勾股定理的簡單應(yīng)用八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)題典2

2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題勾股定理的簡單應(yīng)用姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．〔2021春?越秀區(qū)校級期中〕如圖，一豎直的木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落地面離木桿底端4米處，木桿折斷之前的高度為〔〕A．7米B．8米C．9米D．12米【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運(yùn)用勾股定理即可求出斜邊，從而得出這棵樹折斷之前的高度．【解析】∵一豎直的木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落地面離木桿底端4米處，∴折斷的局部長為32+∴折斷前高度為5+3＝8〔米〕．應(yīng)選：B．2．〔2021春?天橋區(qū)期末〕如圖，一棵樹從3m處折斷了，樹頂端離樹底端距離4m，那么這棵樹原來的高度是〔〕A．8mB．5mC．9mD．7m【分析】由題意得，在直角三角形中，運(yùn)用勾股定理直接解答即可求出斜邊，進(jìn)而得出答案．【解析】∵AC＝4米，BC＝3米，∠ACB＝90°，∴折斷的局部長為AB=BC∴折斷前高度為BC+AB＝5+3＝8〔米〕．應(yīng)選：A．3．〔2021春?綦江區(qū)期末〕?九章算術(shù)?是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．“折竹抵地〞問題源自?九章算術(shù)?中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高一丈〔一丈＝10尺〕一陣風(fēng)將竹子折斷，某竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，那么折斷處離地面的高度是〔〕A．尺B．尺C．尺D．尺【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，那么斜邊為〔10﹣x〕尺，利用勾股定理解題即可．【解析】設(shè)竹子折斷處離地面x尺，那么斜邊為〔10﹣x〕尺，根據(jù)勾股定理得：x2+62＝〔10﹣x〕2．解得：x＝，∴折斷處離地面的高度為尺，應(yīng)選：D．4．〔2021?西湖區(qū)校級三模〕一個圓桶底面直徑為7cm，高24cm，那么桶內(nèi)所能容下的最長木棒為〔〕A．20cmB．25cmC．26cmD．30cm【分析】圓桶內(nèi)容下的木棒最長時，木棒、圓桶的直徑、桶高三者正好構(gòu)成一個直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】如圖，AC為圓桶底面直徑，CB是桶高，∴AC＝7cm，CB＝24cm，∴線段AB的長度就是桶內(nèi)所能容下的最長木棒的長度，∴AB=AC2+故桶內(nèi)所能容下的最長木棒的長度為25cm．應(yīng)選：B．5．〔2021春?南川區(qū)期末〕放學(xué)以后，紅紅和曉曉從學(xué)校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，假設(shè)紅紅和曉曉行走的速度都是50米/分，紅紅用12分鐘到家，曉曉用16分鐘到家，紅紅家和曉曉家的直線距離為〔〕A．600米B．800米C．1000米D．不能確定【分析】根據(jù)題意畫出圖形，在Rt△AOB中，再利用勾股定理求解即可．【解析】如圖，∵紅紅和曉曉行走的速度都是50米/分，紅紅用12分鐘到家，曉曉用16分鐘到家，∴OA＝50×12＝600〔米〕，OB＝50×16＝800〔米〕，在Rt△AOB中，∵AB2＝OA2+OB2，∴AB=OA應(yīng)選：C．6．〔2021秋?本溪期末〕一根旗桿在離地面3米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部4米處，旗桿折斷之前的高度是〔〕A．5米B．7米C．8米D．9米【分析】如圖，由題意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗桿折斷之前的高度高度就是AC+AB，求出AB即可解決問題．【解析】如圖，由題意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗桿折斷之前的高度高度就是AC+AB．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3米，BC＝4米，∴AB=A∴旗桿折斷之前的高度高度＝AC+AB＝3+5＝8〔米〕，應(yīng)選：C．7．〔2021秋?未央?yún)^(qū)期中〕如圖，在燈塔O的東北方向8海里處有一輪船A，在燈塔的東南方向6海里處有一漁船B，那么AB間的距離為〔〕A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里【分析】由題意可知東北方向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三角形即可．【解析】東北方向和東南方向剛好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝8海里，OB＝6海里，∴AB=OA應(yīng)選：B．8．〔2021春?新豐縣月考〕如圖，高速公路上有A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個效勞站E，使得C、D兩村莊到E站的距離相等，那么AE的長是〔〕km．A．5B．10C．15D．25【分析】根據(jù)題意設(shè)出AE的長為x，再由勾股定理列出方程求解即可．【解析】設(shè)AE＝x，那么BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+〔25﹣x〕2，由題意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+〔25﹣x〕2，解得：x＝15〔km〕，所以，AE＝15km，應(yīng)選：C．9．〔2021?巴中〕?九章算術(shù)?是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個“折竹抵地〞問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？〞意思是：一根竹子，原來高一丈〔一丈為十尺〕，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠(yuǎn)，問：原處還有多高的竹子？〔〕A．4尺B．尺C．5尺D．尺【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，那么斜邊為〔10﹣x〕尺．利用勾股定理解題即可．【解析】設(shè)竹子折斷處離地面x尺，那么斜邊為〔10﹣x〕尺，根據(jù)勾股定理得：x2+32＝〔10﹣x〕2解得：x＝．答：原處還有尺高的竹子．應(yīng)選：B．10．〔2021春?欽州期末〕如圖，甲船以20海里/時的速度從港口O出發(fā)向西北方向航行，乙船以15海里/時的速度同時從港口O出發(fā)向東北方向航行，那么2小時后，兩船相距〔〕A．40海里B．45海里C．50海里D．55海里【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，得兩條船分別走了40，30．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【解析】∵兩船行駛的方向是西北方向和東北方向，∴∠BOC＝90°，兩小時后，兩艘船分別行駛了20×2＝40海里，15×2＝30海里，根據(jù)勾股定理得：302應(yīng)選：C．二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請把答案直接填寫在橫線上11．〔2021春?海珠區(qū)月考〕如圖，李明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m，當(dāng)它把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，那么旗桿的高為12m．【分析】根據(jù)題意設(shè)旗桿的高AB為xm，那么繩子AC的長為〔x+1〕m，再利用勾股定理即可求得AB的長，即旗桿的高．【解析】設(shè)旗桿的高AB為xm，那么繩子AC的長為〔x+1〕m．在Rt△ABC中，∵AB2+BC2＝AC2，∴x2+52＝〔x+1〕2，解得x＝12，∴AB＝12〔m〕．∴旗桿的高12m．故答案是：12．12．〔2021春?雨花區(qū)期末〕如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m的B處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m的A處，那么旗桿折斷局部AB的高度是13m．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理即可直接求出AB．【解析】旗桿折斷后，落地點(diǎn)與旗桿底部的距離為12m，旗桿離地面5m折斷，且旗桿與地面是垂直的，所以折斷的旗桿與地面形成了一個直角三角形，在Rt△ABC中，BC＝5m，AC＝12m，AB2＝BC2+AC2，根據(jù)勾股定理得，AB=BC2+即旗桿折斷局部AB的高度是13m，故答案為：13m．13．〔2021春?長豐縣期中〕如圖，在高3m，樓梯傾角∠ABC為30°的樓梯外表鋪地毯，那么地毯長度為3+33m．【分析】由題意得，地毯的總長度為〔AC+BC〕．根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求出AB的長，再根據(jù)勾股定理可求出BC的長，進(jìn)而求得地毯的長度．【解析】如圖，由題意得，地毯的豎直的線段加起來等于AC，水平的線段相加正好等于BC，即地毯的總長度為〔AC+BC〕，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3m，∠C＝90°，AB＝2AC＝6m∴BC=AB2-A∴AC+BC＝3+33〔m〕．故答案為：3+33．14．〔2021春?電白區(qū)月考〕如下圖，BC是新建快速公路，長度為10km，∠A＝90°，AB＝6km，AC＝8km，一小鎮(zhèn)位于點(diǎn)A，現(xiàn)在該小鎮(zhèn)要修一條公路到達(dá)快速公路，那么修這條公路最短長度為km．【分析】根據(jù)勾股定理得出BC，進(jìn)而利用三角形面積公式解答即可．【解析】過A作AD⊥BC于D，∵∠A＝90°，AB＝6km，AC＝8km，∴BC=AB2∴AD=AB?AC故答案為：．15．〔2021秋?成華區(qū)校級月考〕將一根24cm的筷子，置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱體中，如圖，設(shè)筷子露出在杯子外面長為hcm，那么h的最小值11cm，h的最大值12cm．【分析】當(dāng)筷子與杯底垂直時h最大，當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，據(jù)此可以得到h的取值范圍．【解析】當(dāng)筷子與杯底垂直時h最大，h最大＝24﹣12＝12〔cm〕．當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，此時，在杯子內(nèi)局部=122+故h＝24﹣13＝11〔cm〕．故h的取值范圍是11≤h≤12．故答案為：11cm；12cm．16．〔2021春?越秀區(qū)校級期中〕如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交會，公路PQ上點(diǎn)A處有學(xué)校，點(diǎn)A到公路MN的距離為80m．現(xiàn)有一卡車在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行駛，卡車行駛時周圍100m以內(nèi)都會受到噪音的影響，請你算出該學(xué)校受影響的時間為24秒．【分析】設(shè)卡車開到C處剛好開始受到影響，行駛到D處時結(jié)束，在Rt△ACB中求出CB，繼而得出CD，再由卡車的速度可得出所需時間．【解析】設(shè)卡車開到C處剛好開始受到影響，行駛到D處時結(jié)束了噪聲的影響．那么有CA＝DA＝100m，在Rt△ABC中，CB=1002-∴CD＝2CB＝120〔m〕，那么該校受影響的時間為：120÷5＝24〔s〕．答：該學(xué)校受影響的時間為24秒，故答案為：24．17．〔2021秋?新都區(qū)期末〕如圖，有一直立旗桿，它的上部被風(fēng)從點(diǎn)A處吹折，旗桿頂點(diǎn)B落地，離桿腳6米，修好后又被風(fēng)吹折，因新斷處點(diǎn)D比上一次高1米，故桿頂E著地點(diǎn)比上次近2米，那么原旗桿的高度為10米．【分析】由題中條件，可設(shè)原標(biāo)桿的高為x，進(jìn)而再依據(jù)勾股定理建立方程組，進(jìn)而求解即可．【解析】依題意得BC＝6，AD＝1，CE＝6﹣2＝4，AB＝DE+1設(shè)原標(biāo)桿的高為x米，∵∠ACB＝90°，∴由題中條件可得BC2+AC2＝AB2，即AC2+62＝〔x﹣AC〕2，整理，得x2﹣2ACx＝36①，同理，得〔AC+1〕2+42＝〔x﹣AC﹣1〕2，整理，得x2﹣2ACx﹣2x＝16②，由①②解得x＝10，∴原來標(biāo)桿的高度為10米，故答案為：10．18．〔2021?宿遷〕?九章算術(shù)?中一道“引葭赴岸〞問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？〞題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，高出水面局部BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的C'處〔如圖〕，水深和蘆葦長各多少尺？那么該問題的水深是12尺．【分析】我們可將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如下圖，根據(jù)題意，可知EC′的長為10尺，那么C′B＝5尺，設(shè)蘆葦長AC＝AC′＝x尺，表示出水深A(yù)B，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深．【解析】依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AC＝AC′＝x尺，那么水深A(yù)B＝〔x﹣1〕尺，∵C′E＝10尺，∴C′B＝5尺，在Rt△AC′B中，52+〔x﹣1〕2＝x2，解得x＝13，即蘆葦長13尺，水深為12尺，故答案為：12．三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021秋?二道區(qū)期末〕如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地，AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，求這塊空地鋪滿草坪的面積．【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，求出區(qū)域的面積，即可求出答案．【解析】連接AC，如下圖：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，由勾股定理得：AC=122+∵AC2+BC2＝152+362＝1521，AB2＝392＝1521，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴鋪滿草坪的面積S＝S△ACB﹣S△ADC=12×15×36-12×20．〔2021秋?金川區(qū)校級期末〕如圖，一架m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時BO為m．如果將梯子的底端B外移m，頂端A沿著墻壁也下滑m嗎？【分析】利用勾股定理解答即可．【解析】依題意，得AB＝，BO＝，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，可得：OA=A在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，可得：OC=C∴頂端A沿著墻壁下滑了6﹣＝≠，答：頂端A沿著墻壁沒有下滑m．21．〔2021秋?儀征市期末〕如圖是一個長方形的大門，小強(qiáng)拿著一根竹竿要通過大門．他把竹竿豎放，發(fā)現(xiàn)竹竿比大門高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大門的對角線的長．大門寬4尺，請求出竹竿的長．【分析】根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門高，進(jìn)而解答即可．【解析】設(shè)門高為x尺，那么竹竿的長為〔x+1〕尺，根據(jù)勾股定理可得：x2+42＝〔x+1〕2，即x2+16＝x2+2x+1，解得：x＝，∴門高尺，竹竿的長＝7.5+1＝〔尺〕．22．〔2021春?云夢縣期中〕如圖，某電信公司方案在A，B兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)間的E處修建一座5G信號塔，且使C，D兩個村莊到E的距離相等．AD⊥AB于點(diǎn)A，BC⊥AB于點(diǎn)B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信號塔E應(yīng)該建在離A鄉(xiāng)鎮(zhèn)多少千米的地方？【分析】可以設(shè)AE＝xkm，那么BE＝〔80﹣x〕km，在直角△ADE中根據(jù)勾股定理可以求得DE2，在直角△BCE中根據(jù)勾股定理可以求得CE2，根據(jù)DE＝CE可以求得x的值，即可求得AE的值．【解析】設(shè)AE＝xkm，那么BE＝〔80﹣x〕km，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴△ADE和△BCE都是直角三角形，∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，∴502+x2＝〔80﹣x〕2+302，解得x＝30．答：5G信號塔E應(yīng)該建在離A鄉(xiāng)鎮(zhèn)30千米的地方．23．〔2021秋?南山區(qū)期末〕如圖，小旭放風(fēng)箏時，風(fēng)箏線斷了，風(fēng)箏掛在了樹上．他想知道風(fēng)箏距地面的高度．于是他先拉住風(fēng)箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出1米，