2023-2024學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．已知函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，則（）A. B.C. D.2．下列大小關(guān)系正確的是A. B.C. D.3．已知一個(gè)水平放置的平面四邊形的直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正方形，則原圖形的周長(zhǎng)為（）A.6 B.8C. D.4．不論a取何正實(shí)數(shù)，函數(shù)恒過點(diǎn)（）A. B.C. D.5．如圖，一質(zhì)點(diǎn)在半徑為1的圓O上以點(diǎn)為起點(diǎn)，按順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為，5s時(shí)到達(dá)點(diǎn)，則（）A.-1 B.C. D.6．函數(shù)f（x）=-x＋tanx（＜x＜）的圖象大致為（）A. B.C. D.7．函數(shù)的最小值為（）A. B.C. D.8．函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則在上的最大值與最小值之和為（）A. B.C. D.10．若點(diǎn)在角的終邊上，則的值為A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．如圖所示，弧田是由圓弧和其所對(duì)弦圍成的圖形，若弧田的弧長(zhǎng)為，弧所在的圓的半徑為4，則弧田的面積是___________.12．函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______13．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________14．已知的圖象的對(duì)稱軸為_________________15．已知函數(shù)，則下列說法正確的有________.①的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到②在上單調(diào)遞增③在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)④在上的最大值為三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．某城市地鐵項(xiàng)目正在緊張建設(shè)中，通車后將給市民出行帶來便利.已知某條線路通車后，地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足.經(jīng)測(cè)算，地鐵載客量與發(fā)車時(shí)間間隔相關(guān)，當(dāng)時(shí)地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)的載客量為人，記地鐵載客量為.（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，地鐵的載客量；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？每分鐘的最大凈收益為多少？17．已知函數(shù)在上的最小值為（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值以及取最大值時(shí)的取值集合18．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）求不等式解集.19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.20．已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）若，求.21．已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)，函數(shù)是偶函數(shù)，方程有兩相等實(shí)根.（1）求的解析式；（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、A【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像的開口向上，對(duì)稱軸為，可得，且函數(shù)在上遞增，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性即可求解.【詳解】二次函數(shù)的圖像的開口向上，對(duì)稱軸為，且函數(shù)在上遞增，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，又，所以，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)稱性比較函數(shù)值的大小，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】根據(jù)題意，由于那么根據(jù)與0,1的大小關(guān)系比較可知結(jié)論為，選C.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的值域點(diǎn)評(píng)：主要是利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來比較大小，屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】由斜二測(cè)畫法的規(guī)則，把直觀圖還原為原平面圖形，再求原圖形的周長(zhǎng)【詳解】解：由斜二測(cè)畫法的規(guī)則知，與軸平行的線段其長(zhǎng)度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變，正方形的對(duì)角線在軸上，可求得其長(zhǎng)度為，所以在平面圖中其在軸上，且其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?倍，是，其原來的圖形如圖所示；所以原圖形的周長(zhǎng)是：故選：【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形的直觀圖應(yīng)用問題，能夠快速的在直觀圖和原圖之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題4、A【解析】令指數(shù)為0，即可求得函數(shù)恒過點(diǎn)【詳解】令x+1=0，可得x=-1，則∴不論取何正實(shí)數(shù)，函數(shù)恒過點(diǎn)（-1，-1）故選A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒過定點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】由正弦、余弦函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式得出.【詳解】設(shè)單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，則，所以，，故.故選：C6、D【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng)，再利用特殊值判斷.【詳解】因?yàn)?，所以是奇函?shù)，排除BC，又因?yàn)?，排除A，故選：D7、B【解析】用二倍角公式及誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)最值即可求得最值.【詳解】由因?yàn)樗援?dāng)時(shí)故選：B8、A【解析】通過判斷函數(shù)的奇偶性排除CD,通過取特殊點(diǎn)排除B，由此可得正確答案.【詳解】∵∴函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，∴排除CD選項(xiàng)；又時(shí)，，∴，排除B，故選.9、D【解析】首先利用兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為，當(dāng)時(shí)，，由正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以最大值與最小值之和為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦公式，正弦型函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】根據(jù)題意，確定角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)定義，即可求解，得到答案【詳解】由題意，點(diǎn)在角的終邊上，即，則，由三角函數(shù)的定義，可得故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，其中解答中確定出角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的定義求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，只需計(jì)算圖中陰影部分的面積，設(shè)，因?yàn)榛√锏幕￠L(zhǎng)為，弧所在的圓的半徑為4，所以，所以陰影部分的面積為所以弧田的面積是.故答案為：12、【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和奇函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以．故答案為：13、【解析】根據(jù)題意，只要即可，再根據(jù)基本不等式中的“”的妙用，求得，解不等式即可得解.【詳解】根據(jù)題意先求得最小值，由，得，所以若要不等式恒成立，只要，即，解得，所以.故答案為：14、【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，然后用二倍角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求.【詳解】因?yàn)樗裕蕦?duì)稱軸為.故答案為:15、②③【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，可判定①不正確；根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)的方法，可判定②正確；令，求得，可判定③正確；由，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定④正確.【詳解】由函數(shù)，對(duì)于①中，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，所以①不正確；對(duì)于②中，令，解得，當(dāng)時(shí)，可得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以②正確；對(duì)于③中，令，可得，解得，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，所以③正確；對(duì)于④中，由，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以④不正確.故答案為：②③.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1），人（2）當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，每分鐘的最大凈收益為元【解析】（1）由題意分別寫出與時(shí)，的表達(dá)式，寫成分段函數(shù)的形式，可得的表達(dá)式，可得的值；（2）分別求出時(shí)，時(shí)，凈收益為的表達(dá)式，并求出其最大值，進(jìn)行比較可得凈收益最大及收益最大時(shí)的時(shí)間.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)解得，所以，所以(人)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取到最大值.答:的表達(dá)式為當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，地鐵的載客量為人.當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，每分鐘的最大凈收益為元.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)解析式的求解及函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，及利用基本不等式求解函數(shù)的最值，綜合性大，屬于中檔題.17、（1）單調(diào)遞增區(qū)間（2）最大值為，此時(shí)的取值集合為【解析】（1）先由三角變換化簡(jiǎn)解析式，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出單調(diào)性；（2）由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的值，進(jìn)而再求最大值.【小問1詳解】，令，，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，，解得，所以，當(dāng)，，即，時(shí)，取得最大值，且最大值故的最大值為，此時(shí)的取值集合為18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的知識(shí)求得函數(shù)在上的解析式.（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求得不等式的解集.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，.所以函數(shù)在上的解析式為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù).由得，所以，所以，所以不等式的解集為.19、（1）最小正周期為，對(duì)稱軸方程為（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；值域?yàn)椤窘馕觥浚?）先通過降冪公式化簡(jiǎn)成，再按照周期和對(duì)稱軸方程進(jìn)行求解；（2）求出整體的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)區(qū)間和值域.【小問1詳解】；函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為；【小問2詳解】，，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，函數(shù)的值域?yàn)?20、（1）（2）或.【解析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圓心到直線的距離即可求得的取值范圍.（2）根據(jù)垂徑定理及,結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式,即可得關(guān)于的方程,解方程即可求得的值.【詳解】（1）由已知可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心,半徑,則到的距離,解得,即的取值范圍為.（2）因?yàn)?解得所以由圓心到直線距離公式可得.解得或.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系判斷,直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)關(guān)系及垂徑定理應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）；（3）.【解析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法，結(jié)合題目條件計(jì)算得，(2)分離參量，計(jì)算在上的最大值(3)轉(zhuǎn)化為有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，換元，關(guān)于的方程只有一個(gè)正實(shí)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題