2022屆高三一輪復(fù)習(xí)提高-學(xué)案13-等差與等比數(shù)列（學(xué)生版）

一—

第十三講

等差與等比數(shù)列

授課教師：授課日期：

知識(shí)框架

定義與遞推的證明考點(diǎn)

公式與計(jì)算考點(diǎn)

等差與

等比數(shù)列

Ty^_數(shù)列性質(zhì)考點(diǎn)

函數(shù)與最值考點(diǎn)

知識(shí)梳理

一、定義與遞推的證明

1.要靈活的掌握等差或等比數(shù)列遞推呈現(xiàn)形式，特別是在復(fù)雜的遞推公式處理時(shí)應(yīng)關(guān)注相鄰項(xiàng)的呈現(xiàn)形式

并有目的的轉(zhuǎn)化

2.等差數(shù)列的定義與遞推相鄰項(xiàng)呈現(xiàn)形式

(■){??}：??+,-an=d,an+l=an+d,an+l-an=an-an_,,an+l+q-=2a?

(2)研究對(duì)象的關(guān)注，如研究{%,}：all+2-an=d,%,"2-七,,”等體現(xiàn)相鄰項(xiàng)

3.等比數(shù)列的定義與遞推相鄰項(xiàng)呈現(xiàn)形式

(2)類似等差數(shù)列一樣也要關(guān)注研究對(duì)象，如研究：{如"+可：kan+l+b=q^kan+b)

二、公式與計(jì)算

1.等差等比的公式涉及通項(xiàng)與和兩套公式，在套用公式計(jì)算時(shí)要求準(zhǔn)確抓住基本量來(lái)處理公式，特別是奇

偶分段數(shù)列的公式計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)問(wèn)題極易出錯(cuò)

2.等差數(shù)列公式

(1)通項(xiàng)公式：an=ax+(n-1)J,特定項(xiàng)公式=《"+("

(2)前"項(xiàng)和公式：5,=叫+幽二。1,Q=+""),特殊：5，1=(2〃-1)%或5“=/向(〃奇數(shù))

22—

3.等比數(shù)列公式

(1)通項(xiàng)公式：a,,=a0i,特定項(xiàng)公式《小"應(yīng)…

(2)前"項(xiàng)和公式：Sn=na}(q=\),S?~

i-q

三、數(shù)列性質(zhì)

i.等差與等比的性質(zhì)主要圍繞下標(biāo)規(guī)律觀察并進(jìn)行運(yùn)算得到，

(1)下標(biāo)和性質(zhì)：下標(biāo)和相等，項(xiàng)數(shù)一致形成結(jié)論(常用于兩項(xiàng)對(duì)兩項(xiàng))

(2)下標(biāo)差性質(zhì)：任兩項(xiàng)關(guān)系都可由下標(biāo)差來(lái)觀察，對(duì)等差q-勺=(〃-“)"，等比&=特別地，兩

式項(xiàng)數(shù)一致時(shí)常進(jìn)行對(duì)應(yīng)相減(等差)或相除(等比)，如：4+%+…+%

%+。4+…+%020

(3)卜標(biāo)分組：n項(xiàng)分組形成Sn,S2n—Slt,S3n—S2n…或奇偶分組S“=(4+/+,?,)+(%+%+…)

(4)等差數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)聯(lián)

四、函數(shù)與最值

1.數(shù)列的函數(shù)思想常表現(xiàn)在解答題中，通過(guò)處理最值來(lái)求得恒成立的參數(shù)問(wèn)題，要掌握數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解

決數(shù)列的函數(shù)最值問(wèn)題

例題講解

例1.（2019浦東新區(qū)校級(jí)模擬）實(shí)數(shù)a,人滿足且aw"由a、b、竺、而按一定順序構(gòu)

2

成的數(shù)列（）

A.可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列

B.可能是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列

C.不可能是等差數(shù)列，但可能是等比數(shù)列

D.不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列

【難度】★★★

例2.（2018閔行區(qū)二模）已知等比數(shù)列｛6｝的前”項(xiàng)和為S"，則下列判斷一定正確的是（）

A.若$3>0,貝U〃2018>0B.若$3<0，則。2018<0

C.若貝U。2019>%018D?若l-〉,，貝U。2019V々2018

a2ai

【難度】★★★

例3.（2021奉賢區(qū)二模）設(shè)S”為正數(shù)列｛《,｝的前"項(xiàng)和，S"U=qS"+S1,q>\,對(duì)任意的〃.」，nwN

均有Sn+I?4%,則q的取值為

【難度】★★★

例4.已知數(shù)列山是公差不為°的等差數(shù)列，V"是等比數(shù)歹人且…’，

數(shù)列電｝的前”項(xiàng)和為5“.

（1）求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)c"求｛%｝的前〃項(xiàng)和7“；

（3）若展蚌-JLB對(duì)恒成立，求3-A的最小值.

S.

【難度】★★★

例5.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列伍“｝的前”項(xiàng)和是5.，若｛%｝和｛后｝都是等差數(shù)列，且公差相等，則《=

【難度】★★★

例6.已知函數(shù)f（x）=2x-cosx,數(shù)列｛4“｝是公差為土的等差數(shù)列，若/（aj+ya；）+/（4）+/（包）+

8

/（%）=5%，則"（4）F-a%=

【難度】★★★

例7.己知等差數(shù)列屹“｝的前”項(xiàng)和為7；,且￡=4,々=6.

（1）求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式；

（2）若正整數(shù)4,n2,，小…滿足5VN<%…%,…且&，么，b,、,bn,瓶，…成等

比數(shù)列，求數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公式”是正整數(shù)）；

（3）給出命題：在公比不等于1的等比數(shù)列｛4｝中，前”項(xiàng)和為S“，若4,勺+2,用成等差數(shù)列，則黑，

鼠,2，5,向也成等差數(shù)列.試判斷此命題的真假，并證明你的結(jié)論.

【難度】★★★

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2020奉賢區(qū)二模）已知等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)不為零，且小、小、見(jiàn)3成等比數(shù)列，則公比是

【難度】★★★

2.等比數(shù)列｛q｝的公比為q,其前〃項(xiàng)積為7；,并且滿足條件％>1,如40n>1，eT<0,給出下列

結(jié)論：①0<4<1;②%⑼-1<0;③Zoo的值是7；中最大的；④使7；>1成立的最大自然數(shù)〃等于198.其

中正確的結(jié)論是

【難度】★★★

3.(2019黃浦區(qū)校級(jí)三模)已知｛凡｝是首項(xiàng)為a,公差為1的等差數(shù)列，2=匕組.若對(duì)任意的〃eN*,

an

都有b?..bw成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【難度】★★★

4.(2020寶山區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)y=/(x)為定義域R上的奇函數(shù)，且在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)

g(%)=/(%-3)+x，數(shù)列｛4〃｝為等差數(shù)列，且公差不為0，若g(q)+g(a2)+…+g(%)=27，則

4+4+…+。9=

【難度】★★★

5.(2020嘉定區(qū)二模)設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且2s“是6和g的等差中項(xiàng).若對(duì)任意的〃wN”，

都有35"-'e[s,小貝h-s的最小值為()

S”

A.-B.-C.-D.-

3426

【難度】★★★

6.(2018上海模擬)等差數(shù)列｛”"｝的公差a?eR,前〃項(xiàng)和為S“，則對(duì)正整數(shù)機(jī)，下列四個(gè)結(jié)論

中：

(1)5/S2m-Sm,成等差數(shù)列，也可能成等比數(shù)列;

(2)Sm,S2l?-Sm,Sw-Sz,”成等差數(shù)列，但不可能成等比數(shù)列；

(3)黑，S“S3”可能成等比數(shù)列，但不可能成等差數(shù)列；

(4)S,.,S2m,S3”不可能成等比數(shù)列，也不可能成等差數(shù)列；

正確的是()

A.(1)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)

【難度】★★★

7.(2020徐匯區(qū)校級(jí)模擬)已知｛4｝是等差數(shù)列，4=3,q=12,數(shù)列電｝滿足々=4,d=20,且｛/-〃｝

是等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛??｝和｛"｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)q,=bncos(n^)?求數(shù)列｛c“｝的前”項(xiàng)和Sn.

【難度】★★★

能力提升

1.(2021寶山區(qū)二模)如果數(shù)列同時(shí)滿足以下四個(gè)條件：

(1)u；eZ(/=l,2......10)；

(2)點(diǎn)(%，2"L%)在函數(shù)y=4、的圖像上；

(3)向量■=(1,%)與5=(3,%。)互相平行;

(4)%*1—%與------的等差中項(xiàng)為—(i=l,2,....，9)；

UM-ui2

那么，這樣的數(shù)列4,u2,%的個(gè)數(shù)為()

A.78B.80C.82D.90

【難度】★★★

熟練精進(jìn)

1.(2021徐匯區(qū)校級(jí)三模)已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若4=3，S”-九=36,則數(shù)歹U伍“｝的

公差為_(kāi)______

【難度】★★★

2.(2021奉賢區(qū)二模)已知各項(xiàng)為正的等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，若％+%-d=0,則品=

【難度】★★★

3.在等差數(shù)列｛%｝中，也<-1,若它的前“項(xiàng)和5”有最大值，則使S,,取得最小正數(shù)的〃=

【難度】★★★

4.已知兩個(gè)等差數(shù)列｛”,,｝、也,｝的前〃項(xiàng)和分別為4和紇，若&=4±史，則使繪為整數(shù)的正整數(shù)的

B“〃+3b?

個(gè)數(shù)是_______

【難度】★★★

5.（2020上海模擬）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足S“=2：；,則［=

【難度】★★★

.2，22?2?,）

6.設(shè)等差數(shù)列｛/｝滿足：si展出一cos-%+cos-%絲生一sm出力r%=1，公差"e（_i,o）,若當(dāng)且僅當(dāng)

sin（%+%）

〃=9時(shí)，數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和5”取最大值，則首項(xiàng)4的取值范圍為

【難度】★★★

7.等差數(shù)列｛”,｝的前”項(xiàng)和為S”，當(dāng)4,“變化時(shí)，若4+%+4是一個(gè)定值，那么下列各數(shù)中也為定

值的是（）