四川省涼山州西昌市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

西昌市2022—2023學(xué)年度上期期中檢測高一數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，試題卷4頁，答題卡2頁.全卷滿分為150分，考試時間120分鐘.答題前考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置；選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標號的位置上，其他試題用0.5毫米簽字筆書寫在答題卡對應(yīng)題框內(nèi)，不得超越題框區(qū)域.考試結(jié)束后將答題卡收回.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、單項選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，集合，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)不等式的解法，求出集合，再利用集合交集的運算即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，所以，又，所以，故選：A.2.下列關(guān)系中，正確的有（）．①；②；③；④．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系結(jié)合常用數(shù)集逐項分析判斷.【詳解】對于①：因為為實數(shù)集，所以，正確；對于②④：因為為有理數(shù)集，所以，，②正確，④錯誤；對于③：因為為自然數(shù)集，，正確；所以正確有3個.故選：C.3.函數(shù)的定義域是（）A. B.C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零次方、分式以及根式的意義列式求解.【詳解】令，解得且，所以函數(shù)的定義域是且.故選：C.4.若，且，則（）．A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件求出的解析式，再利用即可求出結(jié)果.【詳解】因為，令，則，所以，即，又，所以，得到，故選：A.5.已知，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的判斷方法即可求出結(jié)果.【詳解】因為時，得，故，即可以推出，又時，得或，取，，滿足，但不滿足，即推不出，故“”是“”的充分不必要條件，故選：B.6.若關(guān)于的一元二次不等式的解集為或，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】分析可知，關(guān)于的方程的兩個根分別為、，且，結(jié)合韋達定理可得出、關(guān)于的等量關(guān)系，結(jié)合二次不等式的解法可得出所求不等式的解集.【詳解】因為關(guān)于的一元二次不等式的解集為或，則關(guān)于的方程的兩個根分別為、，且，所以，，，所以，，，所以，不等式即為，即，解不等式可得，因此，不等式的解集為.故選：B.7.對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】參變分離后，利用單調(diào)遞減求得最大值，即可求解.【詳解】因為對于任意的，不等式恒成立，所以對于任意的，不等式恒成立，因為在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，所以當時，，所以.故選：D.8.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式組，從而得解.【詳解】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.故選：C.二、多項選擇題（本題共4個，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分，共20分）9.已知命題p：“，”，則下列說法正確的是（）．A.：， B.：，C.p是真命題，是假命題 D.p是假命題，是真命題【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定判斷AB；根據(jù)一元二次方程結(jié)合命題的否定與原命題的真假性之間的關(guān)系判斷CD.【詳解】對于選項AB：：，，故A錯誤，B正確；對于選項CD：因為，解得，可知p是真命題，所以是假命題，故C正確，D錯誤；故選：BC10.已知、是正實數(shù)，則下列選項正確的是（）A.若，則有最大值B.若，則有最大值C.若，則有最大值D.若，則有最小值【答案】BCD【解析】【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后結(jié)合基本不等式可判斷A選項；利用基本不等式可判斷B選項；利用基本不等式求出的最大值，可判斷C選項；由已知等式變形可得，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可判斷D選項.【詳解】因為、是正實數(shù)，對于A選項，若，則，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，有最小值，A錯；對于B選項，若，則，當且僅當時，即當時，等號成立，故有最大值，B對；對于C選項，若，則，即，當且僅當時，即當時，等號成立，故有最大值，C對；對于D選項，若，即，即，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故有最小值，D對.故選：BCD.11.下列說法正確的是（）．A.不等式的解集是 B.“，”是“”成立的充分條件C.當時，則 D.“”是“”的必要條件【答案】ABD【解析】【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化一元二次不等式運算求解，判斷A；根據(jù)充分條件以及必要條件的概念可判斷BD；取特值舉反例可判斷C.【詳解】對于選項A：對不等式整理得，即，解得，則不等式的解集是，故A正確；對于選項B：當時，一定有成立，所以“”是“”成立的充分條件，故B正確；對于選項C：當時，例如，則，故C錯誤；對于選項D：當時，一定成立，所以“”是“"的必要條件，故D正確，故選：.12.設(shè)函數(shù)，則稱函數(shù)為的“”界函數(shù)，若給定函數(shù)，，則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意將函數(shù)表示為分段函數(shù)的形式，然后結(jié)合函數(shù)、的解析式逐項驗證個選項，即可得出合適的選項.【詳解】由，即，解得，所以，.對于A選項，，，所以，，A對；對于B選項，，，所以，，B錯；對于C選項，，，所以，，C對；對于D選項，，，所以，，D對.故選：ACD.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分）13.滿足的集合的個數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】列舉出滿足條件的集合，即可得解.【詳解】滿足的集合有：、、、、、、、，所以，滿足條件的集合的個數(shù)為.故答案為：.14.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】或【解析】【分析】對函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)、減函數(shù)進行分類討論，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時，則；當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時，則.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或.故答案為：或.15.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用抽象函數(shù)的定義域的求法即可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，由，得到，故函數(shù)的定義域為，由，即，得到，所以函數(shù)的定義域為，故答案為：.16.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)且，對任意的，都有成立．若對任意的都有恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意判斷出在上單調(diào)遞減，根據(jù)對任意的都有恒成立，可列式對任意的恒成立，根據(jù)臨界條件求解即可.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以當且時，有等價于，所以在上單調(diào)遞減．所以．因為對任意的都有恒成立，即對任意的恒成立，所以，設(shè)，則，解得所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分）17.（1）計算；（2）已知正實數(shù)x，y滿足，求的最小值．【答案】（1）25；（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運算求解；（2）利用基本不等式運算求解.【詳解】（1）原式；（2）因為x，y為正實數(shù)，由基本不等式知．當且僅當且，即，時，等號成立，所以的最小值為4．18.設(shè)集合，，其中；（1）當，求集合；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當時，求出集合、，利用并集的定義可求出集合；（2）對集合中的元素個數(shù)進行分類討論，結(jié)合可得出關(guān)于實數(shù)滿足的等式與不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：當時，，又因為，因此，當時，.【小問2詳解】解：對于方程，，因為，①當時，，解得；②當集合中只有一個元素時，，即，此時，，不合題意，舍去；③當時，，由此可知，和是方程：兩根，所以，，此時無解；綜上知實數(shù)取值范圍是．19.（1）已知集合，集合，若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知命題“，”為假命題，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分析可知，，且，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍；（2）由題意可知，關(guān)于的方程有實根，分、兩種情況討論，在時，直接驗證即可；在時，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）因為是成立的充分不必要條件，所以，，因為，則，所以，，所以，，解得，當時，，滿足，所以，存在實數(shù)滿足題意，且實數(shù)的取值范圍是；（2）因命題“，”為假命題，所以，命題“，”為真命題．則關(guān)于x的方程有實根．當時，則有，解得，合乎題意；當時，則有，解得且.綜上所述，的取值范圍為．20.某公司要建造一個長方體的無蓋儲水池，底面積為1600m，深3m．如果池底每1m的造價為120元，池壁每1m的造價為100元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？【答案】當水池地面設(shè)計成邊長為40m的正方形時總造價最低，最低總造價為240000元【解析】【分析】設(shè)池底一邊長為xm，根據(jù)題意可得水池總造價，結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】設(shè)池底一邊長為xm，則另一邊長為m，水池總造價為W元．由題可知，當且僅當，即時，等號成立，所以當水池地面設(shè)計成邊長為40m的正方形時總造價最低，最低總造價為240000元．21.已知函數(shù)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)且；（1）若對任意的正實數(shù)、都有，求最小值；（2）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義可得出關(guān)于、的等式組，解出這兩個函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值；（2）利用復(fù)合函數(shù)法分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出，可得出，結(jié)合基本不等式可求出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：因為函數(shù)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)且，則，即，所以，，解得，因為函數(shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，由可得，則，所以，，又因為、均為正實數(shù)，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故有最小值.【小問2詳解】解：定義域為，且函數(shù)為偶函數(shù)，當時，令，則，因為內(nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，外層函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由，因，則，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號