2023-2024學(xué)年江蘇省常州市常州高級中學(xué)分校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2023-2024學(xué)年江蘇省常州市常州高級中學(xué)分校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖所示的是水平放置的三角形直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊上的一點，且D′離C′比D′離B′近，又A′D′∥y′軸，那么原△ABC的AB、AD、AC三條線段中A.最長的是AB，最短的是ACB.最長的是AC，最短的是ABC.最長的是AB，最短的是ADD.最長的是AD，最短的是AC2．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.，3．若a＞b＞1，0＜c＜1，則下列式子中不正確的是（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)、當(dāng)時，都有.如果存在實數(shù)，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.5．已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．設(shè)和兩個集合，定義集合，且，如果，，那么A. B.C. D.7．函數(shù)滿足：，已知函數(shù)與的圖象共有4個交點，交點坐標(biāo)分別為,,,，則：A. B.C. D.8．若函數(shù)的定義域為，則為偶函數(shù)的一個充要條件是（）A.對任意，都有成立；B.函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱；C.存在某個，使得；D.對任意給定的，都有.9．已知函數(shù)關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，恒成立，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.10．將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)的圖象恒過定點A，若點A在一次函數(shù)的圖象上，其中，則的最小值為_____________.12．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______13．函數(shù)的最小正周期是__________14．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則__________15．當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則___________.16．下列命題中正確的是__________．（填上所有正確命題的序號）①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，，則三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若，則=___________.18．已知函數(shù)（其中a為常數(shù)）向左平移各單位其函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.（1）求值；（2）當(dāng)時，的最大值為4，求a的值；（3）若在有三個解，求a的范圍.19．已知函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性.（2）求滿足的實數(shù)x的取值范圍.20．已知函數(shù)f（x）=（1）若f（2）=a，求a的值；（2）當(dāng)a=2時，若對任意互不相等實數(shù)x1，x2∈（m，m+4），都有＞0成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）判斷函數(shù)g（x）=f（x）-x-2a（＜a＜0）在R上的零點的個數(shù)，并說明理由21．設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，如果存在函數(shù)，使得函數(shù)的值域仍是，那么稱是函數(shù)的一個等值域變換.（1）判斷下列函數(shù)是不是函數(shù)的一個等值域變換？說明你的理由；①；②.（2）設(shè)的定義域為，已知是的一個等值域變換，且函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由斜二測畫法得到原三角形，結(jié)合其幾何特征易得答案.【詳解】由題意得到原△ABC的平面圖為：其中，AD⊥BC，BD＞DC，∴AB＞AC＞AD，∴△ABC的AB、AD、AC三條線段中最長的是AB，最短的是AD故選C【點睛】本題考查了斜二測畫法，考查三角形中三條線段長的大小的比較，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】根據(jù)時，一定有一個零點，故只需在時有一個零點即可，列出不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時，令，即可得，；故在時，一定有一個零點；要滿足題意，顯然，令，解得只需，解得.故選：D【點睛】本題考查由函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)范圍，涉及對數(shù)不等式的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.3、D【解析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出正誤．【詳解】解：，，,A正確;是減函數(shù)，，B正確;為增函數(shù)，，C正確.是減函數(shù)，,D錯誤.故選．【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴，不妨設(shè)a＞b，∴a﹣b＞0，∴f（a）﹣f（b）＞0，即f（a）＞f（b）∴f（x）在R上單調(diào)遞增，∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（x﹣c）+f（x﹣c2）＞0等價于f（x﹣c）＞f（c2﹣x）∴不等式等價于x﹣c＞c2﹣x，即c2+c＜2x，∵存在實數(shù)使得不等式c2+c＜2x成立，∴c2+c＜6，即c2+c﹣6＜0，解得，，故選A點睛：處理抽象不等式的常規(guī)方法：利用單調(diào)性及奇偶性，把函數(shù)值間的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體的自變量間的關(guān)系；同時注意區(qū)分恒成立問題與存在性問題.5、A【解析】由題意可得,，，，．故A正確考點：三角函數(shù)單調(diào)性6、D【解析】根據(jù)的定義，可求出，，然后即可求出【詳解】解：，；∴.故選D.【點睛】考查描述法的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題7、C【解析】函數(shù)的圖象和的圖象都關(guān)于（0，2）對稱，從而可知4個交點兩兩關(guān)于點（0，2）對稱，即可求出的值【詳解】因為函數(shù)滿足：，所以的圖象關(guān)于（0，2）對稱，函數(shù)，由于函數(shù)的圖象關(guān)于（0，0）對稱，故的圖象也關(guān)于（0，2）對稱，故.故答案為C.【點睛】若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱8、D【解析】利用偶函數(shù)的定義進行判斷即可【詳解】對于A，對任意，都有成立，可得為偶函數(shù)且為奇函數(shù)，而當(dāng)為偶函數(shù)時，不一定有對任意，，所以A錯誤，對于B，當(dāng)函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱，可知，函數(shù)為奇函數(shù)，所以B錯誤，對于CD，由偶函數(shù)的定義可知，對于任意，都有，即，所以當(dāng)為偶函數(shù)時，任意，，反之，當(dāng)任意，，則為偶函數(shù)，所以C錯誤，D正確，故選：D9、B【解析】根據(jù)題意，得到函數(shù)為偶函數(shù)，且在為單調(diào)遞減函數(shù)，則在為單調(diào)遞增函數(shù)，把不等式，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又由當(dāng)時，恒成立，可得函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，則在為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，可得，即或，解得或，即不等式的解集為，即滿足的x的取值范圍是.故選：B.10、A【解析】利用三角函數(shù)的伸縮平移變換規(guī)律求解變換后的解析式，再根據(jù)二倍角公式化簡.【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，得函數(shù)解析式為，再將函數(shù)向下平移1個單位長度，得函數(shù)解析式為.故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解析】由題意可知定點A（1,1）,所以m+n=1,因為,所以,當(dāng)時，的最小值為4.12、【解析】根據(jù)題意求出函數(shù)和圖像，畫出圖像根據(jù)圖像解題即可.【詳解】因為滿足，即；又由，可得，因為當(dāng)時，所以當(dāng)時，，所以，即；所以當(dāng)時，，所以，即；根據(jù)解析式畫出函數(shù)部分圖像如下所示；因為對任意，恒成立，根據(jù)圖像當(dāng)時，函數(shù)與圖像交于點，即的橫坐標(biāo)即為的最大值才能符合題意，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是：.故答案為：.13、【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的最小正周期公式即可求解【詳解】因為由正弦函數(shù)的最小正周期公式可得故答案為：14、【解析】根據(jù)余弦型函數(shù)的對稱性可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則.故答案為：.15、##【解析】由輔助角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)求出，，再根據(jù)兩角和的正切和公式，誘導(dǎo)公式求.【詳解】（其中，），當(dāng)時，函數(shù)取得最大值∴，，即，，所以，.故答案為：.16、③【解析】對于①，若，，則與可能異面、平行，故①錯誤；對于②，若，，則與可能平行、相交，故②錯誤；對于③，若，，則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知，故③正確；對于④，根據(jù)面面平行的判定定理可知，還需添加相交，故④錯誤，故答案為③.【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)，屬于難題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實實物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】因為和關(guān)于軸對稱，所以，那么，（或），所以.【考點】同角三角函數(shù)，誘導(dǎo)公式，兩角差余弦公式【名師點睛】本題考查了角的對稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對稱，則，若與的終邊關(guān)于軸對稱，則，若與的終邊關(guān)于原點對稱，則.18、（1）（2）（3）【解析】(1)根據(jù)題意可的得到再根據(jù)的范圍，即可得出.(2)根據(jù)的范圍得出的范圍，從而得出的最大值，即可得到的值.(3)根據(jù)的范圍得出的范圍，再把看成一個整體，結(jié)合的圖像，即可得到的取值范圍.【詳解】（1）由已知得，其函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,則其為偶函數(shù).（2），，的最大值為.（3）設(shè)，，則令由圖象得【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)圖像變換以及對稱性，正弦函數(shù)的最值求法，在指定范圍內(nèi)由幾解問題，數(shù)型結(jié)合思想，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力以及計算能力，是中檔題.19、（1）定義域為，奇函數(shù)；（2）當(dāng)時的取值范圍是；當(dāng)時的取值范圍是【解析】（1）根據(jù)題意，先求出函數(shù)的定義域，進而結(jié)合函數(shù)的解析式可得，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，即，分與兩種情況討論可得的取值范圍，綜合即可得答案詳解】解：（1）根據(jù)題意，，則有，解可得，則函數(shù)的定義域為，又由，則是奇函數(shù)；（2）由得①當(dāng)時，，解得；②當(dāng)時，，解得；當(dāng)時的取值范圍是；當(dāng)時的取值范圍是【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，注意判斷奇偶性要先求出函數(shù)的定義域，屬于中檔題20、（1）；（2）；（3）個零點，理由見解析.【解析】（1）分類討論求出f（2），代入f（2）＝a，解方程可得；（2）a＝2時，求出分段函數(shù)的增區(qū)間；“對任意互不相等的實數(shù)x1，x2∈（m，m+4），都有0成立”?f（x）在（m，m+4）上是增函數(shù)，根據(jù)子集關(guān)系列式可得m的范圍；（3）按照x≥a和x＜a這2種情況分別討論零點個數(shù)【詳解】解：（1）因為f（2）=a，當(dāng)a≤2時，4-2（a+1）+a=a，解得a=1符合；當(dāng)a＜2時，-4+2（a+1）-a=a，此式無解；綜上可得：a=1（2）當(dāng)a=2時，f（x）=，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，）和（2，+∞），又由已知可得f（x）在（m，m+4）上單調(diào)遞增，所以m+4≤，或m≥2，解得m≤-或m≥2，∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-]∪[2，+∞）；（3）由題意得g（x）=①當(dāng)x≥a時，對稱軸為x=，因為-，所以f（a）=a2-a2-2a-a=-3a＞0，∵-a=＞a，∴f（）=-=-＜0，由二次函數(shù)可知，g（x）在區(qū)間（a，）和區(qū)間（，+∞）各有一個零點；②當(dāng)x＜a時，對稱軸為x=＞a，函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，a）上單調(diào)遞增且f（）=0，所以函數(shù)在區(qū)間（-∞，a）內(nèi)有一個零點綜上函數(shù)g（x）=f（x）-x-2a（-＜a＜0）在R上有3個零點【點睛】本題考查了分段函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及函數(shù)零點問題，考查了分類討論思想的運用，屬于難題21、（1）①不是等值域變換，②是等值域變換；（2）.【解析】（1）運用對數(shù)函數(shù)的值域和基本不等式，結(jié)合新定義即可判斷①；