新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與題型精練專(zhuān)題21 空間向量與立體幾何（含解析）

專(zhuān)題21空間向量與立體幾何【考綱要求】1、理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理，理解直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的意義；2、會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量，能用向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的垂直和平行關(guān)系；3、體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用，掌握利用向量法法求空間角的方法。一、空間向量及其運(yùn)算【思維導(dǎo)圖】1、空間向量的有關(guān)概念空間向量：空間中，既有大小又有方向的量；空間向量的表示：一種是用有向線(xiàn)段表示，SKIPIF1<0叫作起點(diǎn)，SKIPIF1<0叫作終點(diǎn)；一種是用小寫(xiě)字母SKIPIF1<0（印刷體）表示，也可以用（而手寫(xiě)體）表示．向量的長(zhǎng)度（模）：表示空間向量的有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作或．向量的夾角：過(guò)空間任意一點(diǎn)SKIPIF1<0作向量SKIPIF1<0的相等向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0叫作向量SKIPIF1<0的夾角，記作SKIPIF1<0，規(guī)定SKIPIF1<0．如圖：零向量：長(zhǎng)度為0或者說(shuō)起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的向量，記為0．規(guī)定：0與任意向量平行．單位向量：長(zhǎng)度為1的空間向量，即．相等向量：方向相同且模相等的向量．相反向量：方向相反但模相等的向量．共線(xiàn)向量（平行向量）：如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合．平行于記作，此時(shí)．SKIPIF1<0=0或SKIPIF1<0=．共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）數(shù)學(xué)中討論的向量是自由向量，即與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)．只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移；（2）當(dāng)我們說(shuō)向量、共線(xiàn)（或//）時(shí)，表示、的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)可能是同一直線(xiàn)，也可能是平行直線(xiàn)．（3）對(duì)于任意一個(gè)非零向量，我們把SKIPIF1<0叫作向量的單位向量，記作SKIPIF1<0．SKIPIF1<0與同向．（4）當(dāng)SKIPIF1<0=0或時(shí)，向量平行于，記作；當(dāng)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0時(shí)，向量SKIPIF1<0垂直，記作SKIPIF1<0．2、空間向量的基本運(yùn)算空間向量的基本運(yùn)算：運(yùn)算類(lèi)型幾何方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則：SKIPIF1<0加法交換率：SKIPIF1<0加法結(jié)合率：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02三角形法則：SKIPIF1<0向量的減法三角形法則：SKIPIF1<0SKIPIF1<0向量的乘法SKIPIF1<0是一個(gè)向量，滿(mǎn)足：SKIPIF1<0>0時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向；SKIPIF1<0<0時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0異向；SKIPIF1<0=0時(shí)，SKIPIF1<0=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0向量的數(shù)量積1．SKIPIF1<0是一個(gè)數(shù)：SKIPIF1<0；2．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、空間向量基本定理【思維導(dǎo)圖】共線(xiàn)定理：兩個(gè)空間向量、（≠），//的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)，使．共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線(xiàn)，則向量與向量共面的充要條件是存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使．要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）可以用共線(xiàn)定理來(lái)判定兩條直線(xiàn)平行（進(jìn)而證線(xiàn)面平行）或證明三點(diǎn)共線(xiàn)．（2）可以用共面向量定理證明線(xiàn)面平行（進(jìn)而證面面平行）或證明四點(diǎn)共面．空間向量分解定理：如果三個(gè)向量SKIPIF1<0不共面，那么對(duì)空間任一向量SKIPIF1<0，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；（2）由于零向量可視為與任意一個(gè)非零向量共線(xiàn)，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是零向量0．（3）一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．三、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算【思維導(dǎo)圖】空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算空間兩點(diǎn)的距離公式若，，則①；②；③SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0．空間向量運(yùn)算的的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)，，則①；②；③；④；⑤SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0．空間向量平行和垂直的條件若，，則①，，；②．要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）空間任一點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)的確定：過(guò)SKIPIF1<0作面SKIPIF1<0的垂線(xiàn)，垂足為SKIPIF1<0，在面SKIPIF1<0中，過(guò)SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸的垂線(xiàn)，垂足分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．如圖：（２）夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中θ的范圍是．（３）與任意空間向量平行或垂直．四、空間向量的應(yīng)用【思維導(dǎo)圖】用向量方法討論垂直與平行圖示向量證明方法線(xiàn)線(xiàn)平行（SKIPIF1<0//SKIPIF1<0）SKIPIF1<0//SKIPIF1<0（SKIPIF1<0分別為直線(xiàn)SKIPIF1<0的方向向量）線(xiàn)線(xiàn)垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0分別為直線(xiàn)SKIPIF1<0的方向向量）線(xiàn)面平行（SKIPIF1<0//SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是直線(xiàn)的方向向量，SKIPIF1<0是平面的法向量）．線(xiàn)面垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0//SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是直線(xiàn)的方向向量，SKIPIF1<0是平面的法向量）面面平行（SKIPIF1<0//SKIPIF1<0）（SKIPIF1<0分別是平面，的法向量）面面垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是平面，的法向量）用向量方法求角圖示向量證明方法異面直線(xiàn)所成的角（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線(xiàn)SKIPIF1<0上不同的兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線(xiàn)SKIPIF1<0上不同的兩點(diǎn)）直線(xiàn)和平面的夾角（其中直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，直線(xiàn)與平面所成的角為，與的角為）二面角SKIPIF1<0（平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的法向量分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0）用向量方法求距離 圖示向量證明方法點(diǎn)到平面的距離SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量）與平面平行的直線(xiàn)到平面的距離SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的公共法向量）兩平行平面間的距離SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一個(gè)公共法向量）【題型匯編】題型一：空間向量及其運(yùn)算題型二：空間向量的應(yīng)用【題型講解】題型一：空間向量及其運(yùn)算一、單選題1．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)一模（理））如圖，在三棱錐S—ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱EF上，且滿(mǎn)足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的加、減運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D2．（2022·北京昌平·二模）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0//SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項(xiàng)分析、判斷作答.【詳解】在正四棱柱SKIPIF1<0中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)于A，顯然SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線(xiàn)，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不平行，A不正確；對(duì)于B，因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B正確；對(duì)于C，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，即SKIPIF1<0不平行于平面SKIPIF1<0，C不正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線(xiàn)，即SKIPIF1<0不垂直于平面SKIPIF1<0，D不正確.故選：B3．（2022·新疆烏魯木齊·二模（理））在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，由SKIPIF1<0，利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即可求解.【詳解】解：因?yàn)槿忮FSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A.4．（2022·天津三中三模）在棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0在線(xiàn)段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，然后根據(jù)SKIPIF1<0，列方程求出SKIPIF1<0的值，從而可確定出點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，進(jìn)而可求出三棱錐SKIPIF1<0的體積【詳解】如圖，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0所在的直線(xiàn)為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：C5．（2022·江西新余·二模（文））已知長(zhǎng)方體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的軌跡長(zhǎng)度是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【解析】【分析】先構(gòu)造和平面SKIPIF1<0平行的截面SKIPIF1<0，再根據(jù)空間向量共面確定點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡形狀，再求其長(zhǎng)度.【詳解】如圖所示，E，F(xiàn)，G，H，N分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，DA，AB的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內(nèi)部.又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0在側(cè)面SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為線(xiàn)段SKIPIF1<0，因?yàn)锳B=AD=2，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.二、多選題1．（2022·山東棗莊·一模）如圖，平行六面體SKIPIF1<0中，以頂點(diǎn)SKIPIF1<0為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為1，且它們彼此的夾角都是60°，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0D．平行六面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】【分析】A、B選項(xiàng)通過(guò)空間向量的模長(zhǎng)及數(shù)量積進(jìn)行判斷即可；C選項(xiàng)通過(guò)空間向量求出SKIPIF1<0，進(jìn)而求出面積即可；D選項(xiàng)作出平行六面體的高，求出相關(guān)邊長(zhǎng)，即可求出體積.【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，A正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，B正確；連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為矩形，面積為SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在直線(xiàn)SKIPIF1<0上，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故平行六面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，D正確.故選：ABD.題型二：空間向量的應(yīng)用一、單選題1．（2022·廣西南寧·一模（理））在正方體SKIPIF1<0中O為面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0為面SKIPIF1<0的中心.若E為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值.【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)異面直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B2．（2022·貴州畢節(jié)·三模（理））在正四棱錐SKIPIF1<0中，底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，點(diǎn)P是底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則當(dāng)A，P兩點(diǎn)間距離最小時(shí)，直線(xiàn)BP與直線(xiàn)SC所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】如圖所示，連接SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0兩點(diǎn)間距離最小為SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得SKIPIF1<0，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】如圖所示，連接SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)樗睦忮FSKIPIF1<0為正四棱錐，可得SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，由底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，以SKIPIF1<0為半徑的圓上，所以當(dāng)圓與SKIPIF1<0的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0兩點(diǎn)間距離最小，最小值為SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以直線(xiàn)SKIPIF1<0與直線(xiàn)SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：A.3．（2022·北京·二模）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為1，則線(xiàn)段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離的最小值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】利用坐標(biāo)法，設(shè)SKIPIF1<0，可得動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，即線(xiàn)段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離的最小值為SKIPIF1<0.故選：D.4．（2022·江西上饒·二模（理））如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，利用線(xiàn)面垂直的向量證明方法可構(gòu)造方程組求得SKIPIF1<0點(diǎn)與SKIPIF1<0重合，可知所求外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，可知外接球半徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半，由球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0的正方向?yàn)镾KIPIF1<0軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的外接球即為長(zhǎng)方體SKIPIF1<0的外接球，SKIPIF1<0外接球SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外接球表面積SKIPIF1<0.故選：B.5．（2022·山西臨汾·二模（文））如圖，在圓錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)C在圓O上，當(dāng)直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為60°時(shí)，直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】【分析】以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再由異面直線(xiàn)的空間向量求解方法可求得答案．【詳解】解：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為60°，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上，所以SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的范圍為SKIPIF1<0，所以直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角60°，故選：C．

6．（2022·四川雅安·二模）如圖，長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（異于所在棱的端點(diǎn)）.給出以下結(jié)論：①在F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線(xiàn)SKIPIF1<0能與AE平行；②直線(xiàn)SKIPIF1<0與EF必然異面；③設(shè)直線(xiàn)AE，AF分別與平面SKIPIF1<0相交于點(diǎn)P，Q，則點(diǎn)SKIPIF1<0可能在直線(xiàn)PQ上.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【解析】【分析】當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，可證明四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故可判斷①②；建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)，且長(zhǎng)方體為正方體時(shí)，利用空間向量證明三點(diǎn)共線(xiàn)【詳解】長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以在F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線(xiàn)SKIPIF1<0能與AE平行，SKIPIF1<0與EF相交，①正確，②錯(cuò)誤；以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)且長(zhǎng)方體為正方體時(shí)，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又兩向量有公共點(diǎn)，所以SKIPIF1<0三點(diǎn)共線(xiàn)，故則點(diǎn)SKIPIF1<0可能在直線(xiàn)PQ上，③正確.故選：B二、多選題1．（2022·廣東汕頭·二模）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)P在線(xiàn)段SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，則（

）A．直線(xiàn)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．異面直線(xiàn)AP與SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0D．直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值為SKIPIF1<0【答案】AB【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示公式、空間向量夾角公式、三棱錐的體積性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.A：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線(xiàn)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；B：側(cè)面SKIPIF1<0的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為定值，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；C：SKIPIF1<0，設(shè)異面直線(xiàn)AP與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0，所以本選項(xiàng)結(jié)論不正確；D：設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為：SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最小值，最小值為SKIPIF1<0，所以直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值為SKIPIF1<0，因此本選項(xiàng)結(jié)論不正確，故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用空間向量夾角公式是解題的關(guān)鍵.2．（2022·廣東梅州·二模）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在體對(duì)角線(xiàn)SKIPIF1<0上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0為銳角B．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0D．頂點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】【分析】如圖，以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)SKIPIF1<0判斷SKIPIF1<0得符號(hào)即可判斷A；當(dāng)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，即可判斷B；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，結(jié)合B即可判斷C；利用向量法求出點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，分析即可判斷D.【詳解】解：如圖，以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)于A，當(dāng)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為銳角，故A正確；當(dāng)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，由B得，此時(shí)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABD.三、解答題1．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知底面ABCD為菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截幾何體如圖所示.(1)若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱錐GACD的體積為SKIPIF1<0，直線(xiàn)AF與底面ABCD所成角的正切值為SKIPIF1<0，求銳二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可證SKIPIF1<0平面BDG，可得SKIPIF1<0，得證SKIPIF1<0平面ACE，得SKIPIF1<0，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)可證SKIPIF1<0；（2）根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用空間向量求二面角．(1)連接BD，交AC于點(diǎn)O，底面ABCD為菱形，∴SKIPIF1<0，由直四棱柱得SKIPIF1<0底面ABCD，又SKIPIF1<0平面ABCD，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，BD，SKIPIF1<0平面BDG，∴SKIPIF1<0平面BDG，因?yàn)镾KIPIF1<0平面BDG，∴SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，AC，SKIPIF1<0平面ACE，∴SKIPIF1<0平面ACE，因?yàn)镾KIPIF1<0平面BDG，∴∵平面SKIPIF1<0平面CFGD平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0