高一數(shù)學(xué)北師大版選修2-1 第三章 §2 2.2 應(yīng)用創(chuàng)新演練

1．拋物線x2＝－4y的通徑為AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則()A．通徑AB長(zhǎng)為8，△AOB面積為4B．通徑AB長(zhǎng)為8，△AOB面積為2C．通徑AB長(zhǎng)為4，△AOB面積為4D．通徑AB長(zhǎng)為4，△AOB面積為2解析：拋物線的通徑為過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)為2p.故AB＝4.S△AOB＝eq\f(1,2)·1·4＝2.答案：D2．(2011·遼寧高考)已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A.eq\f(3,4) B．1C.eq\f(5,4) D.eq\f(7,4)解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).答案：C3．若拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為10和6，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和p的值分別為()A．9,2 B．1,18C．9,2或1,18 D．9,18或1,2解析：設(shè)M(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|y0|＝6，,x0＋\f(p,2)＝10.))因?yàn)閥eq\o\al(2,0)＝2px0，所以36＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝18.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,x0＝9，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝18，,x0＝1.))答案：C4．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－eq\r(3)，那么|PF|＝()A．4eq\r(3) B．8C．8eq\r(3) D．16解析：由拋物線的定義得，|PF|＝|PA|，又由直線AF的斜率為－eq\r(3)，可知∠PAF＝60°.△PAF是等邊三角形，∴|PF|＝|AF|＝eq\f(4,cos60°)＝8.答案：B5．拋物線y2＝4x的弦AB垂直于x軸，|AB|＝4eq\r(3)，則焦點(diǎn)(1,0)到AB的距離為_(kāi)_______．解析：由題意知A(x0,2eq\r(3))，則(2eq\r(3))2＝4x0，∴x0＝3，則焦點(diǎn)F(1,0)到AB的距離為2.答案：26．對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：①焦點(diǎn)在y軸上；②焦點(diǎn)在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④拋物線的通徑的長(zhǎng)為5；⑤由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)．則使拋物線方程為y2＝10x的必要條件是________(要求填寫(xiě)合適條件的序號(hào))．解析：由拋物線方程y2＝10x，知它的焦點(diǎn)在x軸上，所以②適合．又∵它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(eq\f(5,2)，0)，原點(diǎn)O(0,0)，設(shè)點(diǎn)P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，∴⑤也合適．而①顯然不合適，通過(guò)計(jì)算可知③、④不合題意．∴應(yīng)填序號(hào)為②、⑤.答案：②⑤7．(2012·四川高考改編)已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，y0)．若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，求拋物線方程及|OM|的值．解：設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(p,2)，0)，準(zhǔn)拋物線方程為x＝－eq\f(p,2)，∵M(jìn)在拋物線上，∴M到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即∴eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(p,2)))2＋y\o\al(2,0))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(p,2)))2)＝3.解得：p＝1，y0＝±2eq\r(2)，∴拋物線方程為y2＝2x.∴點(diǎn)M(2，±2eq\r(2))，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式有：|OM|＝eq\r(22＋±2\r(2)2)＝2eq\r(3).8．定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2＝2x上移動(dòng)，M為AB的中點(diǎn)，求M到y(tǒng)軸的最短距離．解：如圖：拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，準(zhǔn)線l：x＝－eq\f(1,2)，過(guò)A，B，M分別作l的垂線，垂足分別為A′，B′，M′.由拋物線的定義得|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，又M為AB的中點(diǎn)，則MM′為梯形的中位線，∴|MM′|＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)