2022年廣東省揭陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷及答案解析

2022年廣東省揭陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)集合4={幻/30},B^{x\-l<x<3},則AD（CRB）=（）

A.{x|3WxW4或x=-1}B.{x|3WxW4}

C.{x|3Wx<4或x=-1}D.{x|3Wx<4}

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足（3+i）*z=l+7b則|z-3i|=（）

A.V2B.2V2C.V17D.V26

3.（5分）設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是（）

A.a<b<4ab<^-B.a<y[ab<^-<b

C.a<y[ab<b<^Y-D.yfab<a<b

4.（5分）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《論球和圓柱》中，運(yùn)用窮竭法證明了與球的面積和體

積相關(guān)的公式.其中包括他最得意的發(fā)現(xiàn)-“圓柱容球”.設(shè)圓柱的高為2,且圓柱以球

的大圓（球大圓為過球心的平面和球面的交線）為底，以球的直徑為高.則球的表面積

與圓柱的體積之比為（）

A.4：3B.3：2C.2：ID.8：3

x2y2

5.（5分）橢圓C形+記=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F,過尸作x軸的垂線交橢圓。于A,

8兩點(diǎn)，若△OAB是直角三角形（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的離心率為（）

Lr-V5-1V3—1

A.V5-2B.8一1C.----D.----

22

6.（5分）已知（l+x）+2（1+x）2+3（1+x）3+-+10（l+x）lo=ao+aix+a2x24-+aiax10,則

a7=（）

a28329飛

A.9C；1B.c.3D.lOCfi

7.（5分）在新的高考改革方案中規(guī)定：每位考生的高考成績(jī)是按照3（語文、數(shù)學(xué)、英語）

+2（物理、歷史）選1+4（化學(xué)、生物、地理、政治）選2的模式設(shè)置的，則在選考的

科目中甲、乙兩位同學(xué)恰有兩科相同的概率為（）

1151

A.-B?一C.—D,一

43122

8.（5分）設(shè)函數(shù)/（%）=xsinx+cosx,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

第1頁(yè)共22頁(yè)

①函數(shù)/（x）是偶函數(shù)；

②曲線（X）在x=0處的切線方程為y=l；

③當(dāng)％E匿，2兀］時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；

④關(guān)于x的方程xsinx+cosx=a在xW［0,2n］只有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為［一當(dāng)，

身.

A.①②B.①②④C.①③④D.③④

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

（多選）9.（5分）下列說法中正確的是（）

A.AB+BA=0

B.若向=|b|且最||匕,則1=b

C.若展、b非零向量且丘+匕|=向一切，則I_Lb

D.若則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得3=4^

（多選）10.（5分）下列說法正確的有（）

A.X?B（〃，：），且力（X）=2,則〃=6

B.設(shè)有一個(gè)回歸方程y=3-5x,變量x增加1個(gè)單位時(shí)，y平均減少5個(gè)單位

C.線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱

D.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)盤結(jié)果E服從正態(tài)分布N（1,。2）（。＞0）,則=0.5

（多選）11.（5分）已知拋物線f=上的焦點(diǎn)為F,M（xi,yi）,N（處”）是拋物線上

兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

1

A.點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（30）

1

B.若直線MN過點(diǎn)F,則用及=一花

-*-1

C.若MF=4NF,則|MN］的最小值為］

o5

D.若附/q+|NF|=S，則線段的中點(diǎn)「到》軸的距離為：

（多選）12.（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體48CO-4B1C1D1中，。為正方體的中心，

第2頁(yè)共22頁(yè)

M為的中點(diǎn),F為側(cè)面正方形441Di。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足F〃平面BCiM,則（)

A.若P為正方體表面上一點(diǎn)，則滿足△。布的面積為二的點(diǎn)有12個(gè)

2

B.動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是一條線段

C.三棱錐F-BC1M的體積是隨點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)而變化的

D.若過A,M,。三點(diǎn)作正方體的截面Q,Q為截面。上一點(diǎn)，則線段A1Q長(zhǎng)度的取

值范圍為[2啜，2e]

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知數(shù)列｛“”｝為等差數(shù)列，數(shù)列5"）的前5項(xiàng)和55=20,“5=6,則a\o—.

14.（5分）函數(shù)f（x）=刀+備的圖象在x=l處的切線方程為.

15.（5分）已知乙b,京是三個(gè)不同的非零向量，若|a|=|d且cos<2,=cosV?,b>,

則稱"是；關(guān)于b的對(duì)稱向量.已知向量；=（2,3）,b=（1,2）,貝日關(guān)于b的對(duì)稱向量

為.（填坐標(biāo)形式）.

16.（5分）已知點(diǎn)尸是曲線/=4y上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向x軸引垂線，垂足為H,點(diǎn)Q是

曲線y=/zu上任意一點(diǎn)，則|P”|+|P0|的最小值為.

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知｛如｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，且G,203+205,。3成等差數(shù)列

（1）求數(shù)列｛如｝的公比;

（2）若對(duì)任意〃eN*,m+a2+…+恒成立，求m的最小值.

第3頁(yè)共22頁(yè)

18.（12分）2021年5月12B,2022北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上

海展覽中心.為了慶祝吉祥物在上海的亮相，某商場(chǎng)舉辦了一場(chǎng)贏取吉祥物掛件的“雙

人對(duì)戰(zhàn)”游戲，游戲規(guī)則如下：參與對(duì)戰(zhàn)的雙方每次從裝有3個(gè)白球和2個(gè)黑球（這5

個(gè)球的大小、質(zhì)量均相同，僅顏色不同）的盒子中輪流不放回地摸出1球，摸到最后1

個(gè)黑球或能判斷出哪一方獲得最后1個(gè)黑球時(shí)游戲結(jié)束，得到最后1個(gè)黑球的一方獲

勝.設(shè)游戲結(jié)束時(shí)對(duì)戰(zhàn)雙方摸球的總次數(shù)為X.

（1）求隨機(jī)變量X的概率分布；

（2）求先摸球的一方獲勝的概率，并判斷這場(chǎng)游戲是否公平.

第4頁(yè)共22頁(yè)

19.（12分）如圖，已知OA=10,點(diǎn)B是以。為圓心，5為半徑的半圓上一動(dòng)點(diǎn).

（1）當(dāng)乙4。8=120°時(shí)，求線段AB的值；

（2）若△ABC為正三角形，求四邊形。4cB面積的最大值.

第5頁(yè)共22頁(yè)

20.（12分）如圖，在圓錐。。，中，A8為底面圓的直徑，C,。為底面圓上兩點(diǎn)，且四邊形

ACO'。為平行四邊形，過點(diǎn)?！鱁F〃C￡>,點(diǎn)P為線段02上一點(diǎn)，且滿足OP=2P8.

（1）證明：C￡）_L平面AOB；

（2）若圓錐00'的側(cè)面積為底面積的2倍，求二面角B-E的余弦值.

第6頁(yè)共22頁(yè)

X

21.(12分)已知橢圓C：—+/9=1.

4

(1)若P(xo,川)在橢圓C上，證明：直線^+%丫=1與橢圓C相切；

(2)如圖，A,8分別為橢圓C上位于第一、二象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且以A,B為切點(diǎn)的橢

圓C的切線與x軸圍成△OEF.求SSEF的最小值.

第7頁(yè)共22頁(yè)

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=—,g(x)—x,直線y=。(a>0)分別與函數(shù)y=/(x),y

=g(x)的圖象交于A,8兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)求A8長(zhǎng)度的最小值；

(II)求最大整數(shù)％,使得ZV&?茄對(duì)尤(0,+8)恒成立.

第8頁(yè)共22頁(yè)

2022年廣東省揭陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合4={燈禺￡0},8={x[-l<x<3},則AC(CRB)=()

A.{x[3<xW4或尤=-1}B.{x|3WxW4}

C.{x|3Wx<4或x=-1}D.{x|3Wx<4}

解：因?yàn)?={x|言W0}={x|-1WXV4},B^{x\-l<x<3},

所以CRB={X|XW-1或注3},

則An(CRB)={R3WXV4或X=1}.

故選：c.

2.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足(3+i)?z=l+7b則|z-34=()

A.V2B.2V2C.A/17D.V26

解：(3+i)*z=1+7/,

l+7i(l+7j)(3-i)10+20i,

?*=詬=(3+i)(3T)=F-=1+2,,

；.z=l-2i,

：.\z-3/|=|l-2z-3z|=|l-5i|=V26,

故選：D.

3.(5分)設(shè)0<a<6,則下列不等式中正確的是()

A.a<b<y[ab<^Y-B.a<y[ab<^-<b

C.a<Vab<b<^-D.yfab<a<b

,__a+b5

解：取a=l且6=4,計(jì)算可得6F=2,---------

22

選項(xiàng)A、C、。均矛盾，B符合題意，

故選：B.

4.(5分)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《論球和圓柱》中，運(yùn)用窮竭法證明了與球的面積和體

積相關(guān)的公式.其中包括他最得意的發(fā)現(xiàn)-“圓柱容球”.設(shè)圓柱的高為2,且圓柱以球

的大圓(球大圓為過球心的平面和球面的交線)為底，以球的直徑為高.則球的表面積

第9頁(yè)共22頁(yè)

與圓柱的體積之比為（）

A.4：3B.3：2C.2：1D.8：3

可知圓柱的底面半徑為1,高為2,球的半徑為1.

則球的表面積為S=4nXl2=4n,

圓柱的體積為V=nXl2X2=2n.

47r

???球的表面積與圓柱的體積之比為h=2.

271

???球的表面積與圓柱的體積之比為2：1.

故選：C.

x2y2

5.（5分）橢圓C：—+yr=l（Q>b>0）的右焦點(diǎn)為尸，過尸作x軸的垂線交橢圓。于A,

8兩點(diǎn)，若△0A8是直角三角形（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的離心率為（）

r—LV5-1V3—1

A.V5-2B.V3-1C------D.-----

22

X2y2

解：橢圓C：方+跡=l（G>b>0）的右焦點(diǎn)為尸，過尸作X軸的垂線交橢圓C于A,B

兩點(diǎn)，若△045是直角三角形（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），

可得匕=c,即/-c2=〃c,eE（0,1）可得/+e-1=0,解得《二江二.

az

故選：C.

6.（5分）己知（1+x）+2（1+x）2+3（1+x）3++10（1+x）10=ao+aIX+4Z2X2+iox10,則

ai=()

28o29n

A.9%B.一對(duì)C.一%D.IOC：1

311311

解：因?yàn)?的系數(shù)〃7=7c7+8或+9C：+10C；0=7+64+324+1200=1595,

.29n2911X10X9

而一%=-x--------=1595.

3I133X2X1

故選：C.

7.（5分）在新的高考改革方案中規(guī)定：每位考生的高考成績(jī)是按照3（語文、數(shù)學(xué)、英語）

第10頁(yè)共22頁(yè)

+2(物理、歷史)選1+4(化學(xué)、生物、地理、政治)選2的模式設(shè)置的，則在選考的

科目中甲、乙兩位同學(xué)恰有兩科相同的概率為()

1151

A?-B?—C.—D.一

43122

解：在選考的科目中甲、乙兩位同學(xué)選考的基本事件總數(shù)〃=?廢戲=144,

其中甲、乙兩位同學(xué)恰有兩科相同包含的基本事件個(gè)數(shù)：

m=C^Cl-CjGd+-Cf戲=60,

???在選考的科目中甲、乙兩位同學(xué)恰有兩科相同的概率為：

m605

Pn=n=144=12-

故選：C.

8.(5分)設(shè)函數(shù)/(x)=xsinx+cosx,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是()

①函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；

②曲線y=/(x)在x=0處的切線方程為y=l；

③當(dāng)xe岐，2初時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；

④關(guān)于x的方程xsiiu+cos^=“在xe［0,2n］只有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為［一當(dāng)，

身.

A.①②B.①②④C.①③④D.③④

解：對(duì)①，因?yàn)閤€R,/(-X)=f(x),所以/(x)為偶函數(shù)，所以①正確；

對(duì)②，f(%)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,f(0)=0,f(0)=1,故曲線/(x)在x=0

處的切線方程為y=l,所以②正確；

對(duì)③，xeg,堂時(shí)，/(x)W0,/(%)單調(diào)遞減，所以③錯(cuò)誤；

對(duì)④，

x0(。，芻7137r(當(dāng)，27T)2n

2/竽)2

f(x)0+0-04-2n

/(X)1/nX37r/1

2-T

由上表當(dāng)尤［0,如］時(shí)，/(x)只有兩個(gè)實(shí)根，則ae(—竽，1)U(1,5,所以④錯(cuò)誤.

故選：A.

第11頁(yè)共22頁(yè)

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

（多選）9.（5分）下列說法中正確的是（）

A.AB+BA=0

B.若|a|=|b|且a||b,則］=b

C.若2、b非零向量且以+以=向一b|,則I_Lb

D.若或〃￡則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得％=

解：由互為相反向量，則4B+B4=0,故A正確；

由向=|b|且"IIb,可得I=b或（=-6,故B錯(cuò)誤；

由a、b非零向量且|a+b\=\a-b\,兩邊平方可得滔+2。5+b2=a2-2a*b+&2,即口,

b=0,所以a_Lb,故C正確；

若:〃片且則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得力=底，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

（多選）10.（5分）下列說法正確的有（）

1

A.X?B（",-）,且。（X）=2,則〃=6

3

B.設(shè)有一個(gè)回歸方程y=3-5x,變量x增加1個(gè)單位時(shí)，y平均減少5個(gè)單位

C.線性相關(guān)系數(shù)/?越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱

D.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)盤結(jié)果t服從正態(tài)分布N（1,。2）（。>0）,則P（gWl）=0.5

解：對(duì)于選項(xiàng)4：X?B（?,1D（X）=1^2x?7=2,則〃=9.故錯(cuò)誤.

333

對(duì)于選項(xiàng)B：若有一個(gè)回歸方程y=3-5x,變量x增加1個(gè)單位時(shí)，故y=3-5（x+1）

=3-5x-5.故y平均減少5個(gè)單位，正確.

對(duì)于選項(xiàng)C：線性相關(guān)系數(shù)M越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)系數(shù)仍

越接近于0,兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱，錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)O：在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果t服從正態(tài)分布N（1,o2）（o>0）,由于正態(tài)

曲線關(guān)于x=l對(duì)稱，則P（gWl）=0.5,正確.

故選：BD.

第12頁(yè)共22頁(yè)

（多選）11.（5分）已知拋物線/=與，的焦點(diǎn)為F,M（同，yi）,N（處”）是拋物線上

兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

1

A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（&,0）

B.若直線MN過點(diǎn)F,則xi%2=

TT1

C.若MF=ANF,則的最小值為5

-25

D.若|MF|+|NF|=5，則線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為聯(lián)

48

解：拋物線/=上1的焦點(diǎn)為F（0,-1）,所以A不正確；

根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得：MN過尸時(shí)，則xix2=—白，所以B正確；

若MF=ANF,則的最小值為拋物線的通徑長(zhǎng)，為2p=*,所以C正確；

拋物線/=上的焦點(diǎn)為F（0,點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為產(chǎn)J

過點(diǎn)M、N、尸分別作準(zhǔn)線的垂線MM',NN',PP',

則|NN'|=|NF|,\MM'\+\NN'\=\MF\+\NF\=

所以附”幽華吧.，

所以線段MN的中的P到x軸的距離為|PP，所以。正確；

OOO

故選：BCD.

（多選）12.（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CO-AiBiCiDi中，。為正方體的中心,

M為DDi的中點(diǎn),F為側(cè)面正方形A4O1O內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足81尸〃平面8?！?則（）

第13頁(yè)共22頁(yè)

A.若P為正方體表面上一點(diǎn)，則滿足△0%的面積為十的點(diǎn)有12個(gè)

B.動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是一條線段

C.三棱錐F-的體積是隨點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)而變化的

D.若過4,M,C1三點(diǎn)作正方體的截面。，。為截面。上一點(diǎn)，則線段A1Q長(zhǎng)度的取

值范圍為[竽，2V2]

解：設(shè)為底面正方形的中心，連接A。，A0',00',則AO'=%C=五,00'

=^AAi=l,

：./\OO'4的面積為）?！?00'=挈，所以在底面ABC。上點(diǎn)尸與點(diǎn)0'必重合.

同理正方形BAA\Bi的中心，正方形DCC\D\的中心都滿足，

又當(dāng)點(diǎn)P為各正方體各條棱的中點(diǎn)時(shí)也滿足△。%的面積為子,故A不正確；

如圖，分別取A4,4￡>1的中點(diǎn)”，G連接BiG,GH,HB\,AD\,

因?yàn)镚H//BC\,8iHu平面8GH,CiMu平面2c1M,GHu平面8GH,BCic

平面BCiM,

BCmCiA7=Ci,所以平面BiG“〃平面BC1M,

而8iF〃平面BCiM,所以u(píng)平面81GH,所以點(diǎn)尸軌跡為線段GH,故B正確;

第14頁(yè)共22頁(yè)

由選項(xiàng)B可知，點(diǎn)F的軌跡為線段GH,因?yàn)镚H〃平面BC1M,則點(diǎn)尸到平面的

距離為定值，

又△8GM的面積為定值，從而可得三棱錐尸-BOM的體積是定值，故C不正確；

如圖，設(shè)截面。與平面5AAiB1交于AN,N在BBi上,

因?yàn)榻孛鍯D平面DAAiDi^AM,平面D44。"平面CBB\C\,

所以AM〃NCi,同理可證AN〃例Ci,所以截面4MC1N為平行四邊形，所以點(diǎn)N為

中點(diǎn)，

在四棱錐Ai-AMON中，側(cè)棱4cl最長(zhǎng)，且4。=2位，設(shè)四棱錐Ai-AMC1N的高

為〃,

因?yàn)锳M=MCi=V^,所以四邊形AMCiN為菱形，

所以△AM。的邊AC1上的高為面對(duì)角線的一半，即為夜，又力。=2代，

114

X

=X=---

則SA/iMCt22>/3xV2=V6,VC^-AA^M3^^AAXM*D\C\=323

所以y41TMeIA4MqX?仁凈l=VC.-AA.M=解得仁竽,

綜上，可知線段4。長(zhǎng)度的取值范圍為[竽，2V2],故。正確.

故選：BD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛〃〃｝的前5項(xiàng)和55=20,45=6,則mo=11

解：;｛如｝為等差數(shù)列,

??Ss=5。3=20?

.??。3=4,

?.?。5=6,43=4,

第15頁(yè)共22頁(yè)

2d=as-。3=6-4=2,即d=L

。1o=。5+54=6+5=11.

故答案為：11.

14.(5分)函數(shù)“x)=%+常的圖象在x=l處的切線方程為x-2y+3=0.

解：函數(shù)/。)=乂+磊，可得/(x)=1一口梟，

f(1)=1一芯=與f⑴=1+1=2,

71

所以函數(shù)/(%)=%+的彳的圖象在x=l處的切線方程為：y-2=)(x-l),即x-2y+3

=0.

故答案為：x-2y+3—0.

15.(5分)已知a,b,c是三個(gè)不同的非零向量，若|a|=?且cosVQ,b>=cosv",b>,

則稱"是公關(guān)于力的對(duì)稱向量.已知向量2=(2,3),b=(l,2),則最關(guān)于］的對(duì)稱向量為

/，手)_.(填坐標(biāo)形式).

解：設(shè)工=(x,y),

因?yàn)槿諀=El，所以/+丁=13①，

因?yàn)閏osVa,b>=cos<c,b>,

TTTT

?,abcb

所以=一~h=—一"h,

\c\-\b\

因?yàn)槿諀=El，所以益b=即2+6=x+2)②，

J=6

由①②解得，「一：7或)二;,

TT617

所以Q關(guān)于b的對(duì)稱向量為(g,—).

一617

故答案為：(g,—

16.(5分)已知點(diǎn)P是曲線f=4y上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向x軸引垂線，垂足為“，點(diǎn)。是

曲線》=/心上任意一點(diǎn)，則甲HI+IPQI的最小值為.

解：由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為：y=-l,焦點(diǎn)尸(0,1),

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由題意及拋物線的性質(zhì)可得『”|=|尸回-1,

\PH\+\PQ\^\PF\+\PQ\-\^\QF]-1,

即求|QF|的最小值，設(shè)。(x,live),則|。用2=，+(口”1)2=歷2彳-2歷X+/+1,

設(shè)函數(shù)f(x)—ln2x-2//tv+x2+l,則/(x)=-^+2x=(2x2+2lnx—2),

令g(x)=2x2+2/nx-2,則g'(x)=4x+,>0,g(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞增,

又g(1)=0,，/(x)在(0,I)上單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，

???f(X)min=于(1)=2,

??.|。月的最小值為或，則IPHI+IPQI的最小值為近一1.

故答案為：V2—1.

四、解答題：共70分?解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知｛〃〃｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，且m,2〃3+2〃5,〃3成等差數(shù)列

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的公比；

(2)若對(duì)任意吒N*,〃1+及+…+的<。/恒成立,求m的最小值.

解：(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛板｝的公比為q,q>0,

由2“3+2白5,43成等差數(shù)列，

可得4(〃3+〃5)=41+。3,

即為4/(。1+〃3)=。1+?3,

解得4=*(負(fù)的舍去)；

(2)對(duì)任意〃GN*,m+“2+…恒成立，

。1(1-1

即為J<a即m>2(1-m,

2

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11

由m>0,可得2(1-p)<2,

可得ai22,

所以m的最小值為2.

18.(12分)2021年5月12B,2022北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上

海展覽中心.為了慶祝吉祥物在上海的亮相，某商場(chǎng)舉辦了一場(chǎng)贏取吉祥物掛件的“雙

人對(duì)戰(zhàn)”游戲，游戲規(guī)則如下：參與對(duì)戰(zhàn)的雙方每次從裝有3個(gè)白球和2個(gè)黑球(這5

個(gè)球的大小、質(zhì)量均相同，僅顏色不同)的盒子中輪流不放回地摸出1球，摸到最后1

個(gè)黑球或能判斷出哪一方獲得最后1個(gè)黑球時(shí)游戲結(jié)束，得到最后1個(gè)黑球的一方獲

勝.設(shè)游戲結(jié)束時(shí)對(duì)戰(zhàn)雙方摸球的總次數(shù)為X.

(1)求隨機(jī)變量X的概率分布；

(2)求先摸球的一方獲勝的概率，并判斷這場(chǎng)游戲是否公平.

解：(1)由題可得X的所有可能取值為2,3,4,

211

P(X=2)=/4=而，

2313213213

P(X=3)=EX7X:J+EX才X5+wX7X5=-yx,

P(X=4)=\-P(X=2)-P(X=3)=I，

的分布列為：

X234

133

P———

10105

(2)先摸球的一方獲勝，包含以下幾種情況：

雙方共摸3次球，出現(xiàn)白黑黑，黑白黑，白白白這三種情況，即P(X=3)=磊,

雙方共摸球4次球，出現(xiàn)的恰好是三白一黑且前三次必定出現(xiàn)一次黑球的情形，

期的在n2321.3221.32213

概率為。=5*4*句><2+5*4*4*2+5*4*?*2=訶，

333

...先摸球一的方獲勝的概率為77+—

10105

?.?|>去.?.這場(chǎng)游戲不公平.

19.(12分)如圖，已知OA=10,點(diǎn)5是以。為圓心，5為半徑的半圓上一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)乙4。8=120°時(shí)，求線段A3的值；

第18頁(yè)共22頁(yè)

(2)若△ABC為正三角形，求四邊形OACB面積的最大值.

解：(1)在△AOB中，由余弦定理得：AB2^OA2+OB2-2OAOBcosZAOB=102+52-

1

2x10x5xcosl200=100+25-100x(-1)=175,

所以A8=5夕；

(2)設(shè)NA08=a,所以4解二0^+^爐一2OR。8cosc(=125-lOOcosa,

則5四邊形OACB=SZ\OAB+SZ^BC=?08'sina+孚AB2=*x10x5sina+苧(125-

innx[Q,125x/3.J.■/5、125\/3-zTCx

lOOcosa)=25sma-25V3cosad1——=50n(-sina--77-cosa)dz—=50nsin(a—5)

42，43

,125V3

+-4~，

所以當(dāng)a=等時(shí)，四邊形OACB的面積取得最大值為50+粵I

20.(12分)如圖，在圓錐。0,中，AB為底面圓的直徑，C,力為底面圓上兩點(diǎn)，且四邊形

ACO'。為平行四邊形，過點(diǎn)?！鱁F〃C。，點(diǎn)P為線段OB上一點(diǎn)，且滿足OP=2PB.

(1)證明：C￡>_L平面AOB；

(2)若圓錐OO'的側(cè)面積為底面積的2倍，求二面角B-PF-E的余弦值.

解：(1)證明：在圓錐OO'中，。?！沟酌鎴A。'，

?.?CCu底面圓。;：.OO.LCD,

?.?四邊形AC。'。為平行四邊形，O'A,O'。都是底面圓。，的半徑,

二四邊形ACO'。是菱形，：.O'ALCD,

第19頁(yè)共22頁(yè)

?：0'AC。。'=O,：.CD±^AOB.

(2)在圓錐O。'中，00'_L平面ABC,

又AB,EFu平面ABC,A00'LAB,00'LEF,

以點(diǎn)O'為坐標(biāo)原點(diǎn)，O'尸為尤軸，O'B為y軸，。'。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)圓錐00'的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為R,

由S底=nJ,S側(cè)=2x2TTx/?=n/?r,

由題意S側(cè)=2S底，即7rRr=2nJ,：.R=2r,

不妨令r=3,則R=6,

：.B(0,3,0),￡(-3,0,0),F(3,0,0),P(0,2,V3),

：.BP=(0,-1,V3),PF=(3,-2,-V3),EF=(6,0,0),

設(shè)平面8P/的法向量U=(x,y,z),

TT「

r-t.tBP,TTl——V+73Z—0rr/口T/r^rr^r、

則_>-，取z=l,得?n=(V3/y/3,1),

PF-m=3x—2y—V3z=0

設(shè)平面￡尸尸的法向量為￡=(mb,c),

則［.W=6a=0,取人=71得1=(o,y/3,-2),

(PF-n=3a—2b—V3c=0

設(shè)二面角B-PF-E的大小為0,

則|cosO|=|cos<^,n>\==1=i

|m|-|n|V/,<//

第20頁(yè)共22頁(yè)

1

???二面角8-尸尸-E的余弦值為

x2

21.（12分）己知橢圓C—+，9=].

4

（1）若「（刈，yo）在橢圓。上，證明：直線段+丫0>=1與橢圓C相切;

（2）如圖，A,8分別為橢圓C上位于第一、二象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且以A,8為切點(diǎn)的橢

圓C的切線與x軸圍成△OE只求SgEF的最小值.

XQX_

,+,0=,消去y可得+4(1-華產(chǎn)=4y。2,

{x2+4y2=4

2