2023屆甘肅省高臺縣高考數(shù)學全真模擬密押卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若a>b>0,0<c<l,則

ccab

A.Iogac<logi>cB.Iogca<logcbC.a<bD.c>c

2.設復數(shù)二滿足|z-3|=2,z在復平面內對應的點為例(a,b),則"不可能為()

A.(2,6)B.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

+]X〉0

3.已知函數(shù)/(x)='是奇函數(shù)，則g(7(-D)的值為()

.g(x),x<0

A.-10B.-9C.-7D.1

4.已知各項都為正的等差數(shù)列｛a,,｝中，/+q+4=15,若q+2,?3+4,心+整成等比數(shù)列，則須=()

A.19B.20C.21D.22

5.已知函數(shù)/。)=依2—》+1門有兩個不同的極值點%，斗，若不等式/(%)+./'(工2)>2(%+￡)+7有解，貝"的

取值范圍是()

A.(-co,-2In2)B.(-00,-2In2]

C.(―co,—11+2In2)D.(—00,—11+21n2]

6.已知平面向量a,〃滿足忖=2,W=l,。與〃的夾角為g,且(a+43，(2L))，則實數(shù)九的值為()

A.-7B.-3C.2D.3

7.拋物線/=3”的準線方程是y=l,則實數(shù)。=()

22

8.已知雙曲線c：j-2=1(。>0,。>0)的左、右頂點分別為4、4,點p是雙曲線c上與A、A?不重合的動點,

a

若kp^kpA,=3,則雙曲線的離心率為（）

A.&C.4D.2

9.已知向量。=(3sinx,-2),b=(l,cosx),當a_L〃時,cos(2x+］卜()

121266

A.C.D.

B13B13

10.一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾

何體的表面積是（）

正視圖側視圖

俯視圖

A.16五+16萬

B.16加+8乃

C.8a+16乃

D.80+8萬

3

11.一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結果是三，則判斷框中應填入的條件是（）

C.z>4?D.i<4?

,,111、2111、

12.已知無窮等比數(shù)列｛4｝的公比為2,且lim(z—+—+…+——)=-,貝+—+…+——)=()

…%a3a2n_,32%%

124

A.-B.-C.1D.一

333

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.為了了解一批產品的長度(單位：毫米)情況，現(xiàn)抽取容量為400的樣本進行檢測，如圖是檢測結果的頻率分布

直方圖，根據(jù)產品標準，單件產品長度在區(qū)間125,30)的一等品，在區(qū)間［20,25)和［30,35)的為二等品，其余均為三

等品，則樣本中三等品的件數(shù)為

14.若函數(shù)/(x)=sin2x-J5cos2x的圖像向左平移g71個單位得到函數(shù)g(x)的圖像.則g(x)在區(qū)間一上的

8OoO

最小值為.

15.在平面直角坐標系xOy中，已知點A(—3,0),B(-l-2),若圓(x—2)2+y2=/&>0)上有且僅有一對點

使得AM43的面積是的面積的2倍，則廠的值為

士]展開式的第5項的系數(shù)為

16.[2x-

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)〃x）=2|x-11+mx,mER.

（1）當，篦=一3時，求不等式f（x）+4<0的解集；

（2）若函數(shù)/（幻的圖象與x軸恰好圍成一個直角三角形，求”的值.

18.（12分）某地為改善旅游環(huán)境進行景點改造.如圖，將兩條平行觀光道和，2通過一段拋物線形狀的棧道A8連

通（道路不計寬度），和/2所在直線的距離為0.5（百米），對岸堤岸線/3平行于觀光道且與/2相距1.5（百米）（其中

A為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸垂直于況且交,3于M）,在堤岸線，3上的E,產兩處建造建筑物，其中E,尸到

M的距離為1（百米），且廠恰在8的正對岸（即

■（D）?②

（D在圖②中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担⑶髼５繟B的方程；

（2）游客（視為點P）在棧道48的何處時，觀測E尸的視角（NEPF）最大？請在（1）的坐標系中，寫出觀測點尸的

坐標.

22

19.（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：土+二=1的左頂點為A,右焦點為尸，P,Q為橢圓。上兩

43

點，圓。：心+曠2=戶。>。）.

（D若軸，且滿足直線AP與圓。相切，求圓。的方程；

（2）若圓。的半徑為出，點P,Q滿足自戶?自。=-彳，求直線PQ被圓。截得弦長的最大值.

20.（12分）如圖，已知四棱錐P-ABC。，平面ABC。，底面ABCQ為矩形，A6=3,AP=4,E為PD的

中點，AEA.PC.

（1）求線段AO的長.

（2）若加為線段3c上一點，且駟=1，求二面角的余弦值.

221

21.（12分）已知橢圓。：=+與=1（。>。>0）的短軸長為2道，離心率e=二,其右焦點為E.

a-b~2

（1）求橢圓C的方程；

（2）過戶作夾角為:的兩條直線4分別交橢圓。于P,Q和M,N,求^^的取值范圍.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=sinx+石sin(x+今+sin(x+\),xeR.

（I）求『（2019。的值;

(H)若/(c)=l,且0<a〈"，求cosa的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

試題分析：對于選項A,logc=,logc=-^―,0<c<l,lgc<0,而a>b>0,所以lga>lg人，但不

aIgablgb

能確定lga、lgb的正負，所以它們的大小不能確定;對于選項B,logca=*0,log?A=^Jga>lgb,兩邊同乘以

lgclgc

一個負數(shù)7—改變不等號方向，所以選項B正確;對于選項C,利用y=x,在第一象限內是增函數(shù)即可得到“，>加,

lgc

所以C錯誤;對于選項D,利用y=c'在R上為減函數(shù)易得c0<cJ所以D錯誤.所以本題選B.

【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質

【名師點睛】比較第或對數(shù)值的大小,若塞的底數(shù)相同或對數(shù)的底數(shù)相同，通常利用指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)的單調性進行比

較；若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進行比較.

2.D

【解析】

依題意，設2=。+初，由|z—3=2,得(。一3)2+62=4,再一一驗證.

【詳解】

設z=a+bi,

因為|z-3|=2,

所以①―3『+〃=4,

經(jīng)驗證例(4,1)不滿足，

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了復數(shù)的概念、復數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎題.

3.B

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)表達式，先求得/(-1)的值，然后結合/(x)的奇偶性，求得g(7(-D)的值.

【詳解】

+xx>0

因為函數(shù)/(x)='一是奇函數(shù)，所以/(-1)=一/(1)=一2,

g(x),x<0

g(/(-D)=g(-2)=/(-2)=-/(2)=-10.

故選：B

【點睛】

本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，考查數(shù)形結合思想.意在考查學生的運算能力，分析問題、解決

問題的能力.

4.A

【解析】

試題分析：設公差為d,a2+/+4=3/=15=>%=4+2。=5nq=5-2。=>(4+2)(q+5J+16)

=(7-24)(34+21)=81=242+74-22=0=4=2或4=一旦(舍)=a=l=a=】-92=19,故選A.

2?"

考點：等差數(shù)列及其性質.

5.C

【解析】

先求導得/'（x）=2?2一無+1（%>（））,由于函數(shù)/（X）有兩個不同的極值點用，/，轉化為方程2公2—x+l=O有

X

兩個不相等的正實數(shù)根，根據(jù)/，王+々，x「Z，求出”的取值范圍，而./?（芯）+/（七）>2（%+毛）+，有解，通

過分裂參數(shù)法和構造新函數(shù)陽）=一/--俏“°<a〈J

,通過利用導數(shù)研究”（a）單調性、最值，即可得出f

的取值范圍.

【詳解】

由題可得：f'(x)=2aX~~X+i(x>0),

X

因為函數(shù)/（X）=。無2-x+InX有兩個不同的極值點為，了2,

所以方程2依2_X+1=0有兩個不相等的正實數(shù)根,

△二1一8。>0,

于是有…2$>0,解得0<y.

若不等式“石)+“々)>2(玉+工2)+7有解，

所以/<[〃3)+〃馬)—2(石+切]皿

因為/(%)+./(工2)-2(%+-^)=竭一%+lnXj—x2+Inx2—2(%+x2)

2

=a[(M+x2)-2X1X2J-3(X1+x2)+ln(x1x2)=--——l-\n(2a).

設h(a)――――1—ln(2a)(0<a<—,

“⑷廿。，故陽)在四上單調遞增,

所以，＜—ll+21n2,

所以/的取值范圍是(―,一11+2In2).

故選：C.

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調性、最值來求參數(shù)取值范圍，以及運用分離參數(shù)法和構造函數(shù)法，還考查分析和計算

能力，有一定的難度.

6.D

【解析】

由已知可得(。+訓-(2。叫=0,結合向量數(shù)量積的運算律，建立4方程，求解即可.

【詳解】

依題意得a?〃=2x1xcos——=-1

3

由(a+2Z?)—〃)=0,得2a—Ab+(2X—l)a,/?=0

即一32+9=0,解得；I=3.

故選:￡).

【點睛】

本題考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題.

7.C

【解析】

根據(jù)準線的方程寫出拋物線的標準方程，再對照系數(shù)求解即可.

【詳解】

4

因為準線方程為y=1，所以拋物線方程為X2=-4)，,所以3a=~4,即a=.

故選：C

【點睛】

本題考查拋物線與準線的方程.屬于基礎題.

8.D

【解析】

22

設P（Xo，%）,4（-a,0）,A（a,o）,根據(jù)%/嘰=3可得y；=3x；-3/①，再根據(jù)又上一斗=1②，由①?可

ab~

得僅2—3/）,=/92—3〃2）,化簡可得c=2a,即可求出離心率.

【詳解】

解：設尸（知先），4（-4,0），&（。,0），

?.k"一q

?人尸A”&-丁，

———=3,即尤=3焉一3a2,①

%+a/_Q

x4-4=i?②，

a2b2

由①@可得92-34）%=/（〃-3a2）,

7xQ豐±a,

?'?b2-3a2=0>

b2=3a2=c2-a2>

??c—2af

即e=2,

【點睛】

本題考查雙曲線的方程和性質，考查了斜率的計算，離心率的求法，屬于基礎題和易錯題.

9.A

【解析】

根據(jù)向量的坐標運算，求出tan、’3一就》即可求解.

【詳解】

_..2

aA_b9=3sinx-2cosx=0,/.tanx=—

(>兀、.-2sinxcosx

cos2x4—=-sin2x——；-----------

I2)sin~x+cos-x

2tanx_12

tan2x+113

故選:A.

【點睛】

本題考查向量的坐標運算、誘導公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關系，屬于中檔題.

10.D

【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為

,44拒+"!■乃2?+,萬26=8夜+8%,故選口.

222

11.D

【解析】

首先判斷循環(huán)結構類型，得到判斷框內的語句性質，然后對循環(huán)體進行分析，找出循環(huán)規(guī)律，判斷輸出結果與循環(huán)次

數(shù)以及i的關系，最終得出選項.

【詳解】

經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結構，判斷框為跳出循環(huán)的語句，

1

?112

-Z-1+1=

第一次循環(huán):s=o+—2

1x2

第二次循環(huán):S=—I-------=—,i=2+1=3；

22x33

2I3

第三次循環(huán):S=-+——=一，j=3+l=4,

33x44

此時退出循環(huán)，根據(jù)判斷框內為跳出循環(huán)的語句，4?,故選D.

【點睛】

題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框

和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處

理循環(huán)結構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序，(6)在給出程序框圖求解輸出結果的試題

中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.

12.A

【解析】

依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項％,再求出的，利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結果。

【詳解】

.1,1

因為無窮等比數(shù)列僅“｝的公比為2,則無窮等比數(shù)列｛7｝的公比為5。

由lim('+L+…+」一)=：有，=-,解得4=2,所以%=4,

…ax%%,一313

1-----

4

｝_

lim(1---1---1---)=-,故選A。

…a2a4%,1」3

4

【點睛】

本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應用。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.100.

【解析】

分析：根據(jù)頻率分布宜方圖得到三等品的頻率，然后可求得樣本中三等品的件數(shù).

詳解：由題意得，三等品的長度在區(qū)間［10,15),［15,,20)和［35,40］內，

根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為(0.0125+0.0250+0.0125)x5=0.25,

.?.樣本中三等品的件數(shù)為400x0.25=100.

頻率

點睛：頻率分布直方圖的縱坐標為,因此每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內的頻率，把小矩形的

高視為頻率時常犯的錯誤.

14.一右

【解析】

7Fn

注意平移是針對自變量X,所以g(x)=/(x+7)=2sin(2x-R),再利用整體換元法求值域(最值)即可.

812

【詳解】

由已知，/(x)=sin2x-yf3cos2x=2sin(2x—[),g(x)=/(x+￡)=

2sin[2(x+-)--]=2sin(2x--),又xe故2工一石￡［一了彳］,

8312L88

2sin(2x—二)e［一后,2］,所以g(x)的最小值為一JL

故答案為：-6.

【點睛】

本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應用，是一道基礎題.

15.還

6

【解析】

寫出A8所在直線方程，求出圓心到直線的距離，結合題意可得關于，?的等式，求解得答案.

【詳解】

解：直線AB的方程為與4=守，即x+y+3=0.

圓(x-2)2+y2=r2(r>0)的圓心(2,0)

到直線AB的距離d=11字2］=平，

V22

由AMAB的面積是&V48的面積的2倍的點N有且僅有一對，

可得點M到AB的距離是點N到直線AB的距離的2倍，

可得過圓的圓心，如圖：

由孚+廠=2(竽—/■),解得廠=平.

故答案為：巫.

6

【點睛】

本題考查直線和圓的位置關系以及點到直線的距離公式應用，考查數(shù)形結合的解題思想方法，屬于中檔題.

16.70

【解析】

根據(jù)二項式定理的通項公式T可得結果.

r+lCQ)”[-壺，

【詳解】

由題可知：第5項為7；

故第5項的的系數(shù)為C；?24=70

故答案為：70.

【點睛】

本題考查的是二項式定理，屬基礎題。

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)(2,+oo)(2)m=->j3

【解析】

(1)當3時，/(x)+4=2|x-l|-3x+4,

由f(x)+4<0可得2x-l|<3x—4,(

所以-(3x-4)<2(x—l)<3x—4,解得x>2,

所以不等式/(x)+4<0的解集為(2,+00).

(m—2)x+2,x<1

(2)由題可得/。)=

(m+2)x-2,x>1

因為函數(shù),f(x)的圖象與X軸恰好圍成一個直角三角形,

所以(m-2)(〃?+2)=-1,解得〃?=±e，

當〃?=6時，/(1)=73>0,函數(shù).f(x)的圖象與x軸沒有交點，不符合題意；

當加=-相時，/(1)=-^<0,函數(shù)/(x)的圖象與x軸恰好圍成一個直角三角形，符合題意.

綜上，可得m=-相?

18.(1)見解析，x2=2y,xe[O,1]；(2)P(6一1,2-右)時，視角NEP尸最大.

【解析】

(1)以4為原點，/1為x軸，拋物線的對稱軸為)，軸建系，設出方程，通過點3的坐標可求方程；

(2)設出P的坐標，表示出tanNEPF,利用基本不等式求解tanNEP尸的最大值，從而可得觀測點P的坐標.

【詳解】

(1)以A為原點，6為x軸，拋物線的對稱軸為)，軸建系

由題意知：B(l,0.5),設拋物線方程為r=2py

代入點8得：p=l,故方程為f=2y,xe[0,1]；

(2)設P(衣,產)，/￡[0,也],作尸。_L/3于。，記NEPQ=a,NFPQ=。

2

EQ="+1,PQ=2-產，F(xiàn)Q=1-6

"+ii-M

tan(a+4)=tana+W=2^——2^r=一廠)

tan/EPF=

1-tanciftan/?1-2/2t-2廠+3

?一(272)2

3

令2—產/=2—x，貝！I：

2

2x2x2〈小+1

tan/EPF

(2—x)**+2x—1—2x+3x+--22

X

當且僅當即即y=2—5即”早時取等號;

故尸(后—1,2-6)時視角NEP尸最大，

答：P(6—I,2-石)時，視角NEP尸最大.

【點睛】

本題主要考查圓錐曲線的實際應用，理解題意，構建合適的模型是求解的關鍵，涉及最值問題一般利用基本不等

式或者導數(shù)來進行求解，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

19.(1)x2+y2=—(2)>/6

【解析】

試題分析：(1)確定圓。的方程，就是確定半徑的值，因為直線AP與圓。相切，所以先確定直線方程，即確定點P

331

坐標：因為軸，所以尸根據(jù)對稱性，可取則直線AP的方程為y=/(x+2),根據(jù)圓心到

切線距離等于半徑得一(2)根據(jù)垂徑定理，求直線P。被圓。截得弦長的最大值，就是求圓心。到直線PQ的

\b\3

距離的最小值.設直線PQ的方程為y=kx-{-b,則圓心。到直線PQ的距離d=下白，利用kopM=-二得

3芯%+4%%=0,化簡得(3+4二)西々+4奶(玉+々)+4/=0,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結合韋達

定理得2/=4k2+3,因此d=二—一^‘當左=0時，4取最小值，PQ取最大值為".

試題解析：解：(D

->2

因為橢圓。的方程為土+匕=1,所以4—2,0),尸(1,0).

43

3

因為P尸，x軸，所以P(l,±j),而直線AP與圓。相切，

3

根據(jù)對稱性，可取P(1,Q),

則直線AP的方程為y=；(x+2),

即x-2y+2=0.

由圓。與直線AP相切，得「=有,

所以圓。的方程為/+丁=1.

(2)

易知，圓。的方程為一+丁=3.

3

①當PQJ-x軸時，kop?kOQ=—kop~―――9

所以％=士爭

此時得直線PQ被圓。截得的弦長為蛀.

7

②當PQ與x軸不垂直時，設直線PQ的方程為>=履+工?（不弘）,。。2，%）區(qū)々工0），

3

首先由kop-koQ=_%,得3工M2+4%為=°，

即3玉工2+4（^,+b）（kx2+b）=0,

所以（3+4左2）工］工2+4M（玉+々）+4/=0（*）.

y-kx+b

聯(lián)立｛/y2,消去x,得（3+4左2）/+8助X+4〃-12=0,

---F--1

43

將X+x2=——、,尤］%2=———上代入（*）式，

1-3+4/-3+4/

得2/=4左2+3.

由于圓心。到直線PQ的距離為d

所以直線PQ被圓。截得的弦長為/=2，T彳=,4+后片，故當％=0時，/有最大值為卡.

綜上，因為卡＞令紅，所以直線PQ被圓。截得的弦長的最大值為卡.

7

考點：直線與圓位置關系

20.(1)AO的長為4(2)立

3

【解析】

(1)分別以所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A一町2,

設仞=r,根據(jù)向量垂直關系計算得到答案.

(2)計算平面?！癙的法向量為〃=(1,1/)，A3=(3,0,0)為平面PZM的一個法向量，再計算向量夾角得到答案.

【詳解】

(1)分別以A6,AP,A。所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz.

設AD=f,則A(0,0,0),E(0,2,1^,C(3,0,/),P(0,4,0),

所以AE=(0,2,；),PC=(3,—4,/).,因為AEJ_PC,所以AE.PC=0，

即16-*=0,解得f=4,所以AO的長為4.

(2)因為BM=1，所以"(3,0,1),又P(0,4,0),D(0,0,4),

故OP=(0,4,-4),OM=(3,0,-3).

n±DP,[4y-4z=0,

設〃=(x,y,z)為平面￡>A/尸的法向量，則〈即個八

nVDM,[3x-3z=0,

取z=l,解得y=L%=i,

所以〃=(1,1,1)為平面OA加的一個法向量.

顯然，A8=(3,0,0)為平面的一個法向量，

則cos〈〃,48〉=nAB=—,=2====B,

\n\\AB\3J1+1+13

據(jù)圖可知，二面角加一一A的余弦值為走.

3

【點睛】

本題考查了立體幾何中的線段長度，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

2249-折49+V97-

21.(1)土+匕=1；(2)

43-^8-48-

【解析】

(1)由已知短軸長求出b,離心率求出“，c關系，結合a2=/j2+c2,即可求解;

(2)當直線4的斜率都存在時，不妨設直線4的方程為y=左(尤-1),攵。1,直線4與橢圓方程聯(lián)立，利用相交弦長

公式求出IP。I,斜率為卷，求出|MN|,得到^^關于人的表達式，根據(jù)表達式的特點用判別式法求出

范圍，當《4有一斜率不存在時，另一條斜率為±1,根據(jù)弦長公式，求出^即可求出結論.

【詳解】

(1)由2/?=26得匕=6，又由[得3a2=4〃，

a'a'4

22

則/=4,6=3,故橢圓C的方程為工+匕=1.

43

(2)由(1)知產(1,0),

①當直線44的斜率都存在時，

由對稱性不妨設直線乙的方程為y=-x-1),攵聲1,

[)：-)=>(4/+3卜2一8-+4/-12=0,