原子物理與量子力學(xué)課件：電磁場中粒子的運(yùn)動

原子物理與量子力學(xué)第7章電磁場中粒子的運(yùn)動§7.1電磁場中荷電粒子的運(yùn)動電磁場中荷電粒子運(yùn)動的薛定諤方程考慮質(zhì)量為m，荷電q的粒子在電磁場中的運(yùn)動。在經(jīng)典力學(xué)中，其哈密頓量為其中，分別是電磁矢勢和標(biāo)勢，稱為正則動量。哈密頓量代入正則方程即可得出荷電q的粒子在電磁場中的牛頓方程。其中：電場強(qiáng)度為磁感應(yīng)強(qiáng)度為由經(jīng)典力學(xué)的哈密頓量和正則方程可以得到在有電磁場作用的情況下，帶電粒子的正則動量P不等于其機(jī)械動量P=mv

。量子力學(xué)中哈密頓量按照量子力學(xué)中的正則量子化程序，在坐標(biāo)表象中，電磁場中的薛定諤方程因?yàn)锳(r,t)是r的函數(shù)，所以

與A一般不對易采取電磁場的庫侖規(guī)范——橫波條件得到電磁場中運(yùn)動粒子的薛定諤方程定域的概率守恒與流密度對電磁場中的薛定諤方程取復(fù)共軛，并注意矢勢A和標(biāo)勢φ均為實(shí)數(shù)，在坐標(biāo)表象中，仿照第4章中的運(yùn)算，并注意到橫波條件，得下式其中，概率密度為粒子流密度為粒子的速度算符為粒子的概率守恒方程為§7.2正常塞曼效應(yīng)正常塞曼效應(yīng)的概述

把原子放入磁場中，其光譜線發(fā)生分裂，原來的一條譜線分裂成幾條的現(xiàn)象，被稱為塞曼（Zeeman)效應(yīng)。這是1896年由荷蘭物理學(xué)家zeeman在實(shí)驗(yàn)中觀察到的。原子光譜的分裂根源于其能級的分裂。根據(jù)譜線分裂情況的不同，塞曼效應(yīng)分為正常塞曼效應(yīng)與反常塞曼效應(yīng)。一般情況下，譜線分裂成很多成分，稱為反常塞曼效應(yīng)，也叫復(fù)雜塞曼效應(yīng)。特殊情況下，譜線分裂成三種成分，稱為正常塞曼效應(yīng)，也叫簡單塞曼效應(yīng)。塞曼效應(yīng)反映了原子所處狀態(tài)，從塞曼效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以推斷有關(guān)能級的分裂情況，是研究原子結(jié)構(gòu)的重要途徑之一。洛侖茲利用經(jīng)典電磁理論對這種現(xiàn)象進(jìn)行了解釋。他認(rèn)為，由于電子存在軌道磁矩，并且磁矩方向在空間的取向是量子化的，因此在強(qiáng)磁場作用下能級發(fā)生分裂。

塞曼效應(yīng)證實(shí)了原子磁矩的空間量子化，為研究原子結(jié)構(gòu)提供了重要途徑，被認(rèn)為是19世紀(jì)末20世紀(jì)初物理學(xué)最重要的發(fā)現(xiàn)之一。原子與磁場相互作用

原子與磁場相互作用的強(qiáng)度依賴于原子的總角動量J=L+S，總角動量J在

z方向的分量mJ有2J+1種取值。不加外磁場時，沒有特定的擇優(yōu)取向，原子能級是2J+1重簡并的。塞曼效應(yīng)是由于原子磁矩與外磁場相互作用，使得原子能級簡并消除產(chǎn)生的物理現(xiàn)象。在光譜觀測上原來的一條譜線分裂成幾條，分裂的條數(shù)與電子的自旋和軌道角動量有關(guān)。

正常塞曼效應(yīng)是指在強(qiáng)磁場中原子光譜發(fā)生分裂（一般為三條）的現(xiàn)象。

反常塞曼效應(yīng)是指在弱磁場中，軌道和自旋的相互耦合作用不能忽略時，原子光譜在弱磁場中的分裂現(xiàn)象。正常塞曼效應(yīng)的量子力學(xué)解釋原子中的電子，可近似看成在一個中心勢場中運(yùn)動，能級一般是簡并的。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如把原子置于強(qiáng)磁場中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，即正常塞曼效應(yīng)。光譜線的分裂反映原子的簡并能級發(fā)生分裂，即能級簡并被解除或部分解除。價電子的哈密頓量在原子大小范圍中，實(shí)驗(yàn)室里常用的磁場都可視為均勻磁場，記為B，不依賴于電子的坐標(biāo)，于是，相應(yīng)的矢勢A為利用矢量分析的知識，不難驗(yàn)證取磁場B方向?yàn)閦軸方向，則

為計算簡單起見，考慮堿金屬原子。每個原子中只有一個價電子，在原子核及內(nèi)層滿殼電子所產(chǎn)生的屏蔽庫侖場中運(yùn)動。價電子的哈密頓量可以表示為式中：是角動量的z分量算符；V(r)是原子實(shí)產(chǎn)生的屏蔽庫侖勢。在原子中，而實(shí)驗(yàn)室中的磁場強(qiáng)度B小于10T，則因此可略去B2項(xiàng)，哈密頓算符化簡為右邊第二項(xiàng)可視為電子的軌道磁矩和磁場相互作用引起的附加能量。價電子的薛定諤方程原子中的價電子滿足的薛定諤方程為在外加均勻磁場（沿z方向）中，原子的球?qū)ΨQ性被破壞，角動量不再是守恒量，而l2、lz仍為守恒量。因此，能量本征函數(shù)可選為對易守恒量完全集(H,l2,lz)的共同本征函數(shù)，取為式中，相應(yīng)的能量本征值為

稱為拉莫爾（Larmor）頻率。為電子軌道運(yùn)動與磁場相互作用的附加能量，該能量也是量子化的，與磁量子數(shù)成正比。是屏蔽庫侖場中粒子的能量。屏蔽庫侖場與純庫侖場有所不同，它只具有空間轉(zhuǎn)動不變性(球?qū)ΨQ性),其能量本征值與徑向量子數(shù)nr和角動量量子數(shù)l都有關(guān)，簡并度為2l+1。在加上外磁場之后，球?qū)ΨQ性被破壞，能級簡并被全部解除，原來能級發(fā)生分裂。鈉黃光在強(qiáng)磁場中的能級分裂和光譜*§7.3電子在均勻磁場中的運(yùn)動經(jīng)典電磁理論的結(jié)果按照經(jīng)典電磁學(xué)理論電子在均勻磁場中受到洛侖茲力的作用，假設(shè)磁場方向B（沿z軸）與電子的運(yùn)動速度v垂直，則洛侖茲力為電子的合成運(yùn)動是沿磁場方向作等距螺旋運(yùn)動。洛侖茲力不做功，電子能量保持守恒。量子力學(xué)的結(jié)果選用朗道規(guī)范，即電子在xy平面內(nèi)運(yùn)動的哈密頓算符為它不顯含x，則能量本征態(tài)可取對易力學(xué)量完全集(H,Px)的共同本征態(tài)φ(y)滿足的方程為以上方程變?yōu)檫@是一個平衡位置處于y0的一維諧振子方程，其解為電子處于的這些分立能級，稱為朗道(Landau）能級。相應(yīng)的本征函數(shù)為霍爾效應(yīng)經(jīng)典霍爾效應(yīng)

將一導(dǎo)電板置入垂直于它的磁場中，當(dāng)有電流導(dǎo)電板平面時，會在其兩側(cè)產(chǎn)生一個電位差，這種效應(yīng)稱為霍爾效應(yīng)。電位差也叫霍爾電壓，表示為其中，霍爾系數(shù)利用電子在磁場中受洛侖茲力作用容易解釋經(jīng)典霍爾效應(yīng)。測量霍爾器件的霍爾系數(shù)（可正可負(fù)），可以判斷載流子的電性，由此可以測量半導(dǎo)體的類型，還可以測量載流子的濃度。量子霍爾效應(yīng)

二維電子氣在恒定磁場中的運(yùn)動，其霍爾電阻是量子化的，即這里，n是正整數(shù)量子數(shù)。這種現(xiàn)象稱為量子霍爾效應(yīng)。量子霍爾效應(yīng)可以通過前一節(jié)中朗道能級解釋。1982年美國貝爾實(shí)驗(yàn)室的三個科學(xué)家崔琦、斯托姆耳和勞林還發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)，即出現(xiàn)在霍爾電阻平