2022年河南省濟(jì)源市高考文科數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷及答案解析

2022年河南省濟(jì)源市高考文科數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）設(shè)集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},則（CRA）CB=（）

A.{2}B.{4,5}C.{3,4）D.{2,3}

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z（1+i）=3+2i,則z的共聊復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（5分）若1+140是（x-a）2<4成立的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范

z-X

圍為（）

A.（-8,4]B.[1,4]C.（1,4）D.（1,4]

…、1r,l-tan2a

4.（5分）若sin-a-cos~a=5，則------=（）

zl+tanza

111

A.-4B.-C.-4D.2-V3

225

5.（5分）函數(shù)y=（2f+2-x）如x|的圖像大致為（）

6.（5分）中華人民共和國(guó)國(guó)旗是五星紅旗，旗面為紅色，中國(guó)國(guó)旗尺寸不是統(tǒng)一的，長(zhǎng)寬

比例為3：2.左上方綴五顆黃色正五角星，四顆小星環(huán)拱在一顆大星的右面，并各有一

個(gè)角尖正對(duì)大星的中心點(diǎn)，大、小五角星相似，其外接圓的直徑之比為3：1,相似圖形

和相似三角形性質(zhì)相同.若在該五星圖案內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)來(lái)自大五角星內(nèi)的概率

為（）

第1頁(yè)共26頁(yè)

1939

A.-B.—C.一D.—

510713

7.（5分）正方形ABC。中，尸,Q分別是邊BC,CD的中點(diǎn),/=xAC+yBQ,則x=（）

2x+y>4

8.（5分）已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足條件卜一yNl，則z=x+2y的最小值為（）

,x-2y<2

4

A.-B.4C.2D.3

3

9.(5分)已知〃>b>0,且a+b=l,則下列結(jié)論正確的是()

11

A.In(a-b)>0B.Va+Vd>2C.ba>abD.-+->4

ab

10.(5分)已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞減，若。=-log310,

4

b=Logi8,c=25,則f(a),f(b),f(c)的大小關(guān)系為()

2

A.f(a)>f(c)>f(b)B.f(a)>f(h)>fCc)

C.fCh)>f(?)>/(c)D./(c)>f(a)>/(Z?)

1

11.（5分）已知函數(shù)/（x）=siar+cosx,將y=/（無(wú)）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的&倍

（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖像.若萬(wàn)且g（xi）g（x2）=2,則⑶

-閱的最小值為（）

71

A.-B.ITC.2nD.4ir

2

12.（5分）拋物線(xiàn)方程為/=2川（p>0）,任意過(guò)點(diǎn)M（1,0）且斜率不為0的直線(xiàn)和拋

物線(xiàn)交于點(diǎn)A,B,已知x軸上存在一點(diǎn)N（不同于點(diǎn)M）,且滿(mǎn)足則

點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）

A.（-1,0）B.（-2,0）C.（-p,0）D.（-2p,0）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

x2y2

13.（5分）已知Fi,22是雙曲線(xiàn)=一77=1（">0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，A是其左頂點(diǎn).若

雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)尸滿(mǎn)足3PA=2Pz+PF2,則該雙曲線(xiàn)的離心率為.

14.（5分）在平行四邊形ABCQ中，ZA=45°,AB=&AQ=2,現(xiàn)將平行四邊形A8CQ

沿對(duì)角線(xiàn)3。折起，當(dāng)異面直線(xiàn)AO和8c所成的角為90°時(shí)，AC的長(zhǎng)為.

第2頁(yè)共26頁(yè)

c

---------T>

15.（5分）如圖，ZVIBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是mb,c.已知/+°2=。2+%，則

B=.若線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)E,且BC=4,DE=y[f>.則aSCE的面

積為.

16.（5分）若函數(shù)/（%）=1/—+的最小值為J,則實(shí)數(shù)“的取值范圍

（,2x—2lnx+4+a,x>0

是_______

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三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考

題，個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：

共60分。

17.（12分）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京和張家

口舉行，冰壺比賽將在北京國(guó)家游泳中心“水立方”進(jìn)行，為了落實(shí)“綠色辦奧”的籌

辦理念，冰立方在“水冰轉(zhuǎn)換”中造就了“綠色節(jié)能”的冰壺場(chǎng)館.某研究機(jī)構(gòu)為了了

解大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從大學(xué)生中抽取了男、女各100人進(jìn)行調(diào)查.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，

對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的男生與女生的人數(shù)比為4：3,男生有80人表示對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)感興趣.

（1）完成列聯(lián)表，并分別估計(jì)男、女大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)感興趣的概率；

（2）能否有99%的把握認(rèn)為男、女大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)的興趣有差異？

感興趣沒(méi)興趣

n(ad一兒)

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

尸（犬》左）0.050

10.828

第4頁(yè)共26頁(yè)

18.（12分）已知S"為數(shù)列｛“"｝的刖n項(xiàng)和,且a”>0,4"?+2""=4S”+3,bn~Cl2n-I>Cn=

3n.

（1）求｛“八｝的通項(xiàng)公式；

（2）為數(shù)列｛為｝與｛Cn｝的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序組成新數(shù)列｛4｝,求｛辦｝的前10

項(xiàng)的和.

第5頁(yè)共26頁(yè)

19.(12分)如圖，正三棱柱ABC-A向Ci的底面邊長(zhǎng)為2,A4i=V2.

(1)求證:A1B1B1C；

(2)若點(diǎn)M在線(xiàn)段4B上，且AiA/=2MB,求三棱錐Bi-4CM的體積.

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20.(12分)如圖，A(-V2,0),B分別是橢圓C：—+—=1(a>*>0)的左頂點(diǎn)和上

a2b2

頂點(diǎn)，圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,P為橢圓C上一點(diǎn)，過(guò)A且與AP垂直的直線(xiàn)交圓0于兩點(diǎn)C,

D.若點(diǎn)e)在橢圓C上，其中e為橢圓C的離心率.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求△PC。面積的最大值.

第7頁(yè)共26頁(yè)

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=；/+2xbix.

(1)求函數(shù)y=/(x)的圖像在點(diǎn)(1,/(D)處的切線(xiàn)方程；

(2)若函數(shù)g(x)=x/+(4-a)x-1-f(x)在定義域上無(wú)極值，求正整數(shù)a的最大

值.

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(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分。做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑。［選修4-4：坐標(biāo)

系與參數(shù)方程］

22.(10分)以直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)

4TTT

Ci的極坐標(biāo)方程為。=彘，點(diǎn)M為曲線(xiàn)Ci上的動(dòng)點(diǎn)，OM=kOP(k>0),且滿(mǎn)足0M?

晶=16,點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C2.

(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,g),點(diǎn)B在曲線(xiàn)C2上，求△A8O面積的最大值.

第9頁(yè)共26頁(yè)

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)g(x)=|x|,f(x)=g(3x+3)-g(2x-2),若實(shí)數(shù)“，6滿(mǎn)足。2+房=2.

(1)求不等式f(x)的解集；

(2)證明：對(duì)于任意x€R,都有+6.

第10頁(yè)共26頁(yè)

2022年河南省濟(jì)源市高考文科數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)設(shè)集合A={x|-2VxV4},B={2,3,4,5},貝U(CR4)AB=()

A.{2}B.{4,5}C.{3,4}D.{2,3}

解：VA={x|-2<x<4},.,.CRA={X|XW-2或x24},

：B={2,3,4,5},

(CRA)CB={4,5},

故選：B.

2.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(1+i)=3+萬(wàn)，則z的共輛復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：?:z(1+!)=3+2/

.3+2i(3+2i)(l-i)51.

??z-1+T-(l+i)(l-i)~2~2L,

.*.z=|+

5i

，則z的共加復(fù)數(shù)5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(5，-)在第一象限.

故選：A.

3.(5分)若1+義40是(x-a)2<4成立的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為()

A.(-8,4]B.[L4]C.(1,4)D.(1,4]

解：+(2,3],(x-a)2<4=x€(a-2,a+2),

(CL—2W2

二根據(jù)題意可知(2,3在(a-2,a+2)，；?%+2M3'解得廢(1，4].

故選：D.

4.(5分)若sida-cos2a=義，則^-tana-()

111廠(chǎng)

A.一亍B.—C.一■?1D.2—y/3

225

解：因?yàn)閟in2a-cos2a=g，

第11頁(yè)共26頁(yè)

?,l-tan2a一行2acos2a-sin2a1

則--------=——cosa=-------------=——,

2222

l+tana1,sinacosa+sina2

cos2a

故選：A.

5.(5分)函數(shù)y=(2A'+2-X)加|x|的圖像大致為()

y

解：函數(shù))，=(2X+2'X)ln\x\,因?yàn)閒(-x)=(2f+2'x)ln\-x\=fCx),函數(shù)是偶函數(shù),

排除￡>；xe(0,1)時(shí)，y=(2X+2'X)lnM<0,

排除選項(xiàng)A,C,

故選：B.

6.（5分）中華人民共和國(guó)國(guó)旗是五星紅旗，旗面為紅色，中國(guó)國(guó)旗尺寸不是統(tǒng)一的，長(zhǎng)寬

比例為3：2.左上方綴五顆黃色正五角星，四顆小星環(huán)拱在一顆大星的右面，并各有一

個(gè)角尖正對(duì)大星的中心點(diǎn)，大、小五角星相似，其外接圓的直徑之比為3：1,相似圖形

和相似三角形性質(zhì)相同.若在該五星圖案內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)來(lái)自大五角星內(nèi)的概率

為（）

1939

A.-B.—C.-D.—

510713

解：相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積之比等于邊長(zhǎng)比的平方，

?.?相似圖形和相似三角形性質(zhì)相同，大小五角星外接圓的直徑之比為3：1,

二大小五角星的面積之比為9：1,

設(shè)大五角星的面積為9m則小五角星的面積為a,

則五星圖案的面積之和為9a+4a=13a,

第12頁(yè)共26頁(yè)

9a9

則在該五星圖案內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)來(lái)自大五角星內(nèi)的概率為,

13a13

故選：D.

7.（5分）正方形ABCD,P,Q分別是邊8C,C￡）的中點(diǎn)，心=%￡：+yBQ,則x=（）

解：在正方形A8CZ)中，P,。分別是邊BC,8的中點(diǎn)，

：.AC=AB+AD,APAB+^AD,BQ=-^AB+AD,

2"2

TAP=xAC+yBQ,

：.AP=x^AB+AD)+y(-^AB+AD)=(x-1y)AB+(x+y)AD,

.k一務(wù)=1jx=|

故選：C.

2x+y>4

8.(5分)已知實(shí)數(shù)羽y滿(mǎn)足條件卜—yNl,則z=x+2y的最小值為()

,x-2y<2

4

A.-B.4C.2D.3

3

(2x+y>4

解：由約束條件k―yNl寫(xiě)出可行域如圖，

(X-2y<2

化z=x+2y為y=-5+|,由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)y=-*過(guò)A（2,0）時(shí)，直線(xiàn)在y軸上

的截距最小，z有最小值等于z=2+2X0=2.

故選：C.

第13頁(yè)共26頁(yè)

9.（5分）已知〃>40,且〃+〃=1,則下列結(jié)論正確的是（）

11

A.In(a-h)>0B.\/a+y[b>2C.ha>abD.-+->4

ab

解：,：a>b>0,且〃+%=1,

11

A-<h<l,0</?<4，：.0<a-b<l

22f

/.In(a-b)</?1=0,故A錯(cuò)誤,

令a=0.6,b=0.4,則乃+乃=V5%+VU4V1+1=2,故3錯(cuò)誤,

令/(x)=竽，(O<X<1),

則1(x)=與竺>0,

InaInb

故/(x)在(0,1)遞增，故一>—,

ab

故blna>alnb,故bi0b>lnba,

故小〉〃，故。錯(cuò)誤,

?：a>b>0,

11a+ba+b

A-+1=---+^―卷=%故力正確,

abab=2+9號(hào)*24

故選：D.

10.(5分)已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞減，若〃=-log310,

4

b=logi8,c=25,則f(a),f(/?),f(c)的大小關(guān)系為()

2

A.fCa)>f(c)>f(Z?)B.f(a)>/(/?)>/(c)

C.fCb)>f(a)>/(c)D./(c)>/(〃)>/(/?)

解：由f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞減，

可得/G)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

f(a)=/(-a)=/(log310),/(/?)=/(-b)=f(log28)=f(3),

4

因?yàn)?Vlog310<3,1<25<2,

4

所以/(25)<f(log310)</(3),即/(c)<f(a)v/"),

故選：C.

1

11.(5分)已知函數(shù)/(x)=sinx+cosx,將y=/(x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的5倍

(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(X)的圖像.若X1WX2,且g(M)g(X2)=2,則|.

第14頁(yè)共26頁(yè)

-閩的最小值為()

TC

A.—B.iiC.27TD.4K

2

解：,:fQx)=V2sin(x+a)，

:.g(x)=V2sin(2x+亨)，

(X)的周期為IT,且g(X)max=V2,g(X)min="V2,

■:g(XIAg(X2)=2,

:.g(XI)=g(X2)=&或g(XI)=g(X2)=-V2,

所以I工I-^2|=n+2內(nèi)T,依N,所以=

故選：B.

12.(5分)拋物線(xiàn)方程為)？=2px(p>0),任意過(guò)點(diǎn)M(1,0)且斜率不為0的直線(xiàn)和拋

物線(xiàn)交于點(diǎn)A,B,己知x軸上存在一點(diǎn)N(不同于點(diǎn)M),且滿(mǎn)足N4VM=N8VM,則

點(diǎn)N的坐標(biāo)為()

A.(-1,0)B.(-2,0)C.(-/?,0)D.(-2〃,0)

解：???直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(1,0)且斜率不為0,

?,?設(shè)該直線(xiàn)方程為x=my+l,

當(dāng)“W0時(shí)，聯(lián)立｛；2^2px1'化簡(jiǎn)整理可得，y2-2Pmy-2p=0,p>0,

△=(-2pm)2-4XlX(-2p)=4p2m2+8〃>0恒成立，

設(shè)A(xi,yi),B(X2,>2),N(xo,0),

貝(Jyi+y2=2p〃7W0,)")?=-2p,

4ANM=4BNM,

?7J八日n%1y2日”yi(%2一%0)+、2(%1一久0)

??kAN+kBN=3BP-----+------=0n,即----------------------=0A,

Xi-%0%2To(%1-%0)(^2-^0)

yix2+y2xi-xo(yi+*)=0,則)4(tnyi+1)+y2(/nyi+1)-xo()“+*)=0,

E|J2my\y2+(yi+”)-xo(yi+”)=0,

’出=等詈+1=警薩+1=-2+1=-1,即N(-l,0),

十，2乙mp

當(dāng)w=0時(shí)，A,8兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，顯然/ANM=/BNM恒成立，

綜上所述，N(-1,0).

故選：A.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

第15頁(yè)共26頁(yè)

xy

13.(5分)已知尸i,尸2是雙曲線(xiàn)丁一77=1(。>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是其左頂點(diǎn).若

a2b2

雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)尸滿(mǎn)足3屆=2pzi+PF2,則該雙曲線(xiàn)的離心率為3.

解：令P(x,y),又A(-a,0),F\(-c,0),尸2(c,0),則3(-a-x,-_y)=2

(-c-x,-y)+(c-x,-y),

(-3a-3x,-3y)—(-c-3x,-3y),故-3a-3x=~c-3x,

'.e=-=3.

a

故答案為：3.

14.(5分)在平行四邊形ABC。中，ZA=45°,AB=&AD=2,現(xiàn)將平行四邊形ABCQ

沿對(duì)角線(xiàn)折起，當(dāng)異面直線(xiàn)AO和8c所成的角為90°時(shí)，AC的長(zhǎng)為_(kāi)巡_.

A

解：VZA=45°,AB=V2AD=2,

：.BD2^AB2+AD1-2AB?AD.cos450=2,

：.BD=y/2,J.BDLAD,：.BDLBC,

"：CBLAD,CBLBD,ADQBD^=D,

平面ABD,又BOu平面ABD,

:.CBLBD,

又,：BC=AD=SBD=V2,：.CD^2,

"：ADLBD,ADLBC,BDCBC=B,

平面BCD,又CDu平面BCD,

：.AD±CD,

：.AC=y/AD2+CD2=(VI)2+22=V6,

故答案為：V6.

第16頁(yè)共26頁(yè)

c

111

15.（5分）如圖，△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,已知a+c=b+ac9則

n-

B=_A若線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)交相于點(diǎn)E,且BC=4,但⑥則△叫的面積

為，值一

解：由余弦定理知：cosB=a2籍.,而/+/=廿+3

1

所以cosB=

又0<BVm

貝|JB=百，

CEBC2a

在△BCE中，設(shè)NCE8=6,則一革=—可得CE=磊,

sin-sm3sine

3

a

又AC的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)。，交A8于點(diǎn)E,則NECA=NE4C=*

廣…eDEV2sin0可得cos2=它,

所以sin-=—

2CE222

,,,67T

而ovevn,故—=一,

24

所以CE=2V3,BE=2,

故△BCE的面積為S=^CE'BE=2V3.

JI―

故答案為：2^/3.

16.（5分）若函數(shù)/（乃=]/一Zax+M,X<0的最小值為/,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

（2%—2仇X+4+Q,x>0

第17頁(yè)共26頁(yè)

[0,3]

當(dāng)。<0時(shí)，f(X)的最小值為0,不可能是〃2,???此時(shí)不成立，

故。20,止匕時(shí)當(dāng)X<0時(shí)，f(x)=(X-〃)2的最小值是/(0)=〃2,

當(dāng)x>0時(shí)，/(￡)=2_'=號(hào)11,

則當(dāng)x>l時(shí)，f(x)>0,函數(shù)/(x)為增函數(shù)，

當(dāng)0<%<1時(shí)，，(x)<0,函數(shù)/(x)為減函數(shù)，則當(dāng)x=l時(shí)，/(x)取得極小值f

(1)=2+4+。=6+。，

要使/(X)的最小值為。2,貝1］。2<6+“，即a2-a-6W0,得-2W”W3,此時(shí)0<aW3,

綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是［0,3］,

故答案為：［0,3］.

第18頁(yè)共26頁(yè)

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考

題，個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：

共60分。

17.(12分)第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京和張家

口舉行，冰壺比賽將在北京國(guó)家游泳中心“水立方”進(jìn)行，為了落實(shí)“綠色辦奧”的籌

辦理念，冰立方在“水冰轉(zhuǎn)換”中造就了“綠色節(jié)能”的冰壺場(chǎng)館.某研究機(jī)構(gòu)為了了

解大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從大學(xué)生中抽取了男、女各100人進(jìn)行調(diào)查.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，

對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的男生與女生的人數(shù)比為4：3,男生有80人表示對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)感興趣.

(1)完成列聯(lián)表，并分別估計(jì)男、女大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)感興趣的概率;

(2)能否有99%的把握認(rèn)為男、女大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)的興趣有差異？

2

而ifl-n(ad-bc)

PIJ:八—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P*》k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：(1)對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的男生與女生的人數(shù)比為4：3,男生有80人表示對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)

感興趣，

所以女生有60人對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)感興趣，

第19頁(yè)共26頁(yè)

感興趣沒(méi)興趣

男生8020

女生6040

男大學(xué)生中對(duì)冰壺活動(dòng)感興趣的比率為四=0.8,

100

60

女大學(xué)生中對(duì)冰壺活動(dòng)感興趣的比率為一=0.6,

100

故男大學(xué)生中對(duì)冰壺活動(dòng)感興趣的概率的估計(jì)值為0.8,女大學(xué)生中對(duì)冰壺活動(dòng)感興趣的

概率的估計(jì)值為0.6.

2

(2)99K2-20°x(80x40—60x20)?g524>6635

(2).K-100x100x140x60?*24>6.635,

???有99%的把握認(rèn)為男、女大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)的興趣有差異.

18.（12分）已知為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，且即>0,c/+2a〃=4S〃+3,加=如一1,cn=

3〃.

（1）求｛如｝的通項(xiàng)公式;

（2）為數(shù)列｛加｝與｛Cn｝的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序組成新數(shù)列｛為｝,求｛辦｝的前10

項(xiàng)的和.

解：(1)由W+2an=4S九+3,可知底+i+2an+i=45n+1+3,

兩式相減得硅+1-碎+2(an+1-an)=40n+1，

即=2(q〃+i+a〃)，

因?yàn)?。?gt;0,則?！?1-?！?2,

又嫌+2。1=4sl+3，%>0,

解得41=3,

即｛如｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，

所以｛〃”｝的通項(xiàng)公式。2=3+2(〃-1)=2〃+1.

(2)由(1)知，bn=4n-1,數(shù)列｛d｝與｛5｝的公共項(xiàng)滿(mǎn)足加=Ck,

□M.4.471—1,71—1

即4n—1=o3k,k=-—=n4-—,

72—1

而k,n€N",于是得一^―=m—l(mGN*),

即〃=3〃?-2,此時(shí)k=4，〃-3,wGN*,

因此，b3m.2=C4m.3=12tn-9,

第20頁(yè)共26頁(yè)

即為=12〃-9,數(shù)列｛為｝是以3為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列，

1nvo

令｛“"｝的前〃項(xiàng)和為T(mén)n,則Ao=10x3+己/x12=570,

所以｛4”｝的前10項(xiàng)的和為570.

19.(12分)如圖，正三棱柱ABC-4BC1的底面邊長(zhǎng)為2,AA\=V2.

(1)求證：AiBlBiC；

(2)若點(diǎn)M在線(xiàn)段A13上，且AiM=2M2,求三棱錐ACM的體積.

(1)證明：取AB中點(diǎn)。，連接C￡),B\D,則SLAB,

因?yàn)槠矫鍭BBAi_L平面ABC,平面ABBiAin平面ABC^=AB,

所以CO_L面ABBMi,因?yàn)锳i8u面ABBiAi,

所以CD±A\B,

因?yàn)閠cm/BAiBi=芋，tanz.BB1D=^==竽,

所以=

所以又8i￡>nC￡>=￡),CDLA\B,

所以48_L平面BiC。，又BiCu平面BiCD,

所以AIBLBIC.

=

(2)解：由題可得：^^A1BC

第21頁(yè)共26頁(yè)

所以/LACM=(%-4建建，又點(diǎn)C到平面4B1B的距離為百，

三角形A\B\B的面積為:x2x=>/5,

所以匕;_4[818=WXV2xV3=*，

匕廠(chǎng)2底2>/6

所以/LACM=3X"3~=~9~~9

2A/6

故三楂錐B]-MCM的體積為---.

9

%2y2

20.(12分)如圖，A(-V2,0),8分別是橢圓C：—4-77=1(?>6>0)的左頂點(diǎn)和上

a2b2

頂點(diǎn)，圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,P為橢圓C上一點(diǎn)，過(guò)A且與AP垂直的直線(xiàn)交圓。于兩點(diǎn)C,

D.若點(diǎn)M(l,e)在橢圓C上，其中e為橢圓C的離心率.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求△P(7￡>面積的最大值.

1g2fj2

解：（1）由題意可知，—4--=1，所以f=b2—e2=1—e2,所以tf2=l,

azbzaz

由J=2,

第22頁(yè)共26頁(yè)

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：y+y2=1；

(2)設(shè)直線(xiàn)4P的方程：x=my-V2,直線(xiàn)AC的方程：y=-?n(%+V^),

聯(lián)立方程組卜一my戈，消去尤，整理得(巾2+2)y2-2V2my=0,

+2yz-2=0

解得ZByp=際2y[2m'孫=々淳(m產(chǎn)2-2)'

又。到直線(xiàn)AC的距離距離d=更辿VI,則且加之0,于是|CC|=

Jm2+1

又14Pl=筆拼+◎+皤”呻野

2通問(wèn)"一/,X西阿|X月薪<|x3m2+,2m2

從而,SMCD=±x|CD|x\AP\

m2+2m2+2~m2+2

~3'

當(dāng)且僅當(dāng)3川=2-2序，即*=5，(滿(mǎn)足-1＜相＜1,且/nWO),

綜上可知，△PCD的面積的最大值為4.

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=+2%仇工.

(1)求函數(shù)y=/(x)的圖像在點(diǎn)(1,/(D)處的切線(xiàn)方程；

(2)若函數(shù)g(x)=xex+(4-a)x-\-f(x)在定義域上無(wú)極值，求正整數(shù)a的最大

值.

解：(1)因?yàn)?(x)=#+2x歷X,

所以/(X)=X+2(1+//7JC),

所以/(1)=3,

又/⑴4

所以函數(shù)f(x)在(1,/(1))的切線(xiàn)方程為廣?3(X-1),即)=3x-|.

(2)由題得g(x)=xex-2xlnx—^A-2+(4-ayx-1定義域?yàn)?0＞+°°),

若g(x)=/(x)+(4-“)x-1無(wú)極值，則g'(x)》。恒成立或g'(x)WO恒成立，

①當(dāng)g'(x)20恒成立時(shí)，/(x)=(x+1)/-2(l+/nx)-x+4-a^O,

第23頁(yè)共26頁(yè)

即a-2W即+1)*-2lnx-x恒成立,

所以a-2W[(x+1)-2bvc-X]mint

令〃(x)=(x+1)-2lnx-x,

所以(x)=(x+2)"—,—1=(x+2).―%；2=(x+2)(d―1)(x>0),

令cp(x)="一],

所以(p'(x)="+9>0,

所以(p(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

1

又(P(-)=Ve-2<0,(P(1)=e-1>0,

11

所以存在刈€(-,1)使5(xo)=e"。一;=0，

2xo

當(dāng)居(0,xo)時(shí)，<p(x)<0,hf(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xW(刈，+8)時(shí)，<p(%)>0,hf(x)>