基礎(chǔ)知識和基本方法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

數(shù)學(xué)歸納法證明不等式互動思維導(dǎo)圖根底知識和根本方法數(shù)學(xué)歸納法的根本原理、步驟和使用范圍(1)在數(shù)學(xué)里，常用的推理方法可分為演繹法和歸納法，演繹法一般到特殊，歸納法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫歸納法。在歸納時，如果逐個考察了某類事件的所有可能情況，因而得出一般結(jié)論，那么結(jié)論是可靠的.這種歸納法叫完全歸納法〔通常也叫枚舉法〕如果考察的只是某件事的局部情況，就得出一般結(jié)論，這種歸納法叫完全歸納法.這時得出的結(jié)論不一定可靠。數(shù)學(xué)問題中，有一類問題是與自然數(shù)有關(guān)的命題，因為自然數(shù)有無限多個，我們不可能就所有的自然數(shù)一一加以驗證，所以用完全歸納法是不可能的.然而只就局部自然數(shù)進行驗證所得到的結(jié)論，是不一定可靠的例如一個數(shù)列的通項公式是容易驗證=1，=1，=1，=1，如果由此作出結(jié)論——對于任何+,=1都成立，那是錯誤的.事實上，=25≠1.因此，就需要尋求證明這一類命題的一種切實可行、比擬簡便而又滿足邏輯嚴謹性要求的新的方法——數(shù)學(xué)歸納法.(2)數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，其中遞推思想起主要作用。形象地說，多米諾骨牌游戲是遞推思想的一個模型，數(shù)學(xué)歸納法的根本原理相當(dāng)于有無限多張牌的多米諾骨牌游戲，其核心是歸納遞推.一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用一下兩個步驟：〔1〕證明當(dāng)=〔例如=1或2等〕時命題成立；〔2〕假設(shè)當(dāng)=〔，且≥〕時命題成立，證明當(dāng)=+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟以后，就可以斷定命題對于不小于所有自然數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.自然數(shù)公理〔皮亞諾公理〕中的“歸納公理〞是數(shù)學(xué)歸納法的理論根據(jù)，數(shù)學(xué)歸納法的兩步證明恰是驗證這條公理所說的兩個性質(zhì).數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與自然數(shù)有關(guān)的命題.這里的是任意的正整數(shù)，它可取無限多個值.附錄：下面是自然數(shù)的皮亞諾公理，供有興趣的同學(xué)閱讀.任何一個象下面所說的非空集合N的元素叫做自然數(shù)，在這個集合中的某些元素a與b之間存在著一種根本關(guān)系：數(shù)b是數(shù)a后面的一個“直接后續(xù)〞數(shù)，并且滿足以下公理：①1是一個自然數(shù)；②在自然數(shù)集合中，每個自然數(shù)a有一個確定“直接后續(xù)〞數(shù)a’;③a’≠1,即1不是任何自然數(shù)的“直接后續(xù)〞數(shù)；④由a’=b’推出a=b,這就是說，每個自然數(shù)只能是另一個自然數(shù)的“直接后續(xù)〞數(shù)；⑤設(shè)M是自然數(shù)的一個集合，如果它具有以下性質(zhì)：〔Ⅰ〕自然數(shù)1屬于M,(Ⅱ)如果自然數(shù)a屬于M，那么它的一個“直接后續(xù)〞數(shù)a’也屬于M，那么集合M包含一切自然數(shù).其中第5條公理又叫做歸納公理，它是數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù).(3)數(shù)學(xué)歸納法可以證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，但是，并不能簡單地說所有涉及正整數(shù)的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.例如用數(shù)學(xué)歸納法證明〔1+〕(N)的單調(diào)性就難以實現(xiàn).一般來說，從=到=+1時，如果問題中存在可利用的遞推關(guān)系，那么數(shù)學(xué)歸納法有用武之地，否那么使用數(shù)學(xué)歸納法就有困難.例1-1以下式子對于任意的N都成立嗎？①+=。②=答：經(jīng)檢驗，當(dāng)=1,2,3時①②均成立，但=4時，就不成立了。例1-2用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+++…+=(≠1,〞.在驗證=1成立時，左邊計算的結(jié)果是〔〕A1B1+C1++D1+++解析：左邊從1〔即〕起，每項指數(shù)增加1，到最后一項為，因此=1時，左邊的最后一項為，因此左邊計算的結(jié)果應(yīng)為1++答案：C例1-3用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗證()A.n=1 B.n=2C.n=3D.n=4解析：由題意知n≥3，∴應(yīng)驗證n=3.答案：C例1-4用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+＜(＞1)，在驗證第一步時，左邊的式子應(yīng)是〔〕A1B1+C1++D1+++解析：仔細觀察左邊，它是以1為首相，后一項的分母比前一項增加1，最后一項為，=2時，它的最后一項為，左邊為1++答案：B例1-5用數(shù)學(xué)歸納法證明〔+1〕〔+2〕…〔+〕=213…〔2-1〕〔成立時，從到+1左邊需增乘的代數(shù)式是〔〕AB2〔2+1〕C2+1D解析：要求左邊從到+1左邊需增乘的代數(shù)式可以先寫出=時左邊=〔+1〕〔+2〕…〔+〕，再將左邊式子中的用+1來代入，得出=+1時左邊=〔+2〕〔+3〕…〔+〕〔++1〕〔++2〕，然后比擬兩式，得出需增乘=2〔2+1〕，在寫=+1時左邊的式子時，需要注意左邊式子的結(jié)構(gòu)，它是+1個因式的乘積且后一個因式增加1，要防止重復(fù)和遺漏.答案：B例1-6f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N+,都能使m整除f(n)，那么最大的m的值為()A.30B.26C.36D.6解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜測f(n)能被36整除.證明：(1)n=1,2時，由上得證;(2)設(shè)n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，那么n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)f(k+1)能被36整除由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)都有能使36整除f(n).∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C例1-7用數(shù)學(xué)歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*+.證明：(1)當(dāng)n=1時，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，那么當(dāng)n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42