內蒙古赤峰市紅山區(qū)赤峰第四中學2023-2024學年高二上學期12月月考試數(shù)學試題

赤峰四中2023-2024學年第一學期月考試卷高二數(shù)學一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1.與直線平行且過點的直線方程是（）A. B. C. D.2.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.3.已知圓，圓，則與的位置關系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.無法判斷4.雙曲線的一個頂點為，焦點到漸近線的距離為，則雙曲線方程是（）A. B. C. D.5.橢圓與直線交于，兩點，點為線段的中點，則直線的方程是（）A. B. C. D.6.三棱錐，平面，，且，則三棱錐的外接球表面積是（）A. B. C. D.7.若橢圓上存在三點，使得這三點與橢圓中心恰好是一個正方形的四個頂點，則橢圓離心率（）A. B. C. D.8.已知點，分別是雙曲線的左右焦點，為坐標原點，點在雙曲線右支上，且滿足，，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.若直線與圓有公共點，則實數(shù)的取值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.310.方程，則下列說法正確的是（）A.當時，方程表示橢圓B.當時，方程表示焦點在軸上的雙曲線C.當時，方程表示圓D.當或時，方程表示雙曲線11.已知正方體，且棱長為1，下列結論中正確的是（）A.直線與直線所成角為90°B.直線垂直于平面C.點到平面的距離為D.為的中點，則點到直線的距離為112.已知直線與拋物線交于，兩點，為坐標原點，直線，的斜率分別為和，則下列敘述正確的是（）A.是定值 B.是定值C.是定值 D.是定值三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.兩直線，若的傾斜角是30°，則的斜率是___________.14.設拋物線的焦點為，經過點的直線與拋物線相交于，兩點，又知點恰好為的中點，則_____________.15.已知橢圓的兩個焦點分別為，，為橢圓上一點，且，則橢圓的方程為__________，若在第一象限且，則的面積為___________.16.已知橢圓過點，為其左頂點，且的斜率為，若為橢圓上任意一點，求的面積的最大值____________.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（10分）在中，（1）求角的大小；（2）若，求周長的最大值.18.（12分）已知點，點，動點的滿足.（1）若點的軌跡為曲線，求此曲線的方程；（2）過點向曲線做切線，求切線方程.19.（12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，、、分別是、、的中點.（1）證明：平面.（2）求二面角的正弦值.20.（12分）已知雙曲線過點，且與橢圓有相同的焦點.（1）求雙曲線的標準方程（2）若點在雙曲線上，，為雙曲線的左右焦點，且，試判斷的形狀.21.（12分）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內接正三角形，為上一點..（1）證明：平面（2）求直線與平面所成角的正弦值.22.已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸，軸，且過，兩點.（1）求的方程；（2）設過點的直線交于，兩點，過且平行于軸的直線與線段交于點，點滿足證明：直線過定點.

赤峰四中2023-2024學年第一學期第二次月考答案一、單項選擇題：1.C2.D3.A4.B5.B6.A7.C8.D二、多項選擇題：9.ABCD10.BCD11.AB12.ABD三、填空題：13. 14.8 15. 16.18四、解答題：17.（1）120° （2）解析：（1）由正弦定理和已知條件得.①由余弦定理得.②由①②得.因為，所以.（2）由正弦定理及（1）得，從而，.故.又，所以當時，周長取得最大值.18.（1） （2）或19.解：（1）證明：如圖，連接，.因為，分別為，的中點，所以，且.又因為為的中點，所以.由題設知，可得，故，因此四邊形為平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）由已知可得，以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，.設為平面的法向量，則，所以，可取.設為平面的法向量，則，所以，可取.于是，，所以二面角的正弦值為.20.解：（1）橢圓的標準方程為，焦點在軸上，且，故設雙曲線的方程為（，），則有，解得，所以雙曲線的標準方程為.（2）不妨設點在雙曲線的右支上，則有，又，故解得，.又，因此在中，邊最長，因為,所以為鈍角，故為鈍角三角形.21.解：（1）設，由題設可得，，，.因此，從而.又，故.又，，平面，所以平面.（2）以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題設可得，，，.所以，.設是平面的法向量，則，即可取.由（1）知是平面的一個法向量，直線與平面所成角的正弦值為.22.（1）過，所以可設橢圓的方程為，