2024屆河北正定弘文中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆河北正定弘文中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，且x為第四象限的角，則tanx的值等于A. B.－C. D.－2．兩圓和的位置關(guān)系是A.相離 B.相交C.內(nèi)切 D.外切3．若函數(shù)和．分別由下表給出：011012301則不等式的解集為（）A. B.C. D.4．某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5cm，秒針繞點(diǎn)O勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間：t=0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合，當(dāng)t∈[0,60]，A，B兩點(diǎn)間的距離為d（單位：A.5sintC.5sinπt5．函數(shù)f（x）=-4x+2x+1的值域是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)可表示為1234則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的值域是C.的值域是 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增7．若函數(shù)且,則該函數(shù)過(guò)的定點(diǎn)為（）A. B.C. D.8．如下圖所示，在正方體中，下列結(jié)論正確的是A.直線與直線所成的角是 B.直線與平面所成的角是C.二面角的大小是 D.直線與平面所成的角是9．已知函數(shù)，則A.0 B.1C. D.210．直線（為實(shí)常數(shù)）的傾斜角的大小是A B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)簡(jiǎn)稱“北京—張家口冬奧會(huì)”，將于2022.2.4～2022.2.20在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行.某公司為迎接冬奧會(huì)的到來(lái)，設(shè)計(jì)了一款扇形的紀(jì)念品，扇形圓心角為2，弧長(zhǎng)為12cm，則扇形的面積為______.12．已知函數(shù)是定義在的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)，分別記為，，，，，，，，則的取值范圍是______.13．如圖，矩形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在函數(shù)，，的圖像上，且矩形的邊分別平行于兩坐標(biāo)軸.若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.14．已知向量，，，，則與夾角的余弦值為______15．已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，______16．直線,當(dāng)變動(dòng)時(shí),所有直線都通過(guò)定點(diǎn)______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)n是不小于3的正整數(shù)，集合，對(duì)于集合Sn中任意兩個(gè)元素．定義．若，則稱A，B互為相反元素，記作或（1）若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），試寫出，，以及A·B的值；（2）若，證明：；（3）設(shè)k是小于n的正奇數(shù)，至少含有兩個(gè)元素的集合，且對(duì)于集合M中任意兩個(gè)不同的元素，都有，試求集合M中元素個(gè)數(shù)的所有可能的取值18．如圖，三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面，，，，求二面角的大小.19．已知,，函數(shù)，（1）若，，求的值；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍20．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.21．對(duì)正整數(shù)n，記In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}（1）求集合P7中元素的個(gè)數(shù)；（2）若Pn的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】∵x為第四象限的角，，于是，故選D.考點(diǎn)：商數(shù)關(guān)系2、B【解析】依題意，圓的圓坐標(biāo)為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心坐標(biāo)為，半徑為，兩圓心的距離，且兩圓相交，故選B.3、C【解析】根據(jù)題中的條件進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，有成立，故是不等式的解；當(dāng)時(shí)，有不成立，故不是不等式的解；當(dāng)時(shí)，有成立，故是不等式的解.綜上：可知不等式的解集為.故選：C4、D【解析】由題知圓心角為tπ30，過(guò)O作AB的垂線，通過(guò)計(jì)算可得d【詳解】由題知，圓心角為tπ30，過(guò)O作AB的垂線，則故選：D5、A【解析】令t=2x（t＞0），則原函數(shù)化為g（t）=-t2+t+1（t＞0），然后利用二次函數(shù)求值域【詳解】令t=2x（t＞0），則原函數(shù)化為g（t）=-t2+t+1（t＞0），其對(duì)稱軸方程為t=，∴當(dāng)t=時(shí)，g（t）有最大值為∴函數(shù)f（x）=-4x+2x+1的值域是故選A【點(diǎn)睛】本題考查利用換元法及二次函數(shù)求值域，是基礎(chǔ)題6、B【解析】，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由表得的值域是，所以選項(xiàng)B正確C不正確；在區(qū)間上不是單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.詳解】A.，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.由表得的值域是，所以該選項(xiàng)正確；C.由表得的值域是，不是，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.在區(qū)間上不是單調(diào)遞增，如：，但是，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的性質(zhì)命題的真假，一般要認(rèn)真理解函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等的定義，再根據(jù)定義分析判斷.7、D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)是，利用平移可得到答案.【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)是，函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到，函數(shù)的圖像過(guò)的定點(diǎn).故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解，是基礎(chǔ)題.8、D【解析】選項(xiàng)，連接，，因?yàn)?，所以直線與直線所成的角為，故錯(cuò)；選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?故為直線與平面所成的角，根據(jù)題意；選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?所以，故二面角的平面角為，故錯(cuò)；用排除法，選故選：D9、B【解析】,選B.10、D【解析】計(jì)算出直線的斜率，再結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得該直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，直線的斜率為，所以，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線傾斜角的計(jì)算，一般要求出直線的斜率，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、36【解析】首先根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出扇形的半徑，再根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意、cm，所以，即cm，所以；故答案為：12、【解析】由偶函數(shù)的對(duì)稱性，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，結(jié)合利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)有8個(gè)零點(diǎn)，所以直線與函數(shù)圖像交點(diǎn)有8個(gè)，如圖所示：設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在的偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以，且由二次函數(shù)對(duì)稱性有，由有，所以又，所以，所以，故答案為：.13、【解析】先利用已知求出的值，再求點(diǎn)D的坐標(biāo).【詳解】由圖像可知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以，即.因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以，.因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以.又因?yàn)?，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)和冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14、【解析】運(yùn)用平面向量的夾角公式可解決此問(wèn)題．【詳解】根據(jù)題意得，，，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用．平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.15、【解析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】時(shí)，，是奇函數(shù)，此時(shí)故答案為：16、(3,1)【解析】將直線方程變形為,得到,解出,即可得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由,得,對(duì)于任意,式子恒成立,則有,解出,故答案為:(3,1).【點(diǎn)睛】本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,直線一定過(guò)兩直線、的交點(diǎn).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）集合M中元素的個(gè)數(shù)只可能是2【解析】（1）根據(jù)定義直接求解即可；（2）設(shè)，進(jìn)而結(jié)合題意得，，再計(jì)算即可；（3）假設(shè)為集合M中的三個(gè)不相同的元素，進(jìn)而結(jié)合題意，推出矛盾，得出假設(shè)不成立，即集合M中至多有兩個(gè)元素，且時(shí)符合題意，故集合M中元素的個(gè)數(shù)只可能是2【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槿簦瑒t稱A，B互為相反元素，記作或，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，由，可得所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式“=”成立由題意可知即所以【小問(wèn)3詳解】解：解法1：假設(shè)為集合M中的三個(gè)不相同的元素則即又由題意可知或1，i=1，2，，n恰有k個(gè)1，與n－k個(gè)0設(shè)其中k個(gè)等于1項(xiàng)依次為n－k個(gè)等于0的項(xiàng)依次為由題意可知所以，同理所以即因?yàn)橛桑?）可知因?yàn)樗?，設(shè)，由題意可知.所以，得與為奇數(shù)矛盾所以假設(shè)不成立，即集合M中至多有兩個(gè)元素當(dāng)時(shí)符合題意所以集合M中元素的個(gè)數(shù)只可能是2解法2：假設(shè)為集合M中的三個(gè)不相同的元素則即又由題意可知恰有k個(gè)1，與n－k個(gè)0設(shè)其中k個(gè)等于1的項(xiàng)依次為n－k個(gè)等于0的項(xiàng)依次由題意可知所以①同理②因?yàn)樗裕佟诘糜忠驗(yàn)闉槠鏀?shù)與矛盾所以假設(shè)不成立，即集合M中至多有兩個(gè)元素當(dāng)時(shí)符合題意所以集合M中元素的個(gè)數(shù)只可能是2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)解題的關(guān)鍵在于利用反證法證明當(dāng)為集合M中的三個(gè)不相同的元素時(shí)，結(jié)合題意推出與為奇數(shù)矛盾，進(jìn)而得集合M中至多有兩個(gè)元素，再舉例當(dāng)時(shí)符合題意即可.18、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形中位線得到，進(jìn)而得到線面平行；（2）根據(jù)二面角的定義可證得是二面角的平面角，在三角形BD中求解即可解析：（1）連接，交于點(diǎn)，連接.因?yàn)槭侨庵?，所有四邊形為平行四邊?所以是中點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面.（2）是二面角的平面角.事實(shí)上，因?yàn)槊?，面，所?在中，，是底邊的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，，，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，所以是二面角的平面?在直角三角形中，，，所以為等腰直角三角形，所以.19、(1)（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式進(jìn)行求解；（2）作差，分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，再利用換元思想進(jìn)行求解.試題解析：(1)依題意得，，即，即由，，得，（2）即不等式對(duì)任意恒成立，即下求函數(shù)的最小值令則且令1°當(dāng)上單調(diào)遞增，2°當(dāng)，即時(shí)，3°當(dāng)4°當(dāng)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或0<時(shí),20、(1)(2)見(jiàn)解析【解析】(1)首先化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，然后確定平移變換之后的函數(shù)解析式即可；(2)結(jié)合(1)中函數(shù)解析式確定函數(shù)的最大值即可.【詳解】（1）.由題意得，化簡(jiǎn)得.（2）∵，可得，∴.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值1；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖像的變換，三角函數(shù)最值的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.21、（1）46（2）n的最大值為14【解析】（1）對(duì)于集合P7，有n=7．當(dāng)k=4時(shí)，Pn={|m∈In，k∈In}中有3個(gè)數(shù)（1，2，3）與In={1，2，3…，n}中的數(shù)重復(fù)，由此求得集合P7中元素的個(gè)數(shù)為7×7﹣3=46（2）先證當(dāng)n≥15時(shí)，Pn不能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集．否則，設(shè)A和B為兩個(gè)不相交的稀疏集，使A∪B=Pn?In不妨設(shè)1∈A，則由于1+3=22，∴3?A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，這與A為稀疏集相矛盾再證P14滿足要求．當(dāng)k=1時(shí)，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2個(gè)稀疏集的并集事實(shí)上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，則A1和B1都稀疏集，且A1∪B1=I14當(dāng)k=4時(shí)，集合{|m∈I