湖南省衡陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測 數(shù)學(xué)

2024屆高三11月質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)本試卷共4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.1 B.4 C.6 D.72.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.3.設(shè)a，b是空間兩條不同直線，則“a與b無公共點”是“a與b是異面直線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.5.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.6.如圖是一坐山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂?shù)木嚯x為，B是山坡的中點.為了發(fā)展當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，當(dāng)公路長度最短時，公路距山頂?shù)淖罱嚯x為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)滿足，對任意實數(shù)x，y都有成立，則（）A. B. C.2 D.18.已知，函數(shù)與的圖象在上最多有兩個公共點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若a，，則下列命題正確的是（）A.若且，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10.某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在14℃的保鮮時間是48小時，則下列說法正確的是（）參考數(shù)據(jù)：，A.B.若該食品儲藏溫度是21℃，則它的保鮮時間是16小時C.D.若該食品保鮮時間超過96小時，則它的儲藏溫度不高于7℃11.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則（）A. B.當(dāng)n為奇數(shù)時，C.數(shù)列為等比數(shù)列 D.數(shù)列的前n項和小于12.已知正方體的棱長為2，P是正方體表面上一動點，且，記點P形成的軌跡為，則下列結(jié)論正確的是（）A.，， B.，，C.的長度是8 D.的長度是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則______.14.寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程______.15.已知關(guān)于x的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是______.16.已知函數(shù)則方程的解的個數(shù)是______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知函數(shù)和在處有相同的導(dǎo)數(shù).（1）求；（2）設(shè)是的極大值點，是的極小值點，求的值.18.（本小題滿分12分）如圖，在斜四棱柱中，底面正方形的中心是O，且平面.（1）證明：平面平面；（2）若該四棱柱的所有棱長均為1，求二面角的余弦值.19.（本小題滿分12分）為了加快實現(xiàn)我國高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點圖，其中年份代碼1～10分別對應(yīng)年份2013～2022.圖1圖2根據(jù)散點圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計算得到如下表所示的一些統(tǒng)計量的值：752.2582.54.512028.35表中，.（1）根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗回歸方程模型?并說明理由；（2）（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；（ii）設(shè)該科技公司的年利潤（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足（且），問該科技公司哪一年的年利潤最大?附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.20.（本小題滿分12分）在數(shù)列中，已知，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的值；（3）若數(shù)列滿足，求證：.21.（