專(zhuān)題11圖形的位似變換與綜合與實(shí)踐 測(cè)量與誤差（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)8種題型2種中考考法）（解析版）

專(zhuān)題11圖形的位似變換與綜合與實(shí)踐測(cè)量與誤差（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)8種題型2種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.位似圖形的概念（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.圖形的放大與縮?。ㄖ攸c(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.平面直角坐標(biāo)系中圖形的位似變換知識(shí)點(diǎn)4.利用相似三角形解決測(cè)量問(wèn)題（重點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.利用位似圖形求圖形的面積、周長(zhǎng)等。題型2.畫(huà)位似圖形題型3.確定位似中心題型4.平面直角坐標(biāo)系中的位似圖形題型5.利用相似三角形解決測(cè)量問(wèn)題題型6.利用位似圖形解決實(shí)際問(wèn)題題型7.位似與相似、函數(shù)的綜合運(yùn)用題型8.規(guī)律探究題【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.位似變換考法2.相似三角形的應(yīng)用【方法五】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】學(xué)會(huì)用位似變換把一個(gè)圖形放大或縮小，了解平面直角坐標(biāo)系下位似變換圖形坐標(biāo)的特點(diǎn)。了解相似變換、位似變換，位似圖形及其有關(guān)概念。掌握常用的測(cè)量物體高度的方法，并會(huì)用這些方法測(cè)量物體的高度?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.位似圖形的概念（重點(diǎn)）1）兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。這時(shí)的相似比又稱為位似比。相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒(méi)有；②位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒(méi)有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。2）相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒(méi)有；②位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒(méi)有。聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。4)、位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于相似比?！纠?】（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，下面三組圖形中，位似圖形有（）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：三組圖形都是相似圖形，第一組和第三組圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所在的直線經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，第二組圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所在的直線不經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，第一組和第三組圖形是位似圖形，第二組不是位似圖形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形，熟練掌握位似圖形必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①兩個(gè)圖形是相似圖形；②兩個(gè)相似圖形每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，二者缺一不可．【變式】（2023·河北保定·?？家荒＃┤鐖D，與都是等邊三角形，固定，將從圖示位置繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．總與位似B．與不會(huì)位似C．當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，與位似D．存在的兩個(gè)位置使得與位似【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的定義判斷即可．【詳解】與都是等邊三角形，總與相似．在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，只有當(dāng)點(diǎn)落在線段和線段的延長(zhǎng)線上，和相交于點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，只有當(dāng)點(diǎn)落在線段和線段的延長(zhǎng)線上，與位似．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形的定義，熟練掌握位似圖形的定義是解本題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)2.圖形的放大與縮?。ㄖ攸c(diǎn)）利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過(guò)位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過(guò)位似變換把原圖形縮小。畫(huà)位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長(zhǎng)（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長(zhǎng)）；③根據(jù)相似比確定各線段的長(zhǎng)度；④順次連接上述個(gè)點(diǎn)，得到圖形?！纠?】（2021春·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，而縱坐標(biāo)分別都變化為原來(lái)的，那么所得的圖形與原圖形相比()A．形狀不變，圖形縮小為原來(lái)的一半B．形狀不變，圖形放大為原來(lái)的2倍C．整個(gè)圖形被橫向壓縮為原來(lái)的一半D．整個(gè)圖形被縱向壓縮為原來(lái)的一半【答案】D【詳解】試題解析：∵一個(gè)圖形上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，而縱坐標(biāo)分別都變化為原來(lái)的，∴整個(gè)圖形被縱向壓縮為原來(lái)的一半故選D．考點(diǎn)：位似變換．知識(shí)點(diǎn)3.平面直角坐標(biāo)系中圖形的位似變換在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，畫(huà)一個(gè)與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則位似圖形上與它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx，ky)或(-kx，-ky).【例3】（2022秋·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或解答．【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，以原點(diǎn)為位似中心將縮小，位似比為，∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：或，即或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-位似變換，熟知位似變換規(guī)則是解答的關(guān)鍵．【變式】（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的位似圖形，已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)面積比可得相似比為，然后可得答案．【詳解】解：∵，∴和的相似比為，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了位似圖形的性質(zhì)，此題比較簡(jiǎn)單，注意在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．知識(shí)點(diǎn)4.利用相似三角形解決測(cè)量問(wèn)題（重點(diǎn)）（1）利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度．①測(cè)量原理：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．②測(cè)量方法：在同一時(shí)刻測(cè)量出參照物和被測(cè)量物體的影長(zhǎng)來(lái)，再計(jì)算出被測(cè)量物的長(zhǎng)度．（2）利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）．①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測(cè)量方法：通過(guò)測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．（3）借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度．利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．【例4】（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥壽春中學(xué)校考期中）如圖，身高為的小明想測(cè)量一下操場(chǎng)邊大樹(shù)的高度，他沿著樹(shù)影由B到A走去，當(dāng)走到C點(diǎn)時(shí)，他的影子頂端正好與樹(shù)的影子頂端重合，測(cè)得，，于是得出樹(shù)的高度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∵小明與大樹(shù)都與地面垂直，∴，∴，即，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，判斷出相似三角形，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式是解題的關(guān)鍵．【變式】（2022秋·安徽蚌埠·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，在井口A處立一垂直于井口的木桿，從木桿的頂端B觀測(cè)井水水岸D，視線與井口的直徑交于點(diǎn)E，若測(cè)得米，米，米，則水面以上深度為（

）A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米【答案】B【分析】由題意可得，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式即可求得．【詳解】解：由題意可知：，∴，∴，∵米，米，米，∴，解得，∴水面以上深度CD為3米．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【方法二】實(shí)例探索法題型1.利用位似圖形求圖形的面積、周長(zhǎng)等。1.（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若，的周長(zhǎng)為15，則的周長(zhǎng)為（

）

A．10 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到，根據(jù)得到相似比為：，再結(jié)合三角形的周長(zhǎng)比等于相似比即可得到答案．【詳解】解：∵與是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形∴的周長(zhǎng)為15，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系，熟記相似圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2.（2023·重慶·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，若，的面積為2，則的面積為（

）

A．4 B．6 C．8 D．18【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到，根據(jù)得到相似比，再結(jié)合相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得到答案．【詳解】解：與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，，，，，，，的面積為2，的面積為18，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系，熟記相似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形與矩形位似，位似中心是原點(diǎn)，若點(diǎn)，，則矩形與矩形的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)位似比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵矩形與矩形位似，位似中心是原點(diǎn)，而點(diǎn)，，∴，∴它們的相似比為，∴矩形與矩形的面積比為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形，相似多邊形的性質(zhì)．熟練掌握位似比等于相似比，是解題的關(guān)鍵．4．（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）正方形ODEF與正方形OABC位似，點(diǎn)O為位似中心，，則正方形ODEF與正方形OABC的周長(zhǎng)比為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或，得，再求正方形ODEF與正方形OABC的周長(zhǎng)比．【詳解】解：∵正方形ODEF與正方形OABC位似，，∴，正方形ODEF與正方形OABC的周長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．題型2.畫(huà)位似圖形5．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考二模）如圖所示，在學(xué)習(xí)《圖形的位似》時(shí)，小華利用幾何畫(huà)板軟件，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出了的位似圖形．

(1)僅借助不帶刻度的直尺，在圖1中標(biāo)出與的位似中心M點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡），并寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)________；(2)若以點(diǎn)O為位似中心，僅借助不帶刻度的直尺，在圖2中畫(huà)出在y軸左側(cè)的位似圖形，且與的相似比為；(3)在（2）中，若邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)在在上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】(1)圖見(jiàn)解析，(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接，它們的交點(diǎn)為M點(diǎn)，然后寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（3）利用位似圖形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)M為所作，M點(diǎn)的坐標(biāo)為；

故答案為：；（2）解：如圖，為所作．

（3）解：∵若邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)在在上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．也考查了位似的性質(zhì)．題型3.確定位似中心6.（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）把放大為原圖形的2倍得到，則位似中心可以是（

）A．G點(diǎn) B．F點(diǎn) C．E點(diǎn) D．D點(diǎn)【答案】B【分析】如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，據(jù)此解答即可．【詳解】由位似中心的定義可知，此位似中心可以是點(diǎn)F，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了位似中心，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握位似中心的定義．7.（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，則位似中心是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】找位似圖形的位似中心直接連接位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即所找位似中心，寫(xiě)出坐標(biāo)即可．【詳解】作圖如下：延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為(7,0)，位似中心即為(7,0)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了找位似圖形的位似中心，理解位似中心的定義做出圖像是做出本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·山西太原·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形．位似中心是（）A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1）【答案】C【分析】連接兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的交點(diǎn)即為位似中心．【詳解】解：如圖，點(diǎn)E即為位似中心，E（10，0），故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了位似中心的定義：位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的交點(diǎn)即為位似中心，熟記定義是解題的關(guān)鍵．9．（2021春·湖北武漢·九年級(jí)華中科技大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圖中的兩個(gè)三角形是位似圖形，則它們的位似中心是（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)S【答案】A【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：如圖所示：圖中的兩個(gè)三角形的位似中心是點(diǎn)P．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型4.平面直角坐標(biāo)系中的位似圖形10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，請(qǐng)按下列要求畫(huà)圖：（1）將先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度、再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，畫(huà)出，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）以點(diǎn)為位似中心將放大倍，得到，畫(huà)出并寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題目中給出的平移方式，描點(diǎn)畫(huà)圖即可；（2）根據(jù)相似比找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)和即可．【解析】（1）根據(jù)題意可得：∴（2）根據(jù)題意可得：∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的平移變換，位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，已知圖中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，若與是位似圖形且頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

(1)在圖中畫(huà)出位似中心的位置，并寫(xiě)出位似中心的坐標(biāo)；(2)與的位似比為_(kāi)_________，面積比為_(kāi)_________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）連接、，兩線相交于點(diǎn)D，根據(jù)位似中心的概念、結(jié)合圖形解答即可；（2）根據(jù)，，即可得出相似比和面積比．【詳解】（1）解：如圖，位似中心的坐標(biāo)為：．

（2）解：∵，，∴與的位似比為：，與的面積比為：．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線所在直線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．題型5.利用相似三角形解決測(cè)量問(wèn)題12．如圖，花叢中有一路燈.在燈光下，小明在點(diǎn)D處的影長(zhǎng)，沿方向行走到達(dá)點(diǎn)G，，這時(shí)小明的影長(zhǎng).如果小明的身高為1.7m，求路燈的高度.（精確到0.lm)【答案】路燈的高度約為6.0m【分析】根據(jù)AB⊥BH，CD⊥BH，F(xiàn)G⊥BH，可得：△ABE∽△CDE，則有和，而CD=FG，即可得=，從而求出BD的長(zhǎng)，再代入前面任意一個(gè)等式中，即可求出AB．【解析】由題意，得，，，∴.∴.∴.①同理，，∴.②又∵，∴由①，②可得，即，解得.將代入①，得.故路燈的高度約為6.0m.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解這道題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，本題只要把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．13.為了測(cè)量校園水平地面上一棵不可攀的樹(shù)的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組做了如下探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計(jì)如下圖所示的測(cè)量方案：把一面很小的鏡子水平放置在離B（樹(shù)底）8.4米的點(diǎn)E處，然后沿著直線BE后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹(shù)梢頂點(diǎn)A，再用皮尺量得DE=3.2米，觀察者目高CD=1.6米，求樹(shù)AB的高度．【答案】樹(shù)AB的高度為4.2米分析：先過(guò)E作EF⊥BD于點(diǎn)E，再根據(jù)入射角等于反射角可知，∠1=∠2，故可得出∠DEC=∠AEB，由CD⊥BD，AB⊥BD可知∠CDE=∠ABE，進(jìn)而可得出△CDE∽△ABE，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出大樹(shù)AB的高度．【解析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)E，則∠1=∠2，∵∠DEF=∠BEF=90°，∴∠DEC=∠AEB，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠CDE=∠ABE=90°，∴△CDE∽△ABE，∴=，∵DE=3.2米，CD=1.6米，EB=8.4米，∴=，解得AB=4.2（米）．答：樹(shù)AB的高度為4.2米．點(diǎn)睛：此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出△CED∽△AEB，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出結(jié)論.題型6.利用位似圖形解決實(shí)際問(wèn)題14．（2023秋·山西忻州·九年級(jí)?？计谀╅喿x與思考下面是某興趣小組的一次實(shí)踐活動(dòng)記錄：興趣小組札記2022年×月×日，在數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展的活動(dòng)中，小華給每位同學(xué)發(fā)了一張扇形紙片，并要求大家按照下面的做法畫(huà)出一個(gè)正方形，使得正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別落在扇形半徑，和上．小李的做法如下：如圖1，先在扇形內(nèi)畫(huà)出正方形，使得C，D兩點(diǎn)在上，點(diǎn)F在上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G分別作于點(diǎn)J，交于點(diǎn)H，再作于點(diǎn)I．

(1)猜想證明：請(qǐng)問(wèn)小李畫(huà)出的四邊形是正方形嗎？如果是，請(qǐng)給出你的證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)實(shí)踐操作：如圖2，給定銳角三角形，畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)寬比為的矩形，使得點(diǎn)D，E位于邊上，點(diǎn)F，G分別位于邊，上．【分析】（1）由作法可得四邊形與四邊形是位似圖形，位似中心為點(diǎn)，由于四邊形為正方形，所以四邊形是正方形；（2）先在內(nèi)畫(huà)出矩形，使得H，I兩點(diǎn)在上，點(diǎn)K在上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F分別作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)G，再作于點(diǎn)D．【詳解】（1）解：四邊形是正方形，理由是：，，，，四邊形是矩形，四邊形是正方形，邊與矩形的邊在同一條直線上，∴，，，，，，，．，．．又，．四邊形是正方形；（2）如圖，矩形即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．15．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)三國(guó)時(shí)期的杰出數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)，巧妙地運(yùn)用弦圖證明了勾股定理．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，將弦圖放大，使點(diǎn)A，B，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，．

(1)與的比值為；(2)補(bǔ)全弦圖．【分析】（1）觀察正方形和正方形的關(guān)系得到答案．（2）按要求補(bǔ)全圖形即可．【詳解】（1）解：觀察正方形和正方形可知，，，，，正方形放大為原來(lái)的2倍即得正方形，與的比值為2；故答案為：2；（2）補(bǔ)全弦圖如下：

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解弦圖證明勾股定理．16．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，嘉琪用手機(jī)設(shè)計(jì)了動(dòng)畫(huà)，光點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)；光點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，在點(diǎn)P的正下方沿拋物線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)時(shí)，P、Q第一次相遇．

(1)①P、Q第一次相遇時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______；②求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)P、Q相遇后，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)保持不變，點(diǎn)Q沿與形狀相同的拋物線（如圖）運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q仍在點(diǎn)P的正下方，再次相遇時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)時(shí)，光點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到拋物線的最低點(diǎn)，求點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，距離不超過(guò)2的時(shí)間；(3)在（2）的條件下，P、Q運(yùn)動(dòng)結(jié)束后，嘉琪用手機(jī)截圖、后，發(fā)現(xiàn)屏幕上有一個(gè)黑點(diǎn)K（位置固定），剛好落在平面直角坐標(biāo)系的位置，嘉琪通過(guò)手機(jī)觸屏功能將與橫向、縱向同時(shí)放大a倍，使點(diǎn)K落在或上（放大過(guò)程中不改變坐標(biāo)原點(diǎn)的位置），直接寫(xiě)出符合條件的a的值．【答案】(1)①②解析式：，頂點(diǎn)坐標(biāo)(2)點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，距離不超過(guò)2的時(shí)間為秒；(3)的值為或．【分析】（1）①由，可得、第一次相遇時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②用待定系數(shù)法得拋物線的解析式解析式為；即可得物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；（2）設(shè)拋物線的解析式為，用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為，分別求出當(dāng)在拋物線上，點(diǎn)、距離不超過(guò)2的時(shí)間和當(dāng)在拋物線上，點(diǎn)、距離不超過(guò)2的時(shí)間，再相加即可；（3）由拋物線的解析式為，拋物線的解析式為，可知將與橫向、縱向同時(shí)放大倍后，拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)放大倍后，拋物線的解析式為，用待定系數(shù)法可得放大倍后，拋物線的解析式為，把代入得，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故不可能在放大倍后的拋物線上；同理可得放大倍后，拋物線的解析式為，把代入可解得或．【詳解】（1）解：①，，、第一次相遇時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案為：；②把，代入得：，解得：，拋物線的解析式解析式為；，物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；（2）解：設(shè)拋物線的解析式為，當(dāng)時(shí)，光點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拋物線的最低點(diǎn)，，，，把代入得：，解得：，拋物線的解析式為，當(dāng)在拋物線上，點(diǎn)、距離為2，則，解得：或（不符合題意，舍去），當(dāng)在拋物線上，點(diǎn)、距離不超過(guò)2的時(shí)間為（秒；當(dāng)在拋物線上，點(diǎn)、距離為2，則，解得：或，由對(duì)稱性可知，停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，的橫坐標(biāo)為9，當(dāng)在拋物線上，點(diǎn)、距離不超過(guò)2的時(shí)間為（秒；點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，距離不超過(guò)2的時(shí)間為（秒；（3）解：由（1）（2）知，拋物線的解析式為，拋物線的解析式為，將與橫向、縱向同時(shí)放大倍后，拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)放大倍后，拋物線的解析式為，將代入得：，，，，放大倍后，拋物線的解析式為，把代入得：，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，不可能在放大倍后的拋物線上；同理設(shè)放大倍后，拋物線的解析式為，將代入得：，，，，放大倍后，拋物線的解析式為，把代入得：，解得或，綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，位似變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)相等的長(zhǎng)度．題型7.位似與相似、函數(shù)的綜合運(yùn)用17.如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止．（1）求經(jīng)過(guò)幾秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的25（2）經(jīng)過(guò)幾秒，△PCQ與△ABC相似？【分析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，△PCQ的面積等于△ABC面積的25，根據(jù)三角形的面積和已知列出方程，求出方程的解即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定得出兩種情況，再求出t【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，△PCQ的面積等于△ABC面積的2512?2x?(8-x)=12×10×8×25，解得：x答：經(jīng)過(guò)4秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的25（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒，△PCQ與△ABC相似，因?yàn)椤螩＝∠C，所以分為兩種情況：①PCBC=CQAC，2t②PCAC=CQBC，2t答：經(jīng)過(guò)167秒或4013秒時(shí)，△PCQ與△【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，直角三角形，相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能得出關(guān)于x的方程是解（1）的關(guān)鍵，能求出符合的所有情況是解（2）的關(guān)鍵．題型8.規(guī)律探究題18.如圖所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點(diǎn)D由點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BDE的面積為7.5cm2；（2）在點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)中，是否存在時(shí)間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)求三角形BDE邊BE的高即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)分兩種情況說(shuō)明即可．【解答】解：（1）分別過(guò)點(diǎn)D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足為F、G；如圖；∴DF∥AG，DFAG=BDAB∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴DF6=10-t10解得DF=3∵S△BDE=12BE?DF＝7.5∴35（10﹣t）?t＝15解得t＝5．答：t為5秒時(shí)，△BDE的面積為7.5（2）存在．理由如下：①當(dāng)BE＝DE時(shí)，△BDE∽△BCA，∴BEAB=BDBC即t②當(dāng)BD＝DE時(shí)，△BDE∽△BAC，BEBC=BDAB即t答：存在時(shí)間t為5013或8013秒時(shí)，使得△BDE與△【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是動(dòng)點(diǎn)變化過(guò)程中形成不同的等腰三角形．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.位似變換1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3×2，2×2），即（6，4），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．2．（2023?朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．3．（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點(diǎn)O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，則第一象限內(nèi)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為．【分析】根據(jù)四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，可得四邊形OA′B′C′與四邊形OABC的位似比是2：1，進(jìn)而得出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得第一象限內(nèi)點(diǎn)B′的坐標(biāo)．【解答】解：∵四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點(diǎn)O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，∴四邊形OA′B′C′與四邊形OABC的位似比是2：1，∵點(diǎn)B（2，3），∴第一象限內(nèi)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，6）．故答案為：（4，6）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣位似變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．4．（2023?阜新）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△ABC和△DEF的面積比是．【分析】先利用位似的性質(zhì)得到△ABC∽△DEF，相似比為2：3，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．【解答】解：∵△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，位似比為2：3，∴△ABC∽△DEF，相似比為2：3，∴△ABC與△DEF的面積之比為22：32＝4：9．故答案為：4：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．5．（2023?盤(pán)錦）如圖，△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點(diǎn)O為位似中心，將△ABO縮小為原來(lái)的，得到△A′B′O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為．【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，把△ABC縮小為原來(lái)的，可以得到△A'B'O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，6），∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（，2）或（﹣，﹣2）．故答案為：（，2）或（﹣，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．考法2.相似三角形的應(yīng)用6．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【解答】解：如圖：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．7．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，用一個(gè)卡鉗（AD＝BC，＝＝）測(cè)量某個(gè)零件的內(nèi)孔直徑AB，量得CD長(zhǎng)度為6cm，則AB等于cm．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝6cm，∴AB＝6×3＝18（cm），故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，求出AB的值是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023?濰坊）在《數(shù)書(shū)九章》（宋?秦九韶）中記載了一個(gè)測(cè)量塔高的問(wèn)題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過(guò)竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為米．【分析】過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，從而可得∠DGF＝∠BHF＝90°，DG＝5.6米，然后證明A字模型相似三角形△FDG∽△FBH，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出BH的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)H，由題意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度為18.2米，故答案為：18.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）《墨經(jīng)》最早述及的小孔成像，是世界上最早的關(guān)于光學(xué)問(wèn)題的論述．如圖是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中所標(biāo)注的尺寸，這支蠟燭在暗盒中所成的像的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】據(jù)小孔成像原理可知，利用它們的對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出之長(zhǎng)．【詳解】解：如圖過(guò)O作直線，交于F，

依題意，∴，∴，由可以得，∵分別是它們的高，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解小孔成像原理給我們帶來(lái)的已知條件，還有會(huì)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．2．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的，可以得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B．或C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：以原點(diǎn)O為位似中心，把縮小為原來(lái)的，得到，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即點(diǎn)坐標(biāo)為或，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的比等于或．3．（2022秋·安徽蚌埠·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形和四邊形是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若四邊形與四邊形的面積比為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的概念、相似多邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形和四邊形是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，四邊形和四邊形的面積比為，∴，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，以O(shè)為位似中心，與位似，若B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化，可求出與的位似比為，進(jìn)而可求出點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】∵，，∴，．∵與位似，且O為位似中心，∴．∵，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化—位似變換．根據(jù)題意求出位似比是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，與的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且兩個(gè)三角形位似，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則位似中心的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)D、B作直線，點(diǎn)E、C作直線，點(diǎn)O、A作直線，三條直線相交于一點(diǎn)，則點(diǎn)G即為所求．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)即為所求，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-位似變換，熟練掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是趙師傅利用一塊三角形的白鐵皮剪成一塊正方形鐵皮備用．在△ABC中，BC＝120，高AD＝80，正方形EFGH的邊GH在邊BC上，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為（

）A．36 B．42 C．48 D．54【答案】C【分析】根據(jù)正方形邊的平行關(guān)系，得出對(duì)應(yīng)的相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BEH∽△BAD，從而得出邊長(zhǎng)之比，得到，進(jìn)而求出正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為x在正方形EFGH中，EF∥BC，EH∥AD∴∠AEF=∠ABC，∠EAF=∠BAC；∠BHE=∠BDA，∠B=∠B∴△AEF∽△ABC，△BEH∽△BAD∴∴∴解得：x＝48即：正方形零件的邊長(zhǎng)為48；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查綜合考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用以及正方形的有關(guān)性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）如圖，放映幻燈片時(shí)，通過(guò)光源，把幻燈片上的圖形放大到屏幕上．若光源到幻燈片的距離為光源，到屏幕的距離為，且幻燈片中圖形的高度為，則屏幕上圖形的高度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，先證明，再根據(jù)“相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比”求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，由題意得，，，光源到幻燈片的距離為光源，到屏幕的距離為，點(diǎn)A到的垂線段的長(zhǎng)為，點(diǎn)A到的垂線段的長(zhǎng)為，，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用“相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比”是解答此題的關(guān)鍵．8．（2023秋·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到，得到，進(jìn)而求出，根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，∴，，∴，與的相似比為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．9．（2022秋·安徽宣城·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時(shí)液面（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出兩個(gè)高腳杯液體的高度，再通過(guò)三角形相似，建立其對(duì)應(yīng)邊的比與對(duì)應(yīng)高的比相等的關(guān)系，即可求出AB．【詳解】解：由題可知，第一個(gè)高腳杯盛液體的高度為：15-7=8（cm），第二個(gè)高腳杯盛液體的高度為：11-7=4（cm），因?yàn)橐好娑际撬降?，圖1和圖2中的高腳杯是同一個(gè)高腳杯，所以圖1和圖2中的兩個(gè)三角形相似，∴，∴（cm），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，與圖形建立關(guān)聯(lián)，能靈活運(yùn)用相似三角形的判定得到相似三角形，并能運(yùn)用其性質(zhì)得到相應(yīng)線段之間的關(guān)系等，本題對(duì)學(xué)生的觀察分析的能力有一定的要求．10．（2020秋·安徽安慶·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓桌上方的燈泡（看作一個(gè)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射桌面后，在地面形成陰影，已知桌面的直徑為，桌面距離地面，若燈泡距離地面，則地面上陰影部分面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】欲求投影圓的面積，可先求出其直徑，而直徑可通過(guò)構(gòu)造相似三角形，由相似三角形性質(zhì)求出．【詳解】解：構(gòu)造幾何模型如圖：

依題意知，，∴，∴，即，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．二、填空題11．（2023秋·安徽滁州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測(cè)量樹(shù)的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊，，測(cè)得邊離地面的高度，，則樹(shù)高為【答案】【分析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的長(zhǎng)后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹(shù)高．【詳解】解：，，∽，，，，，，，米，米，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中整理出相似三角形的模型．12．（2017·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形與正方形是位似圖形，點(diǎn)為位似中心，相似比為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】，【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和位似的性質(zhì)計(jì)算即可；【詳解】解：正方形與正方形是位似圖形，為位似中心，相似比為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，，四邊形是正方形，．點(diǎn)的坐標(biāo)為：，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·安徽蚌埠·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且位似比為．點(diǎn)A、B、E在x軸上，若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6，則C點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】（3，2）【分析】先利用位似的性質(zhì)得到，然后利用比例性質(zhì)求出BC和OB即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且位似比為，∴，而B(niǎo)E=EF=6，∴，∴BC=2，OB=3，∴C（3，2）．故答案為：（3，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．14．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，與位似，點(diǎn)O為位似中心，位似比為．若的周長(zhǎng)為4，則的周長(zhǎng)是．【答案】6【分析】根據(jù)周長(zhǎng)之比等于位似比計(jì)算即可．【詳解】設(shè)的周長(zhǎng)是x，∵與位似，相似比為，的周長(zhǎng)為4，∴，解得：，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了位似的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的周長(zhǎng)之比等于位似比是解題的關(guān)鍵．15．（2020·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊在軸上，在軸上，如果矩形與矩形關(guān)于點(diǎn)位似，且矩形的面積等于矩形面積的，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】或/或【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到矩形矩形，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出相似比，根據(jù)位似圖形與坐標(biāo)的關(guān)系計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵矩形與矩形關(guān)于點(diǎn)位似，∴矩形∽矩形，∵矩形的面積等于矩形面積的，∴矩形與矩形的相似比為，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換的性質(zhì)，掌握位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵，注意在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于．16．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為了測(cè)量山坡的護(hù)坡石壩高，把一根長(zhǎng)為的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿上長(zhǎng)為時(shí)，它離地面的高度為，則壩高為．【答案】2.7【分析】根據(jù)，可得，進(jìn)而得出即可．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，則，∴，即，解得，故答案為：2.7【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．17．（2022秋·安徽宿州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB表示一個(gè)窗戶的高，AM和BN表示射入室內(nèi)的光線，窗戶的下端到地面的距離BC＝1m．已知某一時(shí)刻BC在地面的影長(zhǎng)CN＝1.5m，AC在地面的影長(zhǎng)CM＝4.5m，則窗戶的高度為m．【答案】2【分析】陽(yáng)光可認(rèn)為是一束平行光，由光的直線傳播特性可知透過(guò)窗戶后的光線與仍然平行，由此可得出一對(duì)相似三角形，由相似三角形性質(zhì)可進(jìn)一步求出的長(zhǎng)，即窗戶的高度．【詳解】解：，，，，，，，，，答：窗戶的高度是．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．18．（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明在A時(shí)測(cè)得垂直于地面的樹(shù)的影長(zhǎng)為4米，B時(shí)又測(cè)得該樹(shù)的影長(zhǎng)為12米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹(shù)的高度為米．【答案】【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，可得，進(jìn)而可得，代入數(shù)據(jù)可得答案．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得：，，∴，，∴，∴∴，∴，即，解得：，答：樹(shù)的高度為米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)投影的知識(shí)結(jié)合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，難度適中．掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2022秋·安徽宿州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，小樹(shù)在路燈O的照射下形成投影．若樹(shù)高，樹(shù)影，樹(shù)與路燈的水平距離，求路燈的高度．【答案】【分析】先根據(jù)線段和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定證出，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：，，，由題意得：，，，，即，解得，答：路燈的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（2022秋·安徽蚌埠·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）《鐵血紅安》在中央一臺(tái)熱播后，吸引了眾多游客前往影視基地游玩．某天小明站在地面上給站在城樓上的小亮照相時(shí)發(fā)現(xiàn)：他的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點(diǎn)恰好在一條直線上（如圖）．已知小明的眼睛離地面1.6米，涼亭頂端離地面2米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為40米，小亮身高1.7米．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出城樓的高度．【答案】城樓的高度為米【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由題意可得：，，，，，，，解得：，，故城樓的高度為：（米，答：城樓的高度為米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形得出相似三角形是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·安徽宿州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小亮同學(xué)用自制的直角三角形紙板測(cè)量樹(shù)（樹(shù)與地面垂直）的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平（即與地面平行），并且邊與樹(shù)頂B在同一直線上．已知紙板的兩條邊，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，測(cè)得邊離地面的高度，，求樹(shù)高．【答案】【分析】利用相似三角形的判定定理證明，利用相似的性質(zhì)求出，再利用，求出．【詳解】解：，∵，∴，∴，即，解得，∴樹(shù)高．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，關(guān)鍵是要掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)．22．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、．

(1)向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，點(diǎn)的坐標(biāo)是______；(2)以點(diǎn)為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出，使與位似，且位似比為，點(diǎn)的坐標(biāo)是______；（畫(huà)出圖形）【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析，(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)所給的平移方式確定A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，然后順次連接，再根據(jù)點(diǎn)的位置寫(xiě)出坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)位似的性質(zhì)畫(huà)圖即可，再根據(jù)點(diǎn)的位置寫(xiě)出坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：如圖所示，是所求作三角形；由圖可知；

（2）解：如圖所示，是所求作三角形，由圖可知

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—平移和位似，解題的關(guān)鍵是掌握幾何變換的特點(diǎn)，明確坐標(biāo)變換規(guī)律．23．（2022秋·安