高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)系列講座（9）等比數(shù)列

《高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)系列講座》(第9講)等比數(shù)列（人教版）一、高考要求

理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題

.1.等比數(shù)列:

一般的,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公比,通常用q表示.(q≠0),即：2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:

“an≠0”是數(shù)列{an}成等比數(shù)列的必要非充分條件.二、知識(shí)點(diǎn)歸納

3.等比數(shù)列的性質(zhì)1)若m+n=p+k，則2)若m+n=2p，則4.等比中項(xiàng):如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng).即G=±（a,b同號(hào)）5.非零常數(shù)列:既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列.二、知識(shí)點(diǎn)歸納

(1)當(dāng)q>1,a1>0或0<q<1,a1<0時(shí),{an}是遞增數(shù)列(2)當(dāng)q>1,a1<0或0<q<1,a1>0時(shí),{an}是遞減數(shù)列(3)當(dāng)q=1時(shí),{an}是常數(shù)列(4)當(dāng)q<0時(shí),{an}是擺動(dòng)數(shù)列6.判斷等比數(shù)列的方法:定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法7.等比數(shù)列的增減性：二、知識(shí)點(diǎn)歸納

8.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(3)對(duì)含字母的題目一般要分別考慮q=1和q≠1兩種情況.二、知識(shí)點(diǎn)歸納

等比數(shù)列的q≠1等價(jià)于

Sn＝kqn-k11.①當(dāng)q=－1且k為偶數(shù)時(shí)，不是等比數(shù)列.②當(dāng)q≠－1或k為奇數(shù)時(shí)，二、知識(shí)點(diǎn)歸納

三、題型講解（2）1.2，2.4，4.8，…（1）5，-15，45，…例1

求下列等比數(shù)列的第4，5項(xiàng)：例2

設(shè)a,b,c,d均為非零實(shí)數(shù)，求證：a,b,c成等比數(shù)列且公比為d.∴a,b,c成等比數(shù)列證:關(guān)于d的二次方程有實(shí)根設(shè)公比為q，則b=aq，c=aq2代入得:三、題型講解例2

設(shè)a,b,c,d均為非零實(shí)數(shù)，求證：a,b,c成等比數(shù)列且公比為d.另證：∴a,b,c成等比數(shù)列且公比為d.三、題型講解如圖:a1,a2,a3,a4解:等差a-d,a,a+d等比a1,a-d,a已知和為12=>(a-d)+a+(a+d)=12已知三數(shù)和為19=>=>或∴四數(shù)為:9,6,4,2或25,-10,4,18.通性通法：解數(shù)列問題的方程意識(shí)例3

四個(gè)數(shù),前三個(gè)成等比數(shù)列,它們的和是19;后三個(gè)成等差數(shù)列,和是12,求此四個(gè)數(shù).三、題型講解三、題型講解例4

已知{an}滿足：(1)求證數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列，(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解:(1)∵∴數(shù)列{an+1}是公比為2的等比數(shù)列.(2)由⑴得

an+1=2×2n-1=2n證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,常用的兩種基本方法:一是利用定義;二是利用通項(xiàng)的中項(xiàng)特征來進(jìn)行證明,注意等比數(shù)列的an≠0,q≠0.例5從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入資金800萬元，以后每年投入資金比上年減少1/5.

本年度當(dāng)?shù)芈糜萎a(chǎn)業(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加1/4.(Ⅰ)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元,寫出an、bn的表達(dá)式；(Ⅱ)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？三、題型講解解：(Ⅰ)第1年投入800萬元，第2年投入800(1-1/5)萬元，……，第n年投入800(1-1/5)n-1萬元所以總投入為an=800+800(1-1/5)+……+800(1-1/5)n-1=4000[1-(4/5)n]第1年的收入400萬元，第2的收入400(1+1/4)萬元，……，第n年的收入為400(1+1/4)n-1萬元所以總收入bn=400+400(1+1/4)+……+400(1+1/4)n-1=1600[(5/4)n-1]三、題型講解解：(Ⅰ)總投入an=4000[1-(4/5)n]總收入bn=1600[(5/4)n-1](Ⅱ)要使旅游業(yè)的總收入超過總投入，即bn-an＞0

由(Ⅰ)得1600[(5/4)n-1]-4000[1-(4/5)n]＞0化簡(jiǎn)得5×(4/5)n+2×(5/4)n-7＞0設(shè)x=(4/5)n，則5x2-7x+2＞0

∴x＜2/5或x＞1(舍)

即(4/5)n＜2/5，故n≥5

故至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.三、題型講解本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

解數(shù)學(xué)問題應(yīng)用題重點(diǎn)在過好三關(guān)：（1）事理關(guān)：閱讀理解，知道命題所表達(dá)的內(nèi)容；（2）文理關(guān)：將“問題情景”中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件；（3）數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，并解答這一數(shù)學(xué)模型，得出符合實(shí)際意義的解答.

四、自我操練91.等比數(shù)列中，

則2.在等差數(shù)列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．則其前6項(xiàng)的和S6為()

B3.等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，公比___，項(xiàng)數(shù)____四、自我操練5（1）若則（2）若則（4）若則（3）已知?jiǎng)t=30503245.在等比數(shù)列中，四、自我操練7.在等比數(shù)列{an}中，a9a10a11a12=64，則a8a13=

.6.在等比數(shù)列{an}中，①a8a10=a18；（）②a2+a98=a3+a97；（）③a8+a10=a18；（）④a2a98=a3a97；（）⑤a2a98=