微專題6求數(shù)列通項的方法與技巧

觀千劍而后識器,操千曲而后曉聲泰戈爾曾說過:“只有經(jīng)歷過地獄般的磨練，才能煉出創(chuàng)造天堂的力量；只有流過血的手指才能彈奏出世間的絕唱?！蔽ｎ}6求數(shù)列通項的方法與技巧對應(yīng)學(xué)生用書第113頁求數(shù)列的通項公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一,有了通項公式便可求出數(shù)列的任意一項,因此,求數(shù)列的通項公式往往是解題的突破口、關(guān)鍵點.下面我們一起探究求數(shù)列通項公式的方法.一、已知前n項和Sn,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求通項已知前n項和求通項公式,解題時要特別注意三點:第一,要分類討論,分n=1和n≥2兩種情形;第二,要掌握an=Sn-Sn-1(n≥2)這一重要關(guān)系,否則無法解決此類問題;第三,要注意檢驗n=1是否滿足當n≥2時,{an}的通項公式.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+2n+3,求an的表達式.解析當n=1時,a1=S1=6,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1.∵a1=6≠3,∴an=6點撥已知Sn求an的三個步驟:(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式.(3)對a1進行檢驗,看是否符合當n≥2時an的表達式,若符合,則可以把數(shù)列的通項公式合寫;若不符合,則應(yīng)該分n=1與n≥2兩段來寫.【微點練1】已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且log2(Sn+1)=n+1,求an的表達式.解析由log2(Sn+1)=n+1,得Sn+1=2n+1.當n=1時,a1=S1=3;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n.因為a1=3≠2,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=3二、構(gòu)造法求通項已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,an+1+2n=2Sn+2,求an的表達式.解析∵an+1+2n=2Sn+2,∴當n≥2時,an+2(n-1)=2Sn-1+2,兩式相減得an+1-an+2=2an,即3an=an+1+2,∴an+1-1=3(an-1)(n≥2),又a2=2S1+2-2×1=4,滿足a2-1a1-1=3,∴數(shù)列{an-1}是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,∴an-1=3n-1,即an點撥對形如an=kan-1+m(k≠1)的遞推關(guān)系,常構(gòu)造成an+mk-1=kan【微點練2】(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+3,求an的表達式.(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,3an+1+an-7=0,求數(shù)列{an}的通項公式.解析(1)設(shè)遞推公式an+1=2an+3可以轉(zhuǎn)化為an+1-t=2(an-t),則an+1=2an-t,解得t=-3.故an+1+3=2(an+3),令bn=an+3,則b1=a1+3=4,且bn+1bn=所以{bn}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列,則bn=4×2n-1=2n+1,所以an=2n+1-3.(2)由3an+1+an-7=0得an+1=-13an+73,設(shè)an+1+k=-13(an+k),比較系數(shù)得-k-k3=73,解得k=-74.故an-74是以a1-74=1-74=-34為首項,-13為公比的等比數(shù)列,所以an-74三、累加法求通項對形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系,可用累加法求通項.在數(shù)列{an}中,已知a1=-2,an=an-1+2n-1(n≥2,且n∈N*),求數(shù)列{an}的通項公式.解析∵a1=-2,a2-a1=3,a3-a2=5,…,an-an-1=2n-1,∴當n≥2時,an=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)+a1=-2+(3+5+…+(2n-1))=-3+(1+3+5+…+(2n-1))=n2-3.∵a1=-2滿足上式,∴an=n2-3.點撥合理利用數(shù)列的遞推公式,選用累加法求解是解答的關(guān)鍵.【微點練3】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,若1an+1-1an=4n(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項答案3解析因為1an+1-1a所以當n≥2時,1an=1an-1an-1+1an-1-1an-2+…+1a因為a1=1也滿足上式,所以數(shù)列{an}的通項為an=34四、累乘法求通項對形如an+1=f(n)an的遞推關(guān)系,可用累乘法求通項.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,首項a1=1,且滿足3Sn=(n+2)an,則an=.

答案n解析當n≥2時,3Sn-1=(n+1)an-1,所以3an=(n+2)an-(n+1)an-1,所以anan所以當n≥2時,an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·因為a1=1滿足上式,所以an=n(n+1)2(n點撥已知a1且an+1=f(n)an,可用累乘法求an.【微點練4】(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=23,an+1=nn+1an,則an(2)已知數(shù)列{an}滿足a2=6,anan+1-an=n(n∈N*),則數(shù)列{答案(1)23n(2)an=解析(1)由題意知an+1an=nn+1,∴當n≥2時,a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=12×23×34×…經(jīng)檢驗,a1=23滿足上式,∴an=2