重慶市渝北區(qū)重點高中2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)

高2024屆期中考試數(shù)學(xué)試卷總分：150分 考試時間：120分鐘一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分。1.已知集合，則（

）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A.3 B.1 C. D.3.已知，則（

）A. B. C. D.4.已知等比數(shù)列的首項，前項和為，且成等差數(shù)列，則（

）A. B.C. D.5.已知四棱錐的底面是正方形，平面，若，則平面與平面夾角的余弦值為（

）A. B. C. D.6.某款對戰(zhàn)游戲，總有一定比例的玩家作弊該游戲每10個人組成一組對局，若一組對局中有作弊玩家，則認(rèn)為這組對局不公平.現(xiàn)有50名玩家，其中有2名玩家為作弊玩家，一次性將50名玩家平均分為5組，則5組對局中，恰有一組對局為不公平對局的概率為（

）A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的值為（

）A. B. C. D.8.已知，則（

）A. B.C. D.二、多項選擇題：共4小題，每小題5分，共20分。9.設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A. B.C.若，則的最大值為2 D.若復(fù)數(shù)，則10.在中，下列說法正確的有（

）A.若，則公眾號：全元高考go.若為銳角三角形，則C.若，則一定是等腰三角形D.若為鈍角三角形，且，，，則的面積為11.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（

）

A.B.與平面所成角為C.異面直線與所成角的余弦值為D.平面與平面夾角的余弦值為12.已知函數(shù)，若存在實數(shù)使得方程有四個互不相等的實數(shù)根，分別為，且，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.的取值范圍為三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分。13.已知（為銳角），則.14.已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，則15.在一次投籃比賽中，甲、乙、丙三人投籃命中的概率分別為，，，若每次投球三人互不影響，則在一次投球中，三人中至少有兩人投籃命中的概率為.16.已知對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題：共70分。17.（10分）已知集合，不等式的解集為.(1)當(dāng)時，求；公眾號：全元高考(2)若，求實數(shù)的取值范圍.公眾號：全元高考18.（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項利.19.（12分）已知函數(shù)（，，）的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為.函數(shù)的最大值為2，且______.請從以下3個條件中任選一個，補充在上面橫線上，①為奇函數(shù)；②當(dāng)時；③是函數(shù)的一條對稱軸.并解答下列問題：(1)求函數(shù)的解析式；(2)在中，、，分別是角，，的對邊，若，，的面積，求的值.20.（12分）如圖，，為圓柱的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是，的中點，面.

(1)證明：平面ABC；(2)若，求平面與平面BDC的夾角余弦值.21.（12分）紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對柚子樹造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.參考數(shù)據(jù)（）5215177137142781.33.6

(1)根據(jù)散點圖判斷，與（其中…為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個）關(guān)于平均溫度x（℃）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計算結(jié)果精確到0.1）附：回歸方程中，，(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%，對柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲措施；平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%，柚子產(chǎn)量會下降20%；平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%，柚子產(chǎn)量會下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.在每年價格不變，無蟲害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益＝產(chǎn)值－防害費用）為目標(biāo)，請為果農(nóng)從以下幾個方案中推薦最佳防害方案，并說明理由.方案1：選擇防害措施A，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn)，費用是18萬；方案2：選擇防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害，但無法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害，費用是10萬；方案3：不采取防蟲害措施.22.（12分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，比較與的大小；(2)若函數(shù)，且，證明：.高2024屆期中考試數(shù)學(xué)試卷參考答案單選：1—4：ADAB 5—8：BCCB多選：9.ACD 10.AB 11.ACD 12.BD詳解：1.由得，，所以，2.設(shè)，依題意，，，所以，解得，則.3.由，得，即，所以.4.設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于成等差數(shù)列，所以，由于，所以，所以，所以，，所以.5.四棱錐的底面是正方形，平面，則此四棱錐可補形成長方體，如圖，

顯然直線是平面與平面的交線，由平面，得，因此是平面與平面所成二面角的平面角，在中，，則，，所以平面與平面夾角的余弦值為.6.所有對局中，恰有一組對局是不公平對局的情況為：2名外掛玩家都分到了同一組對局，記該事件為事件，則.7.設(shè)點，則，令，，可知的最小值即為上的點與上的點之間的距離平方的最小值，若直線與函數(shù)的圖象相切，設(shè)切點的橫坐標(biāo)為，因為，可得，解得：，則切點為，且切點在上，故，點到直線的距離為，所以，又因為有解，則，此時點P在上，也在直線在點P處的垂線即直線上，其中直線在點P處的垂線的斜率為，所以直線在點P處的垂線方程為：即點坐標(biāo)滿足，解得，即.8.令，設(shè)且，則，令，則，所以單調(diào)遞增，則，故單調(diào)遞增，所以，故在上恒成立，則，即，由三角函數(shù)線，時有，則，即.綜上，.9.對于A，設(shè)()，則，所以，而，所以成立，故A正確；對于B，設(shè)()，當(dāng)均不為時，為虛數(shù)，而為實數(shù)，所以不成立，故B錯誤；對于C，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與兩點間的距離，所以，如圖可知，當(dāng)點P為時，最大，取最大值，最大值為2，故C正確；

對于D，設(shè)()，（），由，則，則；；所以，故D正確.10.對于A：因為，所以，所以，A正確；對于B：因為是銳角三角形，所以，即，因為且，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，B正確；對于C：，即，即，所以，而A,B為三角形內(nèi)角，所以或者，所以是等腰三角形或者直角三角形，C錯誤；對于D：易求出，而，所以，化簡可得，解得或者，當(dāng)時此時是最大角且，所以滿足鈍角三角形，此時，當(dāng)時此時為最大角且，所以滿足鈍角三角形，此時，所以D錯誤，11.設(shè)，對于A選項，，由余弦定理可得，所以，，所以，，因為底面，平面，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，A對；對于B選項，因為底面，所以，與平面所成的角為，且，又因為為銳角，故，即與平面所成角為，B錯；對于C選項，因為四邊形為平行四邊形，則，且，所以，異面直線與所成角為或其補角，因為底面，平面，則，所以，，則，故異面直線與所成角的余弦值為，C對；對于D選項，因為底面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，，所以，平面與平面夾角的余弦值為，D對.12.作出在上的圖象，如圖所示：對于A，因為，又因為方程有四個互不相等的實數(shù)根，所以，故A錯誤；對于B，由題意可得，，且有，，所以，故，當(dāng)，即時，等號成立，故B正確；對于C，由題意可得，由A可知，所以，故C錯誤；對于D，由題意可知與關(guān)于直線對稱，且，，所以，故.因為，所以.又因為，所以，在上單調(diào)遞減，故,所以，，所以.因為，，所以，在單調(diào)遞增，所以，故，所以的取值范圍為，故D正確.13. 14.7 15. 16.13.因為為銳角，，所以為第二象限角，又，所以.14.若公差為且，則，由.15.由已知可得，一次投球中，三人中恰有兩人投籃命中的概率；一次投球中，三人投籃均命中的概率.所以，在一次投球中，三人中至少有兩人投籃命中的概率.16.根據(jù)題意可知，，由，可得恒成立，令，則，現(xiàn)證明恒成立，設(shè)，，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故時，函數(shù)取得極小值即最小值，，所以，即恒成立，，，當(dāng)且僅當(dāng)（該方程顯然有解）時取等號，所以，即.所以實數(shù)的取值范圍是.17.（1）當(dāng)時，；或，解得，故，故；（2）由得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故，解得，即實數(shù)的取值范圍為或.18.（1）因為，所以不為常數(shù)，由，得，即，解得或（舍去），當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，①則，②①-②：.所以，所以.經(jīng)檢驗，當(dāng)時，滿足上式，所以.19.（1）由題意得，∴最小正周期，則，∴.若選①，為奇函數(shù)，則，∴，即∵，即，∴即，∴.若選②，當(dāng)時，∴即，∵，∴，∴.若選③，是函數(shù)的一條對稱軸，∴即∵，∴，∴.（2）∵，∴,即，∵即，∴，即，又∵，的面積，∴得，在中，由余弦定理得：，解得.20.（1）證明：如圖所示，取中點F，連接DF，EF，因為D，E，F(xiàn)分別為，，的中點，所以，，又因為平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又因為，平面，所以平面平面，又因為平面DEF，所以平面.

（2）解：如圖所示，連接，因為分別為的中點，所以，且，又因為D為的中點，所以，且，所以，且，即四邊形AOED為平行四邊形，即，因為面，所以面.又因為面，所以，可得，以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，可得，，，，，則，，，,設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以.設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.

21.（1）由散點圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型.（2）將兩邊同時取自然對數(shù)，可得，由題中的數(shù)據(jù)可得，，，所以，則，所以z關(guān)于x的線性回歸方程為，故y關(guān)于x的回歸方程為；（3）用，和分別表示選擇三種方案的收益.采用第1種方案，無論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，收益為萬，即采用第