專題09 軸對稱中的最值模型問題（將軍飲馬）專訓（解析版）

專題09軸對稱中的最值模型問題（將軍飲馬）專訓【題型目錄】題型一求兩條線段和的最小值題型二求兩條線段差的最大值題型三求三條線段和的最小值（雙動點問題）題型四最值問題的實際應用【知識梳理】將軍飲馬中最短路徑問題四大模型一兩定點在直線的異側(cè)問題1作法圖形原理在直線l上找一點P,使得PA+PB的和最小。連接AB，與直線l的交點P即為所求。兩點之間，線段最短，此時PA+PB的和最小。二兩定點在直線的同側(cè)問題2：將軍飲馬作法圖形原理在直線l上找一點P,使得PA+PB的和最小。作B關(guān)于直線l的對稱點C，連AC，與直線l的交點P即為所求?；蹫橹保粌牲c之間，線段最短，此時PA+PB的和AC最小。三兩動點一定點問題問題3：兩個動點作法圖形原理點P在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上找一點C,在OB邊上找一點D,,使得PC+PD+CD的和最小。作P關(guān)于OA的對稱點P1，作P關(guān)于OB的對稱點P2，連接P1P2。兩點之間，線段最短，此時PC+PD+CD的和最小。四造橋選址問題問題4：造橋選址作法圖形原理直線m∥n，在m，n上分別求點M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。將點A鄉(xiāng)向下平移MN的長度得A1，連A1B，交n于點N，過N作NM⊥m于M。兩點之間，線段最短，此時AM+MN+BN的最小值為A1B+MN。注意：本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學可以學習完第3章后再完成該專題訓練．勾股定理公式：a2+b2=c2【經(jīng)典例題一求兩條線段和的最小值】【例1】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？茧A段練習）如圖，在ABC中，，，，是中點，垂直平分，交于點，交于點，在上確定一點，使最小，則這個最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)三角形的面積公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到點A，B關(guān)于直線EF對稱，于是得到AD的長為PB+PD的最小值，即可得到結(jié)論．【詳解】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中點，AD⊥BC于點D，∴S△ABC==60，∴AD=12，設(shè)AD與EF的交點為P，∵EF垂直平分AB，∴點A，B關(guān)于直線EF對稱，∴PA=PB，此時AD的長為PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值為12，故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的運用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．【變式訓練】1．（2023春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，AB=AC=7，AD=8.3，點E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于點F．點P是線段CF上一動點，則EP＋AP的最小值為（）

A．6 B．7 C．7.5 D．8.3【答案】B【分析】連接，由得，，根據(jù)知，當點在線段上時，的最小值是，問題得解．【詳解】解：連接，平分交于點，，，，，且，當點在線段上時，的最小值是，，的最小值為7．故選：

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，其中準確作出點關(guān)于對稱軸對稱的對稱點是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時練習）如圖，在中，，，是的兩條中線，是線段上的一個動點，則下列線段的長等于最小值的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接，只要證明，即可推出，由，推出Q、M、C共線時，的值最小，最小值為的長度．【詳解】解：如圖連接

，是的兩條中線，Q、M、C共線時，的值最小，最小值為的長度故選D．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．3．（2023春·廣東揭陽·七年級惠來縣第一中學?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，作于點D，，點E為邊上的中點，點P為上一動點，則的最小值為．

【答案】【分析】作點關(guān)于的對稱點，延長至，使，連接，交于，此時的值最小，就是的長，證明即可．【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，延長至，使，連接，交于，此時的值最小，就是的長，

，，，，，，，，是等邊三角形，點E為邊上的中點，，，即的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱，最短路徑問題和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出對稱點，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定的靈活運用．4．（2023·廣西防城港·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，點O是的中點，點D是線段上任意一點（不含端點），連接，則的最小值為．

【答案】3【分析】作構(gòu)造，再過點O作交于點D，，所以最小，根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)即可求得的長．【詳解】解∶∵，，∴，∴.如圖，過點C作，過點O作交于點D，

∴，∵，，∴∴，，∴根據(jù)垂線段最短可知：的最小值為：，故答案為3．【點睛】本題考查了最短路徑以及含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造適當?shù)妮o助線．5．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，等邊（三邊相等，三個內(nèi)角都是的三角形）的邊長為，動點D和動點E同時出發(fā)，分別以每秒的速度由A向B和由C向A運動，其中一個動點到終點時，另一個也停止運動，設(shè)運動時間為t，，和交于點F．

(1)在運動過程中，與始終相等嗎？請說明理由；(2)連接，求t為何值時，；(3)若于點M，點P為上的點，且使最短．當時，的最小值為多少？請直接寫出這個最小值，無需說明理由．【答案】(1)與始終相等(2)5(3)7【分析】（1）證明即可；（2）根據(jù)，得到，即，求出即可；（3）作D點關(guān)于的對稱點交于點，連接，交于點P，則，證明為等邊三角形，即可求的值．【詳解】（1）解：由已知可得，，∴，∵是等邊三角形∴，，∴，∴，∴與始終相等；（2）

解：∵是等邊三角形∴，∵，，∴，∵，∴，∴；（3）∵，∴平分，作D點關(guān)于的對稱點交于點，連接，交于點P，

∵，當點三點共線時，有最小值，∴，∵，∴，，∴，又，∴為等邊三角形，∴，∴的最小值為7．【點睛】本題考查動點及等邊三角形的性質(zhì)，利用軸對稱性確定線段，再由等邊三角形的性質(zhì)求解的長是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D，在中，．(1)作的垂直平分線交于點，交于點（保留作圖痕跡）．(2)連接，若，的周長是．①求的長；②在直線上是否存在點，使的值最小，若存在，標出點的位置并求的最小值，若不存在，說明理由．【答案】(1)見解析(2)①6cm；②存在，8cm【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作法作圖即可；（2）①利用線段垂直平分線的性質(zhì)得，可得答案；②根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得點關(guān)于直線的對稱點為點，要使的值最小，則連接與直線的交點即為點，即的最小值即可的長．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）①垂直平分，，的周長，又，；②如圖，垂直平分，點關(guān)于直線的對稱點為點，要使的值最小，則連接與直線的交點即為點，當點與點重合時，最小值，最小值為．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二求兩條線段差的最大值】【例2】如圖，點，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作點A關(guān)于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，在根據(jù)勾股定理求出線段的長，即為PA+PB的最小值，延長AB交MN于點，此時，由三角形三邊關(guān)系可知，故當點P運動到時最大，過點B作由勾股定理求出AB的長就是的最大值，代入計算即可得．【詳解】解：如圖所示，作點A關(guān)于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，∵，，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如圖所示，延長AB交MN于點，∵，，∴當點P運動到點時，最大，過點B作，則，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，即，∴，故選A．【點睛】本題考查了最短線路問題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系．【變式訓練】1．如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當點P與點A重合時，CP-PE=CE，進而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊中，，P是的中線上的動點，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴當點P與點A重合時，CP-PE=CE，∵E是邊的中點，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長關(guān)系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三求三條線段和的最小值（雙動點問題）】【例3】（2021秋·重慶榮昌·八年級校考階段練習）如圖，∠AOB＝30o，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP＝12，在OA上有一動點Q，OB上有一動點R．若△PQR周長最小，則最小周長是(

)A．6 B．12 C．16 D．20【答案】B【詳解】作點P關(guān)于OA的對稱點點E，點P關(guān)于OB的對稱點點F，連接EF分別交OA于點Q，交OB于點R，連接OE、OF，∵P、E關(guān)于OA對稱，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，同理可證OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，∴△OEF是等邊三角形，∴EF=12，∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12．故選B．【變式訓練】1．（2022秋·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，的面積為21，于D，EF是AB邊的中垂線，點P是EF上一動點，周長的最小是等于（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，故點D是BC邊的中點，根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為BP+PD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC∴點D是BC邊的中點∴BD=CD==3∵的面積為21∵EF是線段AB的垂直平分線∴點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A∴AD的長為BP+PD的最小值∴△PBD的周長最小=(BP+PD)+BD=AD+BC=7+3=10故選D．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2021秋·浙江·八年級期中）如圖，，內(nèi)有一定點P，且．在上有一動點Q，上有一動點R．若周長最小，則最小周長是________．【答案】8【分析】先畫出圖形，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出△PQR的周長=EF，再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解．【詳解】解：設(shè)∠POA=θ，則∠POB=30°-θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM，作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN，連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形，∵OA是PE的垂直平分線，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分線，∴FR=RP，∴△PQR的周長=EF，∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=8，即在保持OP=8的條件下△PQR的最小周長為8．故答案為：8．．【點睛】本題考查的是最短距離問題，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出各點的對稱點，即把求三角形周長的問題轉(zhuǎn)化為求線段的長解答．3．（2020秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）最短路徑問題：例：如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．解：只有A、C、B在一直線上時，才能使AC+BC最?。鼽cA關(guān)于直線“街道”的對稱點A′，然后連接A′B，交“街道”于點C，則點C就是所求的點．應用：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.（1）借助直角三角板在下圖中找出符合條件的點B和C．（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周長．【答案】(1)見解析；（2）10【詳解】試題分析：作點關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，連接,與相交于兩點，連接,即為所求．試題解析：作點關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，連接,與相交于兩點，連接,即為所求．此時線段的長度即為周長的最小值連接由對稱性知：為等邊三角形所以三角形的最小周長為10.點睛：屬于將軍飲馬問題，依據(jù)是：兩點之間，線段最短.【經(jīng)典例題四最值問題的實際應用】【例4】（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，的三個頂點都在格點上．

(1)求出的面積；(2)畫出關(guān)于直線對稱的；(3)在直線上畫出點，使得的值最?。敬鸢浮?1)2(2)作圖見解析(3)作圖見解析【分析】（1）利用網(wǎng)格，間接表示出的面積即可得到答案；（2）根據(jù)點的對稱，先作出三個頂點關(guān)于直線的對稱點，再連接頂點即可畫出；（3）由動點最值問題-“將軍飲馬”模型，作出點關(guān)于動點軌跡直線的對稱點，連接，與直線的交點即為所求（連接與直線相交于點也可）．【詳解】（1）解：；（2）解：如圖所示：

即為所求；（3）解：如圖所示：

連接，與直線的交點即為所求（連接與直線相交于點也可）．【點睛】本題考查網(wǎng)格中求三角形面積、復雜作圖-對稱及動點最值問題-“將軍飲馬”，熟練掌握相關(guān)題型解法及對稱作圖是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，兩點在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點，使；(2)在（圖②）直線上找出一點，使的值最??；(3)在（圖③）直線上找出一點，使的值最大．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）連接，作線段的垂直平分線，交直線于點，則點即為所求；（2）作點關(guān)于直線的對稱點，連接，線段與直線交于點，則點即為所求．（也可作關(guān)于直線的對稱點）（3）過點，作直線與直線交于點，則點即為所求．【詳解】（1）如圖①，點P即為所求

此時；（2）如圖②，點P即為所求

此時的值最??；（3）如圖③，點P即為所求

此時最大．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應用，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形．2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點N，交于點M，連接．(1)若，則的度數(shù)是___________度；(2)若．的周長是，①求的長度；②若點P為直線上一點，請你直接寫出周長的最小值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，的周長是．，即可求的長度；②依據(jù)，，即可得到當P與M重合時，，此時最小，進而得出的周長最小值．【詳解】（1）解：，，，，∵是的垂直平分線，，，，，．（2）①，的周長是，即，，，．∴的長度為．②當P與M重合時，的周長最?。碛桑骸?，，∴當P與M重合時，，此時最小值等于的長，∴的周長最小值．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．3．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級重慶八中?？计谀┤鐖D，已知點A，B，C，D是不在同一直線上的四個點，請按要求畫出圖形．(1)作線段和射線；(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)在射線上作；(3)在平面內(nèi)作一點P，使得的和最短．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析．【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應的幾何圖形；（2）根據(jù)幾何語言畫出對應的幾何圖形；（3）連接交于P，根據(jù)兩點之間線段最短可判斷P點滿足條件．【詳解】（1）解：如圖：（2）解：如圖：（3）解：點P即為所求．兩點之間線段最短，要使得的和最短，則點應為線段和線段的交點．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了直線、射線、線段．【重難點訓練】1．（2023春·遼寧阜新·七年級?？茧A段練習）如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是16，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F(xiàn)點，若點D為邊的中點，點M為線段上一動點，則周長的最小值為（

）

A．12 B．8 C．10 D．20【答案】C【分析】連接，由于是等腰三角形，點D是邊的中點，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點C關(guān)于直線的對稱點為點A，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，

∵是等腰三角形，點D是邊的中點，∴，，∴，解得，∵是線段的垂直平分線，∴點C關(guān)于直線的對稱點為點A，∴的長為的最小值，∴周長的最小值為．故選：C．【點睛】本題考查的是軸對稱——最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）如圖，邊長為的等邊中，是上中線且，點在上，連接，在的右側(cè)作等邊，連接，則周長的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意等邊三角形性質(zhì)和全等三角形判定得出，進而作點A關(guān)于直線的對稱點M，連接交于E，此時的值最小，最后依據(jù)周長的最小值求值即可得出答案．【詳解】解：如圖，

∵都是等邊三角形，∴∴∴∴∵∴∴點E在射線上運動()，作點A關(guān)于直線的對稱點M，連接交于，此時的值最小，∵∴是等邊三角形，∴∵∴∴周長的最小值．故選：B．【點睛】本題考查軸對稱最短路徑問題和等邊三角形的性質(zhì)和判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱性質(zhì)得出的值最?。?．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，是下方的一動點，記，的面積分別記為，．若，則線段長的最小值是（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】過點作直線，過點作于點，延長交于點，由圖可知，根據(jù)面積關(guān)系求出長度即可．【詳解】解：如圖，過點作直線，過點作于點，延長交于點．是等腰直角三角形，且，，，，，，點的運動軌跡是直線，，解得，，的最小值為，故選C．【點睛】本題考查了最短距離問題、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識，根據(jù)題意添加相應輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，，，分別是邊，上的定點，，分別是邊，上的動點，記，，當最小時，則關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接交于Q，交于P，則最小，易知，，，，，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接交于Q，交于P，則最小，由軸對稱的性質(zhì)得，，，，，∴．故選：D．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．5．（2022秋·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）如圖．在五邊形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝，在BC、DE上分別找一點M、N，使得的周長最小時，則∠BAE的度數(shù)為（

）A．136° B．96° C．90° D．84°【答案】A【分析】取點A關(guān)于BC的對稱點P，關(guān)于DE的對稱點Q，連接PQ與BC相交于點M，與DE相交于點N，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周長=PQ，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，PQ的長度即為的周長最小值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于求出∠P+∠Q，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可．【詳解】解：如圖，作點A關(guān)于BC的對稱點P，關(guān)于DE的對稱點Q，連接PQ與BC相交于點M，與DE相交于點N，則AM=PM，AN=QN，∴∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，∴周長=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ，由軸對稱確定最短路線，PQ的長度即為的周長最小值，∵∠AMN＋∠ANM＝，∴∵∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，∴∠P+∠Q=，∴，故選：A．【點睛】本題考查了利用軸對稱確定最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，確定出點M、N的位置是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．6．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市真光中學校考開學考試）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點D，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值是（）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】在BA上截取BE=BN，構(gòu)造全等三角形△BME≌△BMN，利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的最小值．【詳解】解：如圖，在BA上截取BE=BN，因為∠ABC的平分線交AC于點D，所以∠EBM=∠NBM，在△BME與△BMN中，所以△BME≌△BMN（SAS），所以ME=MN．所以CM+MN=CM+ME≥CE．因為CM+MN有最小值．當CE是點C到直線AB的距離時，即C到直線AB的垂線段時，CE取最小值此時，∵∠ABC=60°，CE⊥AB，∴∠BCE=30°，∴BE=，∴CE=，故選C．【點睛】本題考查了軸對稱的應用，最短路徑問題，垂線段最短等知識．易錯易混點：解此題是受角平分線啟發(fā)，能夠通過構(gòu)造全等三角形，把CM+MN進行轉(zhuǎn)化，但是轉(zhuǎn)化后沒有辦法把兩個線段的和的最小值轉(zhuǎn)化為點到直線的距離而導致錯誤．規(guī)律與趨勢：構(gòu)造法是初中解題中常用的一種方法，對于最值的求解是初中考查的重點也是難點．7．（2020秋·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，∠AOB＝60°，點P是∠AOB內(nèi)一定點，并且OP＝2，點M、N分別是射線OA，OB上異于點O的動點，當△PMN的周長取最小值時，點O到線段MN的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．1.5【答案】A【分析】分別作點P關(guān)于OB和OA的對稱點和，連接O、O、，則與OB的交點為點，與OA的交點為點，連接P、P，則此時的值即為△PMN的周長的最小值，過點O作OC⊥于點C，求得∠O的值，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：分別作點P關(guān)于OB和OA的對稱點和，連接O、O、，則與OB的交點為點，與OA的交點為點，連接P、P，則此時的值即為△PMN的周長的最小值，過點O作OC⊥于點C，如圖所示：由對稱性可知OP＝O＝O＝2，∵∠AOB＝60°，∴∠＝2×60°＝120°，∴∠＝∠＝30°，∵OP＝2，OC⊥，∴OC＝O＝1；故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以AC為底邊在外作等腰，過點D作的平分線分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．若，，點P是直線DE上的一個動點，則周長的最小值為（

）A．15 B．17 C．18 D．20【答案】A【分析】根據(jù)點A與點C關(guān)于DE對稱，即可得出PC＝PA，當點P與點E重合時，PC＋PB＝PA＋PB＝AB，此時△PBC的周長最小，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AB即可得到△PBC周長的最小值．【詳解】解：∵△ACD是以AC為底邊的等腰三角形，DE平分∠ADC，∴ED垂直平分AC，∴點A與點C關(guān)于DE對稱，∴PC＝PA，如圖所示，當點P與點E重合時，PC＋PB＝PA＋PB＝AB，此時△PBC的周長最小，∵BC＝5，，，∴AB＝2BC＝10∴△PBC周長的最小值為：PB＋PC＋BC＝PB＋PA＋BC＝AB＋BC＝10＋5＝15，故選：A．【點睛】本題主要考查了最短距離問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．9．（2023春·全國·八年級專題練習）在中，，D是邊上一點，，E，F(xiàn)分別是邊上的動點，則的最小值為．【答案】5【分析】延長作，連接，由點到直線的距離可知當時有最小值，根據(jù)30度角的直角三角形性質(zhì)作答即可．【詳解】解：延長作，連接，此時，∵最小，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，故答案為：5．【點睛】本題考查了求最短距離，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·重慶南岸·八年級重慶市廣益中學校校考階段練習）如圖，等腰三角形的底邊長為2，面積是6，腰的垂直平分線分別交，于點E、F，若點D為底邊的中點，點M為線段上一動點，則的周長的最小值為．【答案】7【分析】連接，由于是等腰三角形，點是邊的中點，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點關(guān)于直線的對稱點為點，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，是等腰三角形，點是邊的中點，，，解得，是線段的垂直平分線，點關(guān)于直線的對稱點為點，的長為的最小值，的周長最短．故答案為：7．【點睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點是邊上的一動點．已知，現(xiàn)將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點是邊的中點，則，長度的最小值為．【答案】；．【分析】①根據(jù)的正切值即可求得，再利用三角形的面積公式即可解答；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及點到直線的距離得到點的運動軌跡即可求得的最小值為，【詳解】解：①∵，∴，∴，故答案為：；②當點垂直于時，∵，，∴，∵點是邊的中點，,∴,∴,故答案為：．【點睛】本題考查了銳角三角形函數(shù)，點到直線的最短距離，中點的定義，掌握點到直線的距離是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·八年級課時練習）如圖，，，分別為射線，上的動點，為內(nèi)一點，連接，，．若，則周長的最小值為．【答案】5【分析】首先分別作點P關(guān)于，的對稱點C、D，連接，分別交，于點M、N，連接、、，，易得是等邊三角形，且此時的長即為周長的最小值，繼而求得答案．【詳解】解：如圖所示：分別作點P關(guān)于，的對稱點C、D，連接，分別交，于點M、N，連接、、，，∵點P關(guān)于的對稱點為點C，，，；∵點P關(guān)于的對稱點為點D，，，，，，是等邊三角形，，的周長為：，周長的最小值為5，故答案為：5．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、最短路線問題以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，注意準確確定點M，N的位置是關(guān)鍵．13．（2022秋·全國·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D為AB的中點，E為線段AC上任意一點（不與端點重合），當E點在線段AC上運動時，則DE+CE的最小值為．【答案】/1.5【分析】作構(gòu)造，再過點D作交于點E，，所以最小，根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)即可求得的長．【詳解】解∶如圖，過點C作，過點D作交于點E，∴，∵，，∴∴，∴的最小值為，故答案為．【點睛】本題考查了最短路徑以及含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造適當?shù)妮o助線．14（2022秋·廣東惠州·八年級校考階段練習）如圖，，點，分別在射線，上，且，，點，分別是射線，上的動點，求的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)兩點之間線段最短，作點D和點E的關(guān)于和的對稱點形成等邊三角形即可求解．【詳解】解：如圖所示：作點D關(guān)于的對稱點G，作點E關(guān)于的對稱點H，連接交于點M、交于點N，連接、，此時的值最小．根據(jù)對稱的性質(zhì)可知：，，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴的最小值為3．故答案為：3．【點睛】本題考查了最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是作點D和點E的關(guān)于和的對稱點形成等邊三角形．15．（2022秋·八年級課時練習）如圖，是的角平分線，，垂足為．若，，則的度數(shù)為．【答案】44°/44度【分析】根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)得到AF＝EF，根據(jù)中垂線性質(zhì)得到AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝90°?18°＝72°＝∠BEF，∴AB＝BE，是邊上的中線，∴AF＝EF，是的中垂線，∴AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠BAC＝180°?∠ABC?∠C＝180°?36°?50°＝94°，∴∠BED＝∠BAD＝94°，是的一個外角，∴∠CDE＝94°?50°＝44°，故答案為：44°．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，，是的兩條中線，是上的一個動點，則圖中長度與的最小值相等的線段是．【答案】/EC【分析】如圖，連接，根據(jù)，是的中線，可推出，即可得到，由于是上的一個動點同時結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理可得，根據(jù)兩點之間線段最短，當點、、共線時，的值最小，最小值為線段的長度，即可得解．【詳解】解：如圖，連接，∵，是的中線，∴，，∴垂直平分，∴，∴，∵是上的一個動點，∴，當點、、共線時，的值最小，最小值為線段的長度，即與的最小值相等的線段是．故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱—最短路線問題，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，兩點之間線段最短等知識．解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．17．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，兩點在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點，使；(2)在（圖②）直線上找出一點，使的值最小；(3)在（圖③）直線上找出一點，使的值最大．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）連接，作線段的垂直平分線，交直線于點，則點即為所求；（2）作點關(guān)于直線的對稱點，連接，線段與直線交于點，則點即為所求．（也可作關(guān)于直線的對稱點）（3）過點，作直線與直線交于點，則點即為所求．【詳解】（1）如圖①，點P即為所求

此時；（2）如圖②，點P即為所求

此時的值最小；（3）如圖③，點P即為所求

此時最大．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應用，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形．18（2022秋·北京昌平·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中畫有一段筆直的鐵路及道口A，B和村莊M，N．完成以下作圖．(1)若在村莊N與道口A之間修一條最短的公路，在圖中畫出此公路，并說明這樣畫的理由；(2)若在公路上選擇一個地點P安裝實時監(jiān)控系統(tǒng)，要求點P到村莊N與道口B的距離相等，在圖中標出點P的位置；(3)當一節(jié)火車頭行駛至鐵路上的點Q時，距離村莊N最近．在圖中確定點Q的位置（保留作圖痕跡）；(4)若在道口A或B處修建一座火車站，使得到兩村的距離和較短，應該修在________處．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)B【分析】（1）根據(jù)兩點之間線段最短作圖即可；（2）取中點即可；（3）作N到的垂線段即可；（4）直接根據(jù)圖作答即可．【詳解】（1）理由：兩點之間線段最短．（2）（3）（4）由圖可知M、N到B點距離均小于到A點距離，故答案為：B．【點睛】本題考查了線段中點問題，最短距離問題，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級重慶八中?？计谀┤鐖D，已知點A，B，C，D是不在同一直線上的四個點，請按要求畫出圖形．(1)作線段和射線；(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)在射線上作；(3)在平面內(nèi)作一點P，使得的和最短．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析．【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應的幾何圖形；（2）根據(jù)幾何語言畫出對應的幾何圖形；（3）連接交于P，根據(jù)兩點之間線段最短可判斷P點滿足條件．【詳解】（1）解：如圖：（2）解：如圖：（3）解：點P即為所求．兩點之間線段最短，要使得的和最短，則點應為線段和線段的交點．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了直線、射線、線段．20．（2022秋·湖北宜昌·八年級校考期中）已知，村莊和村莊都位于筆直的小河l同側(cè)，要在河邊建一引水站，使它到村莊，需鋪設(shè)的水管長度之和最小．(1)請畫出引水站的位置，并連接（包括畫圖痕跡）；(2)若不計雜料，所用水管之和為米，且比長米，兩村莊購買水管花費元，約定按長度分攤費用，請計算兩村莊各需付水管購買費多少元？【答案】(1)見解析(2)元；元【分析】（1）先作出點關(guān)