人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 24.10 圓周角（知識講解）

專題24.10圓周角（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解并圓周角的概念，識別圓周角；2.理解圓周角定理及其推論，能靈活運用圓周角的定理及其推理解決有關(guān)問題；【要點梳理】【知識點一】定義：頂點在圓上,角的兩邊都與圓相交的角。(兩條件缺一不可)；【知識點二】圓周角定理：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半?！局R點三】圓周角定理推論：推論1：在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等；推論2：直徑(半圓)所對的圓周角是直角；90度的圓周角所對的弦為直徑?！局R點四】常見的輔助線作法：①常見輔助線：有直徑可構(gòu)成直角，有90度圓周角可構(gòu)成直徑；②找圓心的方法:作兩個90度圓周角所對兩弦交點)?！局R點五】圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理:圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。(任意一個外角等于它的內(nèi)對角)【知識點六】補(bǔ)充知識點：補(bǔ)充1：兩條平行弦所夾的弧相等；補(bǔ)充2：圓的兩條弦1在圓外相交時,所夾角等于它所對的兩條弧度數(shù)差的一半；（2)在圓內(nèi)相交時,所夾的角等于它所夾兩條弧度數(shù)和的一半；補(bǔ)充3：同弧所對的(在弧的同側(cè))圓內(nèi)部角最大其次是圓周角,最小的是圓外角?！镜湫屠}】類型一、圓周角概念1．觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？【答案】特征見分析，(c)圖中∠3、∠4、∠BAD是圓周角解：(a)∠1頂點在⊙O內(nèi)，兩邊與圓相交，所以∠1不是圓周角；(b)∠2頂點在圓外，兩邊與圓相交，所以∠2不是圓周角；(c)圖中∠3、∠4、∠BAD的頂點在圓周上，兩邊均與圓相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圓周角．(d)∠5頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以∠5不是圓周角；(e)∠6頂點在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知∠6不是圓周角.【點撥】本題主要考查了圓周角的定義，熟練掌握頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】判斷下列圖形中的角是不是圓周角，并說明理由：【答案】圖（3）是圓周角．圖（1）（2）的頂點沒有在圓上，圖（4）（5）中角的兩邊沒有都與圓相交，都不是圓周角．【分析】根據(jù)圓周角的定義對各圖進(jìn)行判斷即可．解：圖（3）頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交，是圓周角．圖（1）（2）的頂點沒有在圓上，圖（4）（5）中角的兩邊沒有都與圓相交，都不是圓周角．【點撥】本題考查了圓周角定義，解題關(guān)鍵是明確頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．類型二、利用圓周角定理求值或證明2．如圖，點A，B，C，D在⊙O上，＝．求證：AC＝BD；(2)△ABE∽△DCE．【分析】（1）兩個等弧同時加上一段弧后兩弧仍然相等；再通過同弧所對的弦相等證明即可；（2）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，對頂角相等即可證明相似．解：(1)∵＝∴＝∴∴BD=AC(2)∵∠B=∠C；∠AEB=∠DEC∴△ABE∽△DCE【點撥】本題考查等弧所對弦相等、所對圓周角相等，掌握這些是本題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在菱形ABCD中，，P為AC，BD的交點，經(jīng)過A，B，P三點．求證：AB為的直徑．請用無刻度的直尺在圓上找一點Q，使得BP=PQ（不寫作法，保留作圖痕跡）．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠APB=90°，再由90°角所對的弦為圓的直徑，即可求證；（2）延長DA交于點Q，連接PQ，則PQ即為所求，理由：連接BQ，根據(jù)AB為的直徑，可得∠AQB=90°，從而得到∠BDQ+∠PBQ=90°，再由菱形的性質(zhì)可得∠ABP+∠PBQ=90°，再由圓周角定理，即可求解．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠APB=90°，∵經(jīng)過A，B，P三點．∴AB為的直徑；(2)解：如圖，延長DA交于點Q，即為所求，理由：連接BQ，∵AB為的直徑，∴∠AQB=90°，∴∠BDQ+∠PBQ=90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=AD，∴∠APB=90°，∠BDQ=∠ABP，∴∠ABP+∠PBQ=90°，∵∠ABP+∠BAP=90°，

∴∠BAP=∠PBQ，∵∠BAP=∠BQP，∴∠PBQ=∠BQP，∴BP=PQ．【點撥】本題主要考查了圓周角定理，菱形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，，以AC為直徑作⊙O分別交AB、BC于點D、E，連接EO并延長交⊙O于點F，連接AF．求證：；若，求AF的長．【答案】(1)見分析(2)【分析】（1）根據(jù)，，根據(jù)等邊對等角即可得證；（2）證明四邊形是平行四邊形，連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得的長．解：(1)，，，，，(2)，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，連接，是直徑，，，，，．【點撥】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是弧AC的中點，延長BC到點E，使，連接BD，ED．(1)求證：；(2)若，，⊙O的直徑長為．【答案】(1)見分析(2)10【分析】（1）根據(jù)同弧所對的弦相等可得AD=CD，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠DCE，證明△ABD≌△CED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（2）連接OA，OD，根據(jù)圓周角定理，可得∠AOD=60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理可得△AOD是等邊三角形，故半徑為5，即可求得直徑．(1)證明：∵D是弧AC的中點，∴，∴AD=CD，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A=∠DCE，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD=ED．(2)解：連接OA，OD，如圖，∵D是弧AC的中點，∴，∴∠ABD=∠CBD=，∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴半徑OA=AD=5，∴直徑長=10．故答案為：10．【點撥】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同弧所對的弦相等、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)．舉一反三：【變式1】如圖，A，是半圓上的兩點，是的直徑，，是的中點．在上求作一點，使得最短；若，求的最小值．【答案】(1)作圖見分析(2)【分析】（1）作出B關(guān)于CD的對稱點，連接，交CD于P點，P就是所求的點；（2）延長AO交圓與E，連接，可以根據(jù)圓周角定理求得的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠A的度數(shù)，然后在直角中，解直角三角形即可求解．(1)解：作，交圓于，然后連接，交CD于P點，P就是所求的點；此時：(2):延長AO交圓于E，連接．∵，∴，∵∠AOD=80°，B是的中點，∴．∴，又∵，∴．∵AE是圓的直徑，∴，而∴直角中，，∴【點撥】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及圓周角的性質(zhì)定理，正確求得的度數(shù)是關(guān)鍵．【變式2】如圖，點A，B分別在∠DPE兩邊上，且，點C在∠DPE平分線上．(1)連接AC，BC，求證：；(2)連接AB交PC于點O，若，，求PO的長；(3)若，且點O是的外心，請直接寫出四邊形PACB的形狀．【答案】(1)證明見分析(2)(3)正方形，理由見分析【分析】（1）證明△PAC≌△PBC即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到∠APC=∠BPC=30°，OP⊥AB于O，求得AO=3，再利用勾股定理即可得到結(jié)論；（3）先證明在以O(shè)為圓心，OP為半徑的圓上，再證明∠APB=∠PBC=∠BCA=∠CAP=90°，可得四邊形為矩形，再證明根據(jù)正方形的判定定理即可得到結(jié)論．(1)證明：∵點C在∠DPE平分線上，∴，又∵PA=PB，PC=PC，∴△PAC≌△PBC（SAS）；(2)解：∵∴∠APC=∠BPC=30°，OP⊥AB于O；∵PA=6，∴AO=3，(3)解：如圖，∵點O是△PAB的外心，∴OA=OB=OP，而OP=OC，在以O(shè)為圓心，OP為半徑的圓上，為圓的直徑，∴∠APB=∠PBC=∠BCA=∠CAP=90°，∴四邊形為矩形，平分∴四邊形為正方形．【點撥】本題考查了圓的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，圓的確定，圓周角定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．類型三、同弧或等弧所對的圓周角相等4．已知：如圖，中，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，連接DE，若．求證：．【分析】連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得，根據(jù)弦與圓周角的關(guān)系可得，進(jìn)而證明，可得，根據(jù)已知條件，等量代換即可得證．解：連接，如圖，AB為直徑的⊙O，，，，，，又，，，，．【點撥】本題考查了弦與圓周角的關(guān)系，直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，AB為的直徑，，于D，交BE于F，連接CB．求證：．【分析】連接AE，根據(jù)同圓等弧所對的圓周角相等得到，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到，再根據(jù)垂直的定義得到，從而可以推出得到．解：證明：連接AE，∵，∴，∵AB為直徑，∴，∴，∵于D，∴，∴，∴，∴∴．【點撥】本題主要考查了同圓中等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，垂直的定義，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，設(shè)∠B＝α，請用無刻度的直尺按要求作圖（保留作圖痕跡）．在圖①中畫一個度數(shù)是2α的圓心角；在圖②中作出∠C的余角．【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓心角等于其所對的圓周角的2倍，分別連接OC、OA，可得∠COA＝2α；（2）連接OA，延長OA交圓于P連接PC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠PCA＝90°，可得∠PCB是∠ACB的余角．解：(1)如圖①，連接OA、OC，∵∠ABC和∠AOC是所對的圓周角和圓心角，∠B＝α，∴∠AOC=2∠ABC=2α．∴∠AOC即為所求．(2)如圖②，連接OA，延長OA交圓于P，連接PC，∵AP為直徑，∴∠ACP=90°，∴∠ACB+∠PCB=90°，∴∠PCB是∠ACB的余角，∴∠PCB即為所求．【點撥】本題主要考查圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角；熟練掌握圓周角定理是解題關(guān)鍵．類型四、半圓或直徑所對的圓周角等于90度5．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D是圓上兩點，點C是弧AB的三等分點，AD=6，BD=8．求BC的長．【答案】5【分析】先利用直徑所對的圓周角是直角，求得∠ADB和∠ACB的度數(shù)，結(jié)合已知條件利用勾股定理求得直徑AB的長，再根據(jù)點C是弧AB的三等分點得到∠BOC的度數(shù)，進(jìn)而利用30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解．解：∵AB是直徑∴∠ADB=∠ACB=90°∴AB=∵點C是弧AB的三等分點∴∠BOC==60°∴∠BAC=30°∴BC=AB=5【點撥】本題考查了圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)，正確識圖是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】請僅用無刻度直尺完成以下作圖．（保留畫圖痕跡，不寫作法）已知四邊形ABCD內(nèi)接于，且已知．在圖1中已知，在上求作一個度數(shù)為30°的圓周角；在圖2中，已知，在上求作一個度數(shù)為30°的圓周角．【分析】（1）連接BD，利用圓周角定理結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得結(jié)合得出答案；（2）如圖，作直徑AE，連接AC，利用圓周角定理得出進(jìn)而得出答案．(1)解：如圖1，（或）即為所求作的角，(2)解：如圖2，，【點撥】本題主要考查了復(fù)雜作圖以及圓周角定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用圓周角定理是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，連接AC、BD，BD是的直徑，且，．求證：．【分析】要證，只要證，可先證△ABC是等邊三角形，求得，，即可．解：∵，BD是的直徑，∴，，∵，∴△ABC是等邊三角形，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了圓周角定理的推論及等邊三角形的判定，直徑所對的圓周角等于90°，通過計算角的度數(shù)證線段相等是解決問題的關(guān)鍵．類型五、90度的圓周角所對的弦為直徑，所對的弧為半圓6．已知P是上一點，過點P作不過圓心的弦PQ，在劣弧PQ和優(yōu)弧PQ上分別有動點A、B（不與P，Q重合），連接AP、BP．若．（1）如圖1，當(dāng)，，時，求的半徑；（2）在（1）的條件下，求四邊形APBQ的面積（3）如圖2，連接AB，交PQ于點M，點N在線段PM上（不與P、M重合），連接ON、OP，若，探究直線AB與ON的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）；見分析【分析】（1）連接AB，由已知得到∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°，根據(jù)圓周角定理證得AB是⊙O的直徑，然后根據(jù)勾股定理求得直徑，即可求得半徑；（2）證明是等腰直角三角形，得出，根據(jù)可得結(jié)論；（3）連接OA、OB、OQ，由∠APQ=∠BPQ證得，即可證得OQ⊥AB，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證得∠NOQ=90°，即NO⊥OQ，即可證得AB∥ON．解：（1）連接AB，如圖1，∵，∴，∴AB是的直徑，∴，∴的半徑為；（2）連接AQ，BQ，如圖2，∵∴∵∴∴是等腰直角三角形∵，∴∴（3），理由如下：連接OQ，如圖3，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴【點撥】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，∠ABC的平分線交AD于點E．（1）求證：DE＝DB；（2）若∠BAC＝90°，BD＝5，求△ABC外接圓的半徑．【答案】（1）見分析；（2）△ABC外接圓的半徑：r【分析】（1）結(jié)合角平分線的定義，首先證明D為弧BC的中點，從而證得∠DBC＝∠BAE，再利用等角對等邊證明即可；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接CD，利用等弧所對的弦相等，從而得到等腰直角三角形，進(jìn)而求解即可．解：（1）證明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠