數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)競賽講義-函數(shù)的基本性質(zhì)

§4函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)通常是指函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等等，在解決與函數(shù)有關(guān)的(如方程、不等式等)問題時，巧妙利用函數(shù)及其圖象的相關(guān)性質(zhì)，可以使得問題得到簡化，從而達(dá)到解決問題的目的.I．函數(shù)的定義設(shè)A，B都是非空的數(shù)集，f是從A到B的一個對應(yīng)法則.那么，從A到B的映射f：A→B就叫做從A到B的函數(shù).記做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函數(shù)f(x)的定義域，象的集合C叫做函數(shù)的值域，顯然CB.II．函數(shù)的性質(zhì)（1）奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，且D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的數(shù)集.若對任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),則稱f(x)是偶函數(shù).（2）函數(shù)的增減性設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間D′上滿足：對任意x1,x2∈D′，并且x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),則稱f(x)在區(qū)間D′上的增函數(shù)（減函數(shù)），區(qū)間D′稱為f(x)的一個單調(diào)增（減）區(qū)間.III．函數(shù)的周期性對于函數(shù)f(x),如果存在一個不為零的正數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域中的每個數(shù)時，f(x+T)=f(x)總成立，那么稱f(x)是周期函數(shù)，T稱做這個周期函數(shù)的周期.如果函數(shù)f(x)的所有周期中存在最小值T0，稱T0為周期函數(shù)f(x)的最小值正周期.例題講解1．已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)()

A.在區(qū)間(－2，0)上單調(diào)遞增 B.在(0，2)上單調(diào)遞增

C.在(－1，0)上單調(diào)遞增 D.在(0，1)上單調(diào)遞增

2．設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x＋3)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤時，f(x)＝x，則f(2003)＝()

A.－1 B.0 C.1 D.2003

3．定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對一切實(shí)數(shù)x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0僅有101個不同的實(shí)數(shù)根，那么所有實(shí)數(shù)根的和為()

A.150 B. C.152 D.

4．實(shí)數(shù)x，y滿足x2＝2xsin(xy)－1，則x1998＋6sin5y＝______________.

5．已知x＝是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c為整數(shù)，則b＋c＝__________.

6．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有實(shí)數(shù)根，且f(x)＝1在(0，1)內(nèi)有兩個實(shí)數(shù)根，求證：a＞4.

7．已知f(x)＝x2＋ax＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值為M，求證：M≥.

8．⑴解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0

⑵解方程：

9．設(shè)f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求[f⑷＋f(0)]的值.

10．設(shè)f(x)＝x4－4x3＋x2－5x＋2，當(dāng)x∈R時，求證：|f(x)|≥例題答案：1．提示：可用圖像，但是用特殊值較好一些.選C2．解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)

∴f(x)的周期為6

f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1

選A3．提示：由已知，函數(shù)f(x)的圖象有對稱軸x＝

于是這101個根的分布也關(guān)于該對稱軸對稱.

即有一個根就是，其余100個根可分為50對，每一對的兩根關(guān)于x＝對稱

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，這100個根的和等于×100＝150

所有101個根的和為×101＝.選B4．解：如果x、y不是某些特殊值，則本題無法(快速)求解

注意到其形式類似于一元二次方程，可以采用配方法

(x－sin(xy))2＋cos2(xy)＝0

∴x＝sin(xy)且cos(xy)＝0

∴x＝sin(xy)＝±1

∴siny＝1xsin(xy)＝1

原式＝75．解：(逆向思考：什么樣的方程有這樣的根？)

由已知變形得x－

∴x2－2x＋19＝99

即x2－80＝2x

再平方得x4－160x2＋6400＝76x2

即x4－236x2＋6400＝0

∴b＝－236，c＝6400

b＋c＝61646．證法一：由已知條件可得

△＝b2－4ac≥0①

f⑴＝a＋b＋c＞1②

f(0)＝c＞1③

0＜－＜1④

b2≥4ac

b＞1－a－c

c＞1

b＜0(∵a＞0)

于是－b≥2

所以a＋c－1＞－b≥2

∴()2＞1

∴＞1

于是＋1＞2

∴a＞4

證法二：設(shè)f(x)的兩個根為x1，x2，

則f(x)＝a(x－x1)(x－x2)

f⑴＝a(1－x1)(1－x2)＞1

f(0)＝ax1x2＞1

由基本不等式

x1(1－x1)x2(1－x2)≤[(x1＋(1－x1)＋x2＋(1－x2))]4＝()2

∴≥a2x1(1－x1)x2(1－x2)＞1

∴a2＞16

∴a＞47．解：M＝|f(x)|max＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－)|}

⑴若|－|≥1(對稱軸不在定義域內(nèi)部)

則M＝max{|f⑴|，|f(－1)|}

而f⑴＝1＋a＋b

f(－1)＝1－a＋b

|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4

則|f⑴|和|f(－1)|中至少有一個不小于2

∴M≥2＞

⑵|－|＜1

M＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－)|}

＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－＋b|}

＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－＋b|，|－＋b|}

≥(|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－＋b|＋|－＋b|)

≥[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－＋b)－(－＋b)]

＝

≥

綜上所述，原命題正確.8．⑴解：原方程化為(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0

即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x)

構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x2001＋x

原方程等價于f(x＋8)＝f(－x)

而由函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)

于是有x＋8＝－x

x＝－4為原方程的解

⑵兩邊取以2為底的對數(shù)得

于是f(2x)＝f(x2＋1)

易證：f(x)世紀(jì)函數(shù)，且是R上的增函數(shù)，

所以：2x＝x2＋1

解得：x＝19．解：由已知，方程f(x)＝x已知有三個解，設(shè)第四個解為m，

記F(x)＝f(x)－x＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)

∴f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)＋x

f⑷＝6(4－m)＋4

f(0)＝6m

∴[f⑷＋f(0)]＝710．證明：配方得：

f(x)