階行列式的概念。設(shè)二元線性方程組 用消元法,當 時,

2、解得 令 ,稱為二階行列式 ,則 如果將D中第一列的元素, 換成常數(shù)項, ,則可得到另一個行列式,用字母表示,于是有按二階行列式的定義,它等于兩項的代數(shù)和：,這就是公式（2）中的表達式的分子。同理將中第二列的元素a 12,a 22 換成常數(shù)項b1,b2 ,可得到另一個行列式,用字母表示,于是有 按二階行列式的定義,它等于兩項的代數(shù)和：,這就是公式（2）中的表達式的分子。于是二元方程組的解的公式又可寫為 其中解線性方程組 同樣,在解三元一次方程組時,要用到“三階行列式”,這里可采用如下的定義.二、三階行列式的定義 設(shè)三元線性方程組用消元法解得 定義 設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表 記 ,稱為三階行

3、列式,則 三階行列式所表示的6項的代數(shù)和,也用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素相乘取正號,從右上角到左下角三個元素取負號,即例2. 計算三階行列式 .(-14)例3. 解線性方程組 解 先計算系數(shù)行列式 再計算 ,得 , 全排列及其逆序數(shù)引例：用1、2、3三個數(shù)字,可以組成多少個沒有重復的三位數(shù)？一、全排列 把n個不同的元素排成一列,叫做這個元素的全排列（簡稱排列）.可將個不同元素按進行編號,則個不同元素的全排列可看成這個自然數(shù)的全排列.個不同元素的全排列共有種. 二、逆序及逆序數(shù) 逆序的定義：取一個排列為標準排列,其它排列中某兩個元素的次序與標準排列中這兩個元素的次序相反時,則稱有

4、一個逆序.通常取從小到大的排列為標準排列,即的全排列中取為標準排列. 逆序數(shù)的定義：一個排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù). 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列,標準排列規(guī)定為偶排列. 例1: 討論的全排列. 全排列123231312132213321逆序數(shù)022113奇偶性偶奇逆序數(shù)的計算：設(shè)為的一個全排列,則其逆序數(shù)為 .其中為排在 前,且比大的數(shù)的個數(shù). 定理1 任意一個排列經(jīng)過一個對換后奇偶性改變。定理2 n個數(shù)碼（n1）共有n！個n級排列，其中奇偶排列各占一半?？偨Y(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時

5、教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第一章 行列式 1.2 階行列式的定義(續(xù))教學目的要求： 掌握階行列式的定義教學重點、難點： 階行列式的定義，特殊行列式的計算公式教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）回顧二階,三階行列式的共同特點. 二階行列式 .其中： 是 的全排列,是的逆序數(shù),是對所有的全排列求和. 三階行列式 其中:是的全排列,是的逆序數(shù),是對所有的全排列求和. 其中: 是的全排列,是的逆序數(shù), 是對所有的全排列求和. 板書給出階行列式語言定義和計算定義： 舉

6、例進行練習階行列式的等價定義為： 階行列式的等價定義為： 特殊公式1： , 特殊公式2：下三角行列式.總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目：第一章 行列式 1.3 行列式的性質(zhì)教學目的要求： 掌握階行列式的性質(zhì)，會利用階行列式的性質(zhì)計算階行列式的值；教學重點、難點： 行列式的性質(zhì)教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）轉(zhuǎn)置行列式的定義 記 = ()行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式（依次將行換

7、成列）一、階行列式的性質(zhì)性質(zhì) 1： 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.由此知，行與列具有同等地位.關(guān)于行的性質(zhì)，對列也同樣成立，反之亦然.如: 以r表示第i行，表示第j列.交換兩行記為,交換i,j兩列記作.性質(zhì) 2：行列式互換兩行（列），行列式變號. 推論： 行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零. 性質(zhì) 3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù) ,等于用數(shù)乘以該行列式. 推論1： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號外. 推論2： 行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則此行列式為零. 性質(zhì) 4： 若行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和. 即若 則

8、 +.性質(zhì) 5： 把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)再加到另一行（列）上，則該行列式不變. 二、階行列式的計算：例1. 計算.解： .例2. . (推廣至階，總結(jié)一般方法)例3. 證明：.證明： 左端.例4. 計算階行列式.(利用遞推法計算)例5. ， 則 .總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第一章 行列式 1.4 行列式按行（列）展開教學目的要求： 了解余子式和代數(shù)余子式的概念；掌握行列式按行（列）展開；教學重點、難點： 行列式按行（列）展開教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程

9、：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）定義 在階行列式中，把元素所處的第行、第列劃去，剩下的元素按原排列構(gòu)成的階行列式，稱為的余子式，記為；而稱為的代數(shù)余子式. 引理 如果階行列式中的第行除外其余元素均為零，即： .則：. 定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 按行： 按列： 舉例講解并練習范德蒙行列式.其中，記號“”表示全體同類因子的乘積.定理的推論 行列式一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)各元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，即 按列： 結(jié)合定理及推論，得 ，其中總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)

10、：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第一章 行列式 1.5 克萊姆法則教學目的要求： 了解克拉默法則的內(nèi)容,了解克拉默法則的證明,會利用克拉默法則求解含有個未知數(shù)個方程的線性方程組的解；教學重點、難點： 克拉默法則的應(yīng)用教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）研究對象：含有個未知數(shù)的個方程的線性方程組 （1）與二、三元線性方程組相類似,它的解可以用階行列式表示.定理1（Cramer法則）如果線性方程組(1)的系數(shù)行

11、列式不等于零,即,則方程組(1)有且僅有一組解：, (2)其中是把系數(shù)行列式中的第列的元素用方程組右端的常數(shù)列代替,而其余列不變所得到的階行列式.當全為零時,即 稱之為齊次線性方程組.顯然,齊次線性方程組必定有解(）.根據(jù)克拉默法則,有 1齊次線性方程組的系數(shù)行列式時,則它只有零解（沒有非零解） 2反之,齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式. 例1求解線性方程組解:系數(shù)行列式同樣可以計算 , , 所以 ,.注意： 1. 克萊姆法則的條件：個未知數(shù),個方程,且2. 用克萊姆法則求解方程組運算量大一般不采用它求解方程組。3. 克萊姆法則具有重要的理論意義。4. 克萊姆法則說明線性方程組的解與它

12、的系數(shù)、常數(shù)項之間的依存關(guān)系.例2. 用克拉默法則解方程組例3. 已知齊次線性方程組有非零解,問應(yīng)取何值？解 系數(shù)行列式由：,得總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第二章 矩陣 2.1 矩陣的概念 2.2 矩陣的運算 2.3 階矩陣（方陣），方陣的行列式教學目的要求： 了解矩陣的概念；掌握矩陣的運算教學重點、難點： 矩陣的概念和矩陣的運算教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 導入（10分鐘）本章主要內(nèi)容和知識點 新授課

13、內(nèi)容（75分鐘）一、矩陣的定義 稱行、列的數(shù)表 為矩陣，或簡稱為矩陣；表示為或簡記為,或或；其中表示中第行，第列的元素。 其中行列式為按行列式的運算規(guī)則所得到的一個數(shù)；而矩陣是 個數(shù)的整體,不對這些數(shù)作運算。 例如，公司的統(tǒng)計報表,學生成績登記表等,都可寫出相應(yīng)的矩陣。設(shè)，都是 矩陣，當 則稱矩陣與相等,記成。二、特殊形式 階方陣： 矩陣 行矩陣 ：矩陣（以后又可叫做行向量），記為列矩陣 ：矩陣（以后又可叫做列向量），記為 零矩陣 ：所有元素為的矩陣,記為 矩陣的運算一、加法 設(shè)，,都是矩陣,則加法定義為 顯然, ， 二、數(shù)乘 設(shè)是數(shù),是矩陣,則數(shù)乘定義為 顯然 ， ， 三、乘法 設(shè) ，,則乘

14、法定義為 其中 注：兩個矩陣相乘要求前一個矩陣的列數(shù)等于后一個矩陣的行數(shù)；乘積矩陣的行數(shù)為前一個矩陣的行數(shù),列數(shù)為后一個矩陣的列數(shù)；乘積矩陣的第行，第列元素為前一個矩陣的第行元素與后一個矩陣的第行元素對應(yīng)相乘再相加。 例：設(shè) , ，則 例:設(shè)，求及。解： ，由此發(fā)現(xiàn)：（1），（不滿足交換律） （2），但卻有。一個必須注意的問題 ： 1若，, ,則 成立,當 時, 不成立； 2即使，,則 是階方陣,而是階方陣；3. 如果 , 都是階方陣,例如，則 ，而 綜上所述,一般 （即矩陣乘法不滿足交換率）。 下列性質(zhì)顯然成立： ，,幾個運算結(jié)果： 1 . ；2. ；3 .若為矩陣,是階單位陣,則;若是階單

15、位陣,則；4線性方程組的矩陣表示： ,則 矩陣的冪:.四、轉(zhuǎn)置 設(shè) ，記則稱是的轉(zhuǎn)置矩陣。 顯然， ， ， ， 。 五、方陣的行列式 為階方陣，其元素構(gòu)成的階行列式稱為方陣的行列式,記為或。 結(jié)論 ， ， 。總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目：第二章 矩陣 2.4 幾種特殊的矩陣教學目的要求： 掌握幾個階特殊矩陣的定義和性質(zhì)教學重點、難點： 三角形矩陣和對稱矩陣的相關(guān)定義和結(jié)論教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（

16、5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）對角陣 ：對角線元素為,其余元素為的方陣，記為 結(jié)論：同階對角陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階對角矩陣數(shù)量矩陣：結(jié)論：同階數(shù)量陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階數(shù)量矩陣單位陣 ：對角線元素為1，其余元素為0的方陣，記為 三角形矩陣：上三角形矩陣下三角形矩陣同階同型三角陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階同型三角矩陣對稱矩陣:若矩陣滿足（即）,則稱是對稱陣 結(jié)論：設(shè)是矩陣,則是階對稱陣,是階對稱陣.結(jié)論：數(shù)乘對稱矩陣及同階對稱矩陣之和仍為對稱矩陣，但是對稱矩陣的乘積未必對稱。兩個同階對稱矩陣，當且僅當二者可交換時，乘積才是對稱矩陣?？偨Y(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù)

17、教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目：第二章 矩陣 2.5分塊矩陣教學目的要求： 掌握矩陣分塊的運算和相關(guān)性質(zhì)教學重點、難點： 矩陣分塊的運算教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）引例：設(shè) 可按以下方式分塊，每塊均為小矩陣： ， ，, 則。矩陣分塊法是用若干條橫線和若干條豎線將矩陣分割成幾個小矩陣。矩陣分塊法的運算及運算性質(zhì)： 1加法： 設(shè)， 則.2數(shù)乘： 設(shè) ，是數(shù)，則 . 3乘法： 設(shè) ，則 其中， 4轉(zhuǎn)置： 設(shè)，則5對角分塊的性質(zhì)：

18、設(shè) ，其中均為方陣，則 。幾個矩陣分塊的應(yīng)用：1矩陣按行分塊： 設(shè)，記 , 則 矩陣按列分塊： 記 則 。 2線性方程組的表示： 設(shè) 若記 ， 則線性方程組可表示為 。總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第二章 矩陣 2.6 逆矩陣教學目的要求： 掌握逆矩陣、伴隨矩陣的定義和性質(zhì)；能夠利用公式計算逆矩陣教學重點、難點： 逆矩陣概念和計算教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）一、逆矩陣

19、定義 設(shè)為階方陣,若存在一個階方陣，使得,則稱方陣可逆,并稱方陣為的逆矩陣,記作， 若,則性質(zhì)1 若存在,則必唯一.性質(zhì)2 若可逆，則也可逆，且性質(zhì)3 若可逆,則可逆,且性質(zhì)4 若同階方陣、都可逆，則也可逆，且 二、逆陣存在的條件及逆陣的求法定義. 由的行列式中元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的階方陣,記作,即 稱為的伴隨矩陣.定理 方陣可逆 且 推論 設(shè)為階方陣,若存在階方陣,使得，(或)，則。 注：求時，只需要驗算，計算量減半。 例. 判斷下列方陣,是否可逆? 若可逆，求其逆陣。解：，所以不可逆，可逆，并且三、用逆矩陣法解線性方程組例：解線性方程組解：其矩陣式為 因 , 所以 所以其解為 四、分塊矩陣

20、的逆矩陣 結(jié)論：若 可逆，則結(jié)論： 設(shè)，為可逆方陣,則。 總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)：線性代數(shù) 教 案 編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第二章 矩陣 2.7 矩陣的初等變換教學目的要求： 了解矩陣的三種初等變換，熟悉初等矩陣的定義，掌握矩陣初等變換與對應(yīng)初等矩陣運算上的關(guān)系，能夠?qū)⒔o定的矩陣利用初等變換化簡成階梯形，標準形；掌握利用初等變換求逆矩陣的方法教學重點、難點： 矩陣的初等變換，利用初等變換求逆矩陣教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書在本章的2.6節(jié)中給出了矩陣可逆的充分必要條件，并同時給出了求逆矩陣的一種方法伴隨矩陣法

21、但是利用伴隨矩陣法求逆矩陣，當矩陣的階數(shù)較高時計算量是很大的這一節(jié)將介紹求逆矩陣的另一種方法初等變換法為此我們先介紹初等矩陣的概念，并建立矩陣的初等變換與矩陣乘法的聯(lián)系一、初等變換1) 交換矩陣的某兩行的位置；2) 用一個非零的數(shù)去乘矩陣的某一行；3) 用一個數(shù)乘某一行后加到另一行上這三種變換稱為矩陣的初等行變換類似地，有1 交換矩陣的某兩列的位置；2) 用一個非零的數(shù)去乘矩陣的某一列；3) 用一個數(shù)乘某一列后加到另一列上1) ，2) ，3)稱為矩陣的初等列變換矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換定義1 由單位矩陣I經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣顯然，初等矩陣都是方陣

22、，并且每個初等變換都有一個與之相應(yīng)的初等矩陣互換矩陣I的第i行(列)與第j行(列)的位置，得I(i，j)= 用非零數(shù)c乘I的第i行(列)，得I(i(c)=(3)將I的第j行的k倍加到第i行上，得I(i，j(k)=該矩陣也是I的第i列的k倍加到第j列所得的初等矩陣顯然，上述三種初等矩陣就是全部的初等矩陣初等矩陣具有下列性質(zhì)：初等矩陣都是可逆的這是因為|I(i，j)|=10|I(i(c)|=c0|I(i ， j(k)|=10初等矩陣的逆矩陣仍是同類型的初等矩陣，且有I(i，j)1=I(i，j)I(i(c)1=I(i()I(i，j(k) 1=I(i，j(k)引入初等矩陣后，使得矩陣的初等變換可用初等

23、矩陣與該矩陣的乘積來實現(xiàn)定理1 對一個mn矩陣A施行一次初等行變換就相當于對A左乘一個相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換就相當于對A右乘一個相應(yīng)的n階初等矩陣這說明：把A的第j行的k倍加到第i行上就相當于在A的左邊乘上一個相應(yīng)的初等矩陣I(i， j(k)其它兩種初等行變換可類似證明二、利用初等變換求矩陣的逆利用矩陣的初等變換，可以把任一矩陣化為最簡單的形式定理2 任意一個mn矩陣A經(jīng)過一系列初等變換，總可以化成形如=的矩陣，D稱為矩陣A的等價標準形補充矩陣行階梯形的定義并講授如何利用初等行變換化簡矩陣為行階梯形根據(jù)定理1，對于一個矩陣A作初等行(列)變換就相當于用相應(yīng)的初等矩陣去左(右

24、)乘這個矩陣因此，矩陣與它的標準形 D有如下關(guān)系：D=PsP2P1AQ1Q2Qt (1)其中P1，P2，Ps和Q1，Q2，Qt是初等矩陣由于初等矩陣都是可逆的，所以(1)式又可寫成：A=P11P21 Ps1DQt1 Q21Q11 (2)推論 n階方陣A可逆的充分必要條件是A的標準形為單位矩陣I定理3 n階方陣A可逆的充分必要條件是A可以表示成一些初等矩陣的乘積即 A=Q1Q2 Qm (3)這里Q1，Q2， Qm為初等矩陣推論 若n階方陣A可逆，則總可以經(jīng)過一系列初等行變換將A化成單位矩陣以上的討論提供了一個求逆矩陣的方法，設(shè)A為一個n階可逆矩陣，由上述推論，存在一系列初等矩陣P1，P2，Pm，

25、使得PmP2P1A=I (5)由(5)式右乘A1得 A1=PmP2P1I (6)(5)(6)兩個式子說明，如果用一系列初等行變換將可逆矩陣A化成單位矩陣，那么同樣地用這一系列初等行變換就可將單位矩陣I化成A1于是得到了一個求逆矩陣的方法：作n2n矩陣(AI)，對此矩陣作初等行變換，使左邊子塊A化為I，同時右邊子塊I就化成了A1簡示為：(AI) (IA1)總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第二章 矩陣 2.8矩陣的秩教學目的要求： 掌握矩陣秩的定義,會求矩陣的秩.教學重點、難點： 求矩陣的秩教

26、學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）定義1.在矩陣中任取行列,位于這些行列交叉處的個元素,不改變它們在中所處的位置次序而得到的階行列式,稱為矩陣的階子式.矩陣A的k階子式共個.定義2 如果在矩陣中有一個不等于零的階子式 ，且所有的階子式都等于, 則稱 D為的一個最高階非零子式.數(shù) 稱為矩陣的秩，矩陣的秩記成. 零矩陣的秩規(guī)定為0 . 注解: 1.規(guī)定零矩陣的秩規(guī)定為0. 2.若稱為滿秩矩陣. 3.若稱為降秩矩陣. 4. 問題：經(jīng)過初等變換矩陣的秩變嗎？ 定理 若則.初等變換求矩陣秩

27、的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.矩陣的秩的性質(zhì)(1).(2).;(3).若則(4).若可逆,則.(5).(6).(7).(8).若則求秩方法：用初等變換把矩陣化成行階梯形矩陣，矩陣的秩 = 此行階梯形矩陣的秩（據(jù)定理1 ）行階梯形矩陣的秩 = 其非零行的行數(shù)（定義2）滿秩陣總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第三章 線性方程組 3.1線性方程組的消元解法教學目的要求： 掌握線性方程組消元與增廣矩陣初等行變換化簡階梯形的關(guān)系，掌握一般線性方程

28、組解的判別定理；教學重點、難點： 利用初等變換求線性方程組的解教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 導入（10分鐘）本章主要內(nèi)容和知識點 新授課內(nèi)容（75分鐘）消元法解二元、三元線性方程組時曾用過加減消元法，實際上這個方法比用行列式求解更具有普遍性，是解一般n元線性方程組的最有效的方法通過例子介紹如何用消元法解一般的線性方程組 消元方法具有一般性，即無論方程組只有一個解或有無窮個解還是沒有解，都可用消元法將其化為一個階梯形方程組，從而判斷出它是否有解分析一下消元法，不難看出，它實際上是反復地對方程組進行變換，而所作的變

29、換，也只是由以下三種基本的變換所構(gòu)成：1.交換方程組中某兩個方程的位置；2.用一個非零數(shù)乘某一個方程；3.用一個數(shù)乘某一個方程后加到另一個方程上這三種變換稱為線性方程組的初等變換用消元法解線性方程組的過程就是對線性方程組反復地實行初等變換的過程考慮線性方程組(I)方程組(I)的全部解稱為(I)的解集合如果兩個方程組有相同的解集合，就稱它們是同解的或等價的方程組下面來說明，如何利用初等變換來解一般的線性方程組對于方程組(I)，首先檢查x1的系數(shù)如果x1的系數(shù)a11， a21， ， am1全為零，那么方程組(I)對x1沒有任何限制，x1就可以任意取值，而方程組(I)可看作x2， ， xn的方程組來

30、解如果x1的系數(shù)不全為零，不妨設(shè)a110不等于零，否則可利用初等變換1，交換第一個方程與另一個方程的位置，使得第一個方程中x1的系數(shù)不為零然后利用初等變換3，分別把第一個方程的倍加到第i個(i=2，3， m)方程，于是方程組(I)變成 ()其中 顯然方程組()與()是同解的對方程組()再按上面的考慮進行變換，并且這樣一步一步做下去，必要時改變未知量的次序，最后就得到一個階梯形方程組為了討論方便，不妨設(shè)所得到的階梯形方程組為()其中cii0， i=1，2，r方程組()中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影響方程組的解我們知道，(I)與()是同解的，根據(jù)上面的分析，方程組()是否有解就取決

31、于第r+1個方程0 = dr+1是否矛盾，于是方程組(I)有解的充分必要條件為dr+1= 0在方程組有解時，分兩種情形：1) 當r=n時，階梯形方程組為()其中cii0， i=1，2， n由克萊姆法則()有唯一解，從而(I)有唯一解()其中cii0， i=1，2，r方程組()中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影響方程組的解2) 當 rn時，這時階梯形方程組為其中 cii0， i=1，2， r， 寫成如下形式()由克萊姆法則，當xr+1，xn任意取定一組值，就唯一確定出x1，xr值，也就是定出方程組()的一個解，一般地，由()可以把x1，x2，xr的值由xr+1，xn表示出來這樣表示出

32、來的解稱為方程組(I)的一般解，因xr+1，xn可以任意取值，故稱它們?yōu)樽杂晌粗匡@然，()有無窮多個解，即(I)有無窮多個解定理：非齊次線性方程組，方程組無解充分必要條件是)方程組有唯一解的充分必要條件是)方程組有無窮多組解的充分必要條件是),且在任 一解中含有個任意常數(shù) . 用消元法解線性方程組的過程，歸納起來就是，首先用初等變換把方程組化為階梯形方程組，若最后出現(xiàn)一些等式“0 = 0”，則將其去掉如果剩下的方程當中最后一個方程是零等于一個非零的數(shù)，那么方程組無解，否則有解方程組有解時，如果階梯形方程組中方程的個數(shù)等于未知量的個數(shù)，則方程組有唯一解；如果階梯形方程組中方程個數(shù)小于未知量的個

33、數(shù)，則方程組有無窮多個解當線性方程組(1)中的常數(shù)項b1= b2= bm= 0時，即()稱為齊次線性方程組顯然，齊次線性方程組是一定有解的因為x1= x2= xn=0就是它的一個解這個解稱為齊次方程組的零解我們所關(guān)心的是它除了零解之外，還有沒有非零解？把上述對非齊次線性方程組討論的結(jié)果應(yīng)用到齊次線性方程組，就有如下定理定理 在齊次線性方程組()中，如果mn時，任意m個n維向量都線性相關(guān)即 當向量組中所含向量個數(shù)大于向量的維數(shù)時，此向量組線性相關(guān)定理2 向量組1，2，m(m2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個向量可由其余m1個向量線性表出推論 向量組1，2，m(m2)線性無關(guān)的充分必要條件

34、是其中每一個向量都不能由其余m1個向量線性表出定理3 若向量組1，2，m線性無關(guān)，而向量組，1，2，m線性相關(guān)，則可由1，2，m線性表出，且表達式唯一 定理4 若向量組中有一部分向量組(稱為部分組)線性相關(guān)，則整個向量組線性相關(guān)例如，含有兩個成比例的向量的向量組是線性相關(guān)的因為兩個成比例的向量是線性相關(guān)的，由定理5知該向量組線性相關(guān)推論 若向量組線性無關(guān)，則它的任意一個部分組線性無關(guān)如，n維單位向量組1，2，n線性無關(guān)，因此它的任意一個部分組線性無關(guān)定理5 如果n維向量組1，2，s線性無關(guān)，則在每個向量上都添加m個分量，所得到的n+m維向量組1*，2*，s*也線性無關(guān) 推論 如果n維向量組1，

35、2，s線性相關(guān)，則在每一個向量上都去掉m(mn)個分量，所得的nm維向量組1*，2*，s*也線性相關(guān)定理6 設(shè)有兩個向量組（A）及 （B）向量組（B）可由向量組（A）線性表示，如果，則向量組（B）線性相關(guān)推論向量組（A）與向量組（B）等價，如果向量組（A）（B）都是線性無關(guān)的，則 總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第三章 線性方程組 3.4 向量組的秩教學目的要求： 掌握極大無關(guān)組與向量組的秩的概念，能求給定向量組的極大無關(guān)組及秩教學重點、難點： 向量組的極大無關(guān)組及秩教學方式、手段、媒介：

36、講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）一、向量組的極大無關(guān)組定義1 設(shè)有向量組1，2，m，如果它的一個部分組i1，i2，ir，滿足：(1)i1，i2，ir線性無關(guān)；(2)向量組1，2，m中的任意一個向量都可由部分組i1，i2，ir線性表出則稱部分組i1，i2，ir是向量組1，2，m的一個極大線性無關(guān)組，簡稱為極大無關(guān)組從定義可看出，一個線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組就是這個向量組本身顯然，僅有零向量組成的向量組沒有極大無關(guān)組為了更深入地討論向量組的極大無關(guān)組的性質(zhì)，我們先來討論兩個向量組之間的關(guān)系極大線性無

37、關(guān)組有下列性質(zhì)：性質(zhì)1 向量組1，2，m與它的極大無關(guān)組i1，i2，ir等價推論 向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價性質(zhì)2 向量組的任意兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)相同定理1 矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也等于它的行量組的秩.定理2 對一個矩陣進行初等行變換，不改變對應(yīng)列向量組之間的線性關(guān)系。二、向量組的秩由于一個向量組的所有極大無關(guān)組含有相同個數(shù)的向量，這說明極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)反映了向量組本身的性質(zhì)因此，我們引進如下概念：定義2 向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為該向量組的秩，記作r(1，2，m)規(guī)定零向量組成的向量組的秩為零n維基本單位向量組1， 2， n是線性無關(guān)的，它的極大無關(guān)

38、組就是它本身，因此，r(1， 2， n)=n定理3 向量組線性無關(guān)的充分必要條件是：它的秩等于它所含向量的個數(shù)定理4 相互等價的向量組的秩相等定理4的逆定理并不成立即兩個向量組的秩相等時，它們未必是等價的例如向量組1=(1，0，0，0)，2=(0，1，0，0)與向量組1=(0，0，1，0)，2=(0，0，0，1)有r(1，2)=r(1， 2)=2，而這兩個向量組顯然不是等價的定理5 如果兩個向量組的秩相等且其中一個向量組可由另一個線性表出，則這兩個向量組等價 總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目：

39、第三章 線性方程組 3.5 線性方程組解的結(jié)構(gòu)教學目的要求： 掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)和基礎(chǔ)解系的概念；會求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；教學重點、難點： 求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解；教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）一、齊次方程組的解的性質(zhì)：設(shè)有元齊次線性方程組 若是 的解，記稱為方程組 的解向量.性質(zhì) 1 若為（1）的兩個解（向量），則也是（1）的解. 性質(zhì) 2 若為（1）的解（向量），為任意實數(shù)，則也是（1）的解. 如果的全體解向量所組成的集合稱為齊次方程組

40、的通解. 定義：具體說，如果是的一組解向量，且滿足1 向量組線性無關(guān)；2 齊次方程組的每個解都可由線性表示；那么稱為齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系. 如果是齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系，那么的所有解都可表為 其中為任意實數(shù),稱上式為齊次方程組的通解.定理 1 元齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系含個解，其中.證明 設(shè)，用初等行變換化系數(shù)矩陣為行最簡形矩陣,不妨令為 于是得到與同解的方程組：對自由未知量分別取值 代入的右端依次可得： 于是得到的個解: 下面證明解向量組是的一個基礎(chǔ)解系，從而它們也是的一個基礎(chǔ)解系.首先，線性無關(guān).其次證明的任意解都可由線性表示.設(shè)是的一個解.根據(jù)齊次方程組解的性質(zhì)可知，向量也是的一

41、個解，由于與的后面的個分量對應(yīng)相等，因此即可由線性表示. 這就證明了,是方程組（3），從而也是齊次方程組（1）的一個基礎(chǔ)解系， 所以， 的基礎(chǔ)解系含個解.例 1. 求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解: 對系數(shù)矩陣作初等行變換,將其變?yōu)樾凶詈喰尉仃?得于是得同解方程組令 可得即得基礎(chǔ)解系：并得方程組的通解 總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第三章 線性方程組 3.5 線性方程組解的結(jié)構(gòu)（續(xù)）教學目的要求：掌握非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)并會求解非齊次線性方程組；教學重點、難點： 求解非齊次線性

42、方程組的通解；教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）一、非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)下面討論當非齊次線性方程組有無窮多解時，解的結(jié)構(gòu)問題設(shè)非齊次線性方程組為(2)當它的常數(shù)項都等于零時，就得到前面介紹過的齊次線性方程組(1)，即(1)方程組(1)稱為方程組(2)的導出組非齊次線性方程組(2)的解與其導出組(1)的解之間有如下關(guān)系：性質(zhì)1 非齊次線性方程組(2)的任意兩個解的差是它的導出組(1)的一個解性質(zhì) 非齊次線性方程組(2)的一個解與它的導出組(1)的一個解的和是非齊次線性方程組

43、(2)的一個解由性質(zhì)1、性質(zhì)可得定理 設(shè)0是非齊次線性方程組(2)的一個解，是導出組(1)的全部解，則=0+是非齊次線性方程組的全部解由此定理可知，如果非齊次線性方程組有解，則只需求出它的一個解(特解) 0，并求出其導出組的基礎(chǔ)解系1， 2， nr，則非齊次線性方程組的全部解可表示為0=0k11+ k22+ knrnr 其中k1，k2，knr為任意數(shù)如果非齊次線性方程組的導出組僅有零解，則該非齊次線性方程組只有唯一解，如果其導出組有無窮多解，則它也有無窮多解二、非齊次線性方程組的通解例 求方程組的全部解解：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換所以原方程組的一般解為其中x3 ， x4為自由未知量讓自

44、由未知量取值，得方程組的一個解原方程組的導出組的一般解為其中x3 ， x4為自由未知量讓自由未知量取值， 即得導出組的基礎(chǔ)解系，因此所給方程組的全部解為 =+k1+k2其中k1，k2為任意常數(shù)總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第四章 矩陣的特征值 4.1 矩陣的特征值與特征向量教學目的要求： 掌握特征值與特征向量的概念，計算特征值與特征向量的方法教學重點、難點： 計算特征值與特征向量的方法教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)

45、思維等） 導入（10分鐘）本章主要內(nèi)容和知識點 新授課內(nèi)容（75分鐘） 一、特征值與特征向量相關(guān)概念定義 設(shè)是階矩陣，如果有和維非零列向量使得那么數(shù)稱為方陣的特征值，非零向量稱為的對于特征值的特征向量.行列式是的次多項式，稱為方陣的特征多項式.方程稱為 階矩陣的特征方程. (1)式也可寫成 于是，矩陣的特征值是它的特征方程的根，的特征向量是齊次線性方程組的非零解.求階方陣的特征值與特征向量的方法：1 求出矩陣的特征多項式, 即計算行列式2 特征方程的解（根）就是的特征值.3 解齊次線性方程組，它的非零解都是特征值的特征向量.舉例并介紹一些特殊矩陣的相應(yīng)結(jié)果.二、特征值與特征向量的基本性質(zhì) 定理

46、 1 n階矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值. 定理2設(shè)n階矩陣，如果(1) 或(2) 有一個成立，則矩陣的所有特征值的模()小于1.定理3 設(shè)是方陣的特征值，依次是與之對應(yīng)的特征向量,如果各不相等，那么線性無關(guān).定理4 設(shè)n階矩陣的全部特征值為（其中可能有重根、復根），則即的所有特征值之和等于的主對角線元素之和，所有特征值之積等于的行列式?？偨Y(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目：第四章 矩陣的特征值 4.2 相似矩陣與矩陣對角化教學目的要求： 掌握相似矩陣的概念、主要性質(zhì)及矩陣與對角矩陣相似的條件教

47、學重點、難點： 矩陣與對角矩陣相似的條件教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘） 一、相似矩陣及其性質(zhì)定義 設(shè)都是階矩陣，若有可逆矩陣，使，則稱矩陣與相似，可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣.相似矩陣有相同的行列式與相同的秩.定理1 若階矩陣與相似，則與的特征多項式相同, 從而與的特征值也相同.推論 若階矩陣與對角陣相似，則即為的個特征值.二、階矩陣與對角矩陣相似的條件定理2 階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是: 有個線性無關(guān)的特征向量.推論 如果階矩陣有個互不相同的特征值，則與以特

48、征值為主對角線元素的對角矩陣相似定理3 階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是對于每一個重特征根，矩陣的秩是.三、關(guān)于約當形矩陣的概念 簡單介紹約當形矩陣的概念和一些定理.總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第四章 矩陣的特征值 4.3 實對稱矩陣的特征值和特征向量教學目的要求： 了 掌握向量內(nèi)積、正交向量組、正交矩陣等概念，熟悉對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，掌握利用正交變換將對稱矩陣化為對角矩陣的方法；教學重點、難點： 利用正交變換將對稱矩陣化為對角矩陣教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體

49、、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）一、向量的內(nèi)積定義 1 設(shè)有維向量令稱為向量與的內(nèi)積. .講授內(nèi)積基本性質(zhì) 定義 2 非負實數(shù)稱為維向量的長度（范數(shù)）.向量的長度具有性質(zhì)：1.2.3.長為 1 的向量稱為單位向量. 若向量,則是單位向量.例1.都是3維單位向量.二、正交向量組定義1如果，那么稱向量與正交.定義2一組兩兩正交的非零向量組稱為正交向量組: 例2.試求一個非零向量與向量都正交.解：設(shè)所求的向量為那么它應(yīng)滿足由得，取向量即為所求.定理 1 正交向量組必線性無關(guān).例3. 向量組線性無關(guān)，但不為正交向量組.

50、向量組為單位正交向量組，當且僅當設(shè)向量組線性無關(guān)，則必有單位正交向量組與等價.正交化：取單位化：于是，是單位正交向量組，且與等價.例4. 把向量組規(guī)范正交化.解： 正交化：??； 再單位化：取 即為所求.例5. 已知，求向量使為正交向量組.解：因為向量都與向量正交，所以對齊次方程組，取它的一個基礎(chǔ)解系再把正交化即為所求. 也就是取向量組是所求正交向量組.三、正交矩陣定義3 如果階矩陣滿足，那么稱為正交矩陣.例 6. 都是正交矩陣.設(shè)階矩陣,其中是的列向量組. 為正交矩陣，即是亦記由此可見，為正交矩陣的充分必要條件是的列（行）向量組是單位正交向量組.補充：變量與變量之間的關(guān)系式叫做從變量到變量的線

51、性變換. 線性變換的系數(shù)構(gòu)成矩陣 于是線性變換（）就可以記為 定義 5 若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換.正交變換具有下列性質(zhì)：(1)正交變換保持兩向量內(nèi)積不變;(2)正交變換保持向量的長度不變(保距性);(3)正交變換保持向量的夾角不變(保角性);(4)正交變換把標準正交基仍變?yōu)闃藴收换?四、實對稱矩陣的特征值和特征向量定理 實對稱矩陣的特征值為實數(shù).定理 實對稱矩陣的對應(yīng)于不同特征值的特征向量是正交的。 定理 設(shè)為階對稱矩陣，則必有正交矩陣,使，是以的個特征值為對角元素的對角矩陣.為對角矩陣解: 的特征多項式當時，由于是得正交矩陣 且使得總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)：

52、線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 1 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第四章 矩陣的特征值 4.4 矩陣級數(shù)的收斂性教學目的要求： 了解向量序列與矩陣序列的極限及相關(guān)定理教學重點、難點： 矩陣序列的極限與相關(guān)定理教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 復習（5分鐘） 新授課內(nèi)容（35分鐘） 一、向量序列與矩陣序列的極限概念 1.介紹向量序列的極限定義 2.介紹矩陣序列的極限定義 3.介紹向量無窮級數(shù)收斂的定義，以及向量無窮級數(shù)和的定義 4.介紹矩陣無窮級數(shù)收斂的定義，以及矩陣無窮級數(shù)和的定義 二、關(guān)

53、于矩陣序列的極限的幾個定理 定理1 階矩陣的次冪的充分必要條件是的一切特征值的模小于1.即. 定理 2設(shè)n階矩陣，如果 或 ，則 定理3 方陣級數(shù)收斂的充分必要條件是且有，其中 三、應(yīng)用舉例投入產(chǎn)出平衡方程組解的討論 簡單介紹投入產(chǎn)出數(shù)學模型的理論基礎(chǔ)-即投入產(chǎn)出模型中，利用之前的定理，回答對于已知的，方程是否有非負解，矩陣是否可逆等問題?？偨Y(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學總結(jié)： 線性代數(shù) 教 案編 號： 課時安排： 2 學時教學課型：理論課 實驗課 習題課 其它題目： 第五章 二次型 5.1 二次型與對稱矩陣教學目的要求： 掌握二次型、二次型的標準形、合同等概念教學重點、難點： 二次型，二次型的標準形，合同矩陣教學方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書教學過程：（含復習上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發(fā)思維等） 導入（10分鐘）本章主要內(nèi)容和知識點 新授課內(nèi)容（75分鐘）一、二次型的概念定義1 含有 個變量的二次齊次函數(shù) =稱為二次型.1矩陣表示：于是(1)式可寫成對二次型(1),記則二次型(1)又表示為 其