2023屆高考復(fù)習(xí)滿分訓(xùn)練【多選題與雙空題滿分訓(xùn)練】 13立體幾何多選題 解析版

【多選題與雙空題滿分訓(xùn)練】專題13立體幾何多選題

2023屆高考復(fù)習(xí)滿分訓(xùn)練

新高考地區(qū)專用

1.（2023?福建漳州?三模）已知小。是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是

（）

A.若a//a,aJL〃，則aJ■/

B.若&則

C.若aua,a〃乃,buP，〃//a,貝!]a〃萬

D.若aJ_/,a,則4〃a

【答案】AD

【解析】

【分析】

根據(jù)空間中線面、面面的平行、垂直的判斷定理和性質(zhì)定理分析判斷.

【詳解】

alia,則平面a內(nèi)存在直線/與直線。平行，〃，/貝以上夕，可得

A正確；

若a_L4，則平面a內(nèi)存在直線與平面夕垂直，但不是任意一條直線均與平面廣垂直

B不正確；

根據(jù)面面平行的判定定理要求直線。、A相交，C不正確；

?!/?,則平面a內(nèi)存在直線/與平面夕垂直，a，B，aaa,則〃/.,a//a

D正確；

故選：AD.

2.（2022?河北廊坊?模擬預(yù)測）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立.下面給出的

平面幾何中的四個(gè)真命題，在空間中仍然成立的有（）

A.平行于同一條直線的兩條直線必平行

B.垂直于同一條直線的兩條直線必平行

C.一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

D.一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據(jù)線線平行傳遞性和課本中的定理可判斷AC正確；垂直于同一條直線的兩條直線位置關(guān)系不確定，可

判斷B,通過舉反例可判斷D.

【詳解】

根據(jù)線線平行具有傳遞性可知A正確；

空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關(guān)系可能是異面、相交、平行，故B錯(cuò)誤；

根據(jù)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)可知C正確;

如圖，C夕,&c￡=/,且Q4_U,C￡>_L/,

則。41CE,CDL08,但NA0B和/DCE的關(guān)系不確定，

故D錯(cuò)誤.

故選：AC

3.（2022?重慶?三模）如圖，在正方體ABC。-48cA中，。為正方形ABCD的中心，當(dāng)點(diǎn)P在線段BG

上（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動時(shí)，下列直線中一定與直線0P異面的是（）

C.D.AA

【答案】BCD

【解析】

【分析】

對于A,當(dāng)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，OPUA玩,故A不正確；對于BCD,根據(jù)異面直線的判定定理可知都正

確.

【詳解】

對于A,當(dāng)P為BG的中點(diǎn)時(shí)，OP"DC"AB\,故A不正確;

對于B,因?yàn)锳Cu平面AAGC,OF平面A41cC，O<t\C,尸住平面A41GC，所以直線AC與立線OP

一定是異面直線，故B正確；

對于C,因?yàn)锳4u平面4AGC,Oe平面44。。，。任4①，P把平面所以直線人斗與直線。尸

一定是異面直線，故C正確；

對于D,因?yàn)锳"u平面A"C,Oe平面A。。，。eAR,Pe平面A〃C,所以直線AR與直線OP一定

是異面直線，故C正確；

故選：BCD

4.（2022?重慶八中模擬預(yù)測）攢尖是中國傳統(tǒng)建筑表現(xiàn)手法，是雙坡屋頂形式之一，多用于面積不大的建

筑，如塔、亭、閣等，常用于圓形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圓攢尖和多邊形攢

尖.以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底

面所成的二面角為30。，側(cè)棱長為2近米，則該正四棱錐的（）

A.底面邊長為4米B.側(cè)棱與底面所成角的正弦值為立

7

C.側(cè)面積為646平方米D.體積為32立方米

【答案】BD

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件及正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求底面邊長、體高，再應(yīng)用棱錐的體積、表面積公式求表面積和體

積.

【詳解】

如圖，在正四棱錐尸-MCD中，0為底面ABCD的中心，E為8的中點(diǎn)，PE±CD,

設(shè)底面邊長為2a,正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°,

所以N尸EO=30°,則=OP=—a,PE=—a,

33

所以PE2+CE2=PC2,即京？+a2=28,可得“=26.

底面邊長為4旨米，A錯(cuò)誤；

側(cè)棱與底面所成角的正弦值為老=忌=當(dāng)，B正確；

側(cè)面積=kp￡xC￡>x4=326,C錯(cuò)誤；

2

體積U=gxPOxAB2=32,D正確.

故選：BD

p

5.（2022?福建廈門?模擬預(yù)測）已知正方形A3CD的邊長為1,以8。為折痕把折起，得到四面體

A'BCD,則（）

A.A'C±BDB.四面體A，88體積的最大值為也

4

C.￡48可以為等邊三角形D.△48可以為直角三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】

取80得中點(diǎn)為O,連接O4'=0C,可得BO_L平面。4'C,可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)。43平面BCD時(shí)，四面體

A'BCD體積的最大，且最大體積為丫=京,。。4,可判斷選項(xiàng)B；當(dāng)。4」平面58時(shí)，Q4UOC，

所以A'C=1,從而即可判斷：若△48為直角三角形，乂。C=D4'=1,則NA'DC=],由

OA:+OC=AC可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

解：取BD得中點(diǎn)為。，連接。4'=OC,由題意，BD1OA',BD1OC,且。4'cOC=O,

所以.平面OAC,所以8￡>_LA'C,故選項(xiàng)A正確；

當(dāng)。4」平面BCD時(shí)，四面體A'BCZ）體積的最大，且最大體積為

V=-5BCD-0A'=-x-xlx\x^=^,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤：

332212

當(dāng)平面BCO時(shí)，OA'IOC,所以AC=JOA”+OC?/叵|+f—=1,又。C=D4'=1,所

以此時(shí)△A'CD為等邊三角形，故選項(xiàng)C正確;

若△ACD為直角三角形，又DC=DA'=1,則NA'OC=1,

2

所以4c=0，此時(shí)O4'+0C=^+^=^=A'C，不滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，故選項(xiàng)D

22

錯(cuò)誤.

故選：AC.

6.（2022.廣東佛山?三模）如圖，若正方體的棱長為2,點(diǎn)"是正方體ABC。-481GA在側(cè)面BCQg上的

一個(gè)動點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)尸是A4的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.三棱錐P-DRM的體積為定值B.若石，則點(diǎn)〃在側(cè)面8CG用運(yùn)動路徑的長度為

2萬

C.若RMLDP,則的最大值為2五D.若RM上DP,則的最小值為竽

【答案】AD

【解析】

【分析】

對于A,三棱錐尸-"＞附的體積/一叫M=匕/“段，由已知得三角形PDD/的面積是定值，且點(diǎn)M到面

的距離是正方體的棱長，由此可判斷；對于B,過點(diǎn)尸作P。18與，由已知有點(diǎn)M的軌跡是以。為

圓心，1為半徑的半圓弧，根據(jù)圓的周長公式計(jì)算可判斷；對于C、D,過點(diǎn)尸作PQLB與，則點(diǎn)。是

8月的中點(diǎn)，連接。C,取BC的中點(diǎn)N,連接N。，AiN,AICI,由線面垂直的判定和性質(zhì)得點(diǎn)M的軌跡

是線段CN，解AAGM，可求得A"的最大值和最小值，由此可判斷C、D選項(xiàng).

【詳解】

解：對于A,三棱錐尸-ORM的體積匕=VM-PDD],

而因?yàn)辄c(diǎn)尸為AA的中點(diǎn)，所以三角形的面積是定值，且點(diǎn)M到面PDQ/的距離是正方體的棱長，

所以三棱錐的體積是定值，故A正確；

對于B,過點(diǎn)尸作PQLBS，則由正方體的性質(zhì)得PQL平面B8CC，所以PQLMQ,

又PM=舊,正方體的棱長為2,所以MQ=JPM°—PQ2=｛（可-2。=1,

所以點(diǎn)M的軌跡是以。為圓心，1為半徑的半圓弧，

所以點(diǎn)M在側(cè)面8CG片運(yùn)動路徑的長度為號=%，故B不正確;

對于C、D,過點(diǎn)P作尸瓦，則點(diǎn)。是8片的中點(diǎn)，連接QC,取8c的中點(diǎn)N,連接NO,AN,

AiCn

則QC7/P。，C、N工QC,

因?yàn)?"，。尸，所以RMJ.QC,OG_L平面所以AG?LQC,

又AGARM=。，所以QCJ_平面RGM,所以QC^GM,所以點(diǎn)M的軌跡是線段GN,

在AA￡M中，4G=20,GN=《NC2+CC；=石，AN=JW+AB2+BV=3,

所以A,M的最大值為3,故C不正確；

在AAG"中，cosNN」+陰-（2夜）=5所以sinNN=撞，

2x3x5/555

所以點(diǎn)A1到C1N有距離為1=4%4114%=3乂2叵=5叵，

所以AM的最小值為地，故D正確，

5

故選：AD.

7.（2022?河北張家口?三模）邊長為4代的正三角形A8C三邊A8、AC、BC的中點(diǎn)分別為。、瓦尸，將三角形

AOE沿。E折起形成四棱錐P-BCa,則下列結(jié)論正確的是（）

A.四棱錐P-8CE。體積最大值為6石

B.當(dāng)尸尸=2卡時(shí)，平面尸￡>尸_1_平面PEF

C.四棱錐尸-BCEA總有外接球

D.當(dāng)PBLCE時(shí)，四棱錐P-BCED外接球半徑有最小值后

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)錐體的體積公式判斷A,設(shè)。E、P尸的中點(diǎn)為O、H,連接OP,OF,0”,根據(jù)二面角的定義得到

NDHE是二面角O-PF-E的平面角，從而判斷B,再確定外接球的球心所在位置，即可判斷C、D；

【詳解】

解：當(dāng)平面PDEJ_平面BCE。時(shí)，體積最大，其最大值為：3?；（26+46>3=96，故A不正確.

設(shè)OE、PF的中點(diǎn)為O、”，連接。尸，OF,OH,■.■OP=OF=3,PH=HF=6:.OHrPF,且

OH=y/3=OD=OE.；.NDHE=90。,又YPFLDE,OH[}DE=O,平面

.?.尸尸,平面。"后,所以"HE是二面角。-PF—E的平面角，則平面PZ）F_L平面PEF,故B正確；

對于C,APDE為正三角形,過其重心作平面P￡>E的垂線//,則垂線//上任意一點(diǎn)到RD、E的距離都相

等，，；FB=FC=FD=FE=26,則過F垂直于平面8CEO的直線4上任意一點(diǎn)到8、C、E、D的距離均相

等，因?yàn)?/與/2均在平面POF內(nèi)，???//與/2相交，其交點(diǎn)即為外接球球心，故C正確;

由C知，當(dāng)。過F時(shí)，F(xiàn)即為球心，此時(shí)半徑最小為2g,故D不正確，

故選：BC

8.（2022?山東?肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）如圖，四棱錐S-ABC7）的底面為矩形，SOJ■底面45a）,

AD=a,DC=b,SD=2,且。+6=2,則下列結(jié)論中不氐硬的是（）

A.尸為線段SC上的點(diǎn)，則存在點(diǎn)P使得SA//平面8DP

B.A到平面SBC的距離有可能等于平

7T

C.S3與平面A8CO所成的角有可能等于丁

D.四棱錐的外接球的表面積的最小值是心

【答案】CD

【解析】

【分析】

根據(jù)線面平行的定義，點(diǎn)到平面的距離的定義，以及線面角和球的表面積公式，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得

到答案.

【詳解】

對于選項(xiàng)A,點(diǎn)P為線段SC的中點(diǎn)，記BO和AC的交點(diǎn)為。，則SA〃OP,

SA〃平面比*,故選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B,因?yàn)锳O//8C,故A￡）〃平面SBC,所以A到平面SBC的距離等于￡>到平面S3C的距離，

由BC1平面S0C,平面SDCJ?平面S8C,所以。到SC的距離即為。到平面S8C的距離，當(dāng)

SD=2,￡>C=1時(shí)，A到平面S3C的距離等于半，故選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C,角S3。是S2與平面ABC。所成的角，當(dāng)08=2時(shí)，線面角為:，此時(shí)小7壽=2,a+人=2,

方程組無正解，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D,四棱錐可以補(bǔ)成長方體，長方體的外接球的半徑為近運(yùn)亙，而邑占竺^=1，所

2V22

以外接球的半徑大于等于理，所以其表面積的最小值為

2

4］（乎）=6］，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：CD.

9.（2022?湖北?荊門市龍泉中學(xué)二模）如圖，已知二面角a-/-△的棱/上有A,8兩點(diǎn)，Cea,AC±l,

De/3,BDLI,若AC=/U?=8O=2,8=2及，則（）

A.直線AB與CD所成角的大小為45°

B.二面角￡-/-6的大小為60。

C.三棱錐4-88的體積為2G

D.直線CD與平面夕所成角的正弦值為"

4

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)異面直線所成角、二面角、線面角定義，在圖形中作出直線AB與CO所成角、二面角。一/一尸的平面

角、直線CO與平面夕所成角，結(jié)合已知條件計(jì)算判斷各項(xiàng)正誤.

【詳解】

過A作AE〃瓦）且AE=3￡>,連接則四邊形ABQE是平行四邊形，如圖,

所以DE//A8且￡）￡=M，故N8E是直線48與C。所成角或其補(bǔ)角，

因AC_L/,BD11,則。E_LAE,OEJ_AC,而A￡：nAC=A,

于是》E_L面AEC,CEu面AEC,則￡>EJ_CE,

i*ikcosZCD￡=—=—=—.則NCZ5E=45,A正確；

CDCD2

因5。，/,即AEJJ,而AC，/,則NC4E是二面角a-/一4的平面角，又CE=DE=2,

因此，CE=AE=AC=2,即AACE為正三角形，ZC4E=60,B正確；

因OEL面AEC,DEu/3,則/，面4EC,在面4EC內(nèi)過C作CO,AE于0,于是CO，6,

又C0=^AC=6，而S*ABD=；ABBD=2,

22

所以VA-BCD=VC-ABD=^CO-S.ABD='C錯(cuò)誤；

連接。。而CO，￡,則NCZJO是直線C。與力所成角，smZCDO=—=^=—,D正確.

CD2yli4

故選：ABD

10.（2022?山東臨沂?二模）如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，底面是邊長為2的正三角形，44,=3,點(diǎn)

例在B片上，且P為線段G"上的點(diǎn)，則（）

A.GM_L平面AMC

B.當(dāng)P為G"的中點(diǎn)時(shí)，直線AP與平面ABC所成角的正切值為遞

3

C.存在點(diǎn)P,使得CPLAM

D.存在點(diǎn)P,使得三棱錐P-40C的體積為邁

4

【答案】BD

【解析】

【分析】

A：假設(shè)GMJ?平面AMC,則可得AC_L平面BCCM，NAC5=90。與已知矛盾，從而判斷假設(shè)不成立；

B：取BC中點(diǎn)為M可證PML平面ABC,/BIN為AP與平面ABC所成角，解即可；C：假設(shè)

CPLAM,可得CPL平面AMN,C—AW,幾何圖形即可判斷假設(shè)不成立；D：假設(shè)匕…，=匕-/=

正,求出ACPM的面積，判斷△CPA/面積是否小于或等于△CMG面積即可.

4

【詳解】

對于A,假設(shè)GM，平面AMC,則￡ML4C,易知CR^AC,CC,nCXM=C,,故AC,平面BCGB」故

ACIBC,這與NACB=60。矛盾，故假設(shè)不成立，故A錯(cuò)誤；

對于B,當(dāng)P為G”的中點(diǎn)時(shí)，取8C中點(diǎn)為N,連接PMAN,

易知PN//CC,,CC,1.平面ABC,則PN_L平面ABC,

故NPAN即為AP與平面ABC所成角，

PN[(MB+CCJ如3)2上.

則VanZPAN=~^=耳-----=—忑—=~i~'故B正確;

—x2

2

對于C,取中點(diǎn)為N,連接4MNM,

由4V_LBC,AN_LCC,知AN_L平面BCC#,故AALLCP,

若CP_LAM,'：ANHAM=A,則CP_L平面ANN,則CP_LMN,

過C作CG〃MN交GM于G,則CPJ_CG,即NPCG=90。，易知NPCG不可能為90。，故不存在?使得

CPA.AM,故C錯(cuò)誤；

對于D,取8c中點(diǎn)為M連接AN,易知平面8CC百，AN=43,

361?..,_35/3?9

則^A-PMC'Swe,AN--^―nS.PMC

4

S《Me、=SBCC、MiS*CM=2'（Cq+BM>BC=—?BC-BM

1|I?Q

=5X（3+1）X2-5X2X1=3=I>S/MC=Z,

92c

故存在P使S,"=z時(shí)，?:棱錐尸-4WC的體積為”?，故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

本題充分考察空間里面的點(diǎn)線面位置關(guān)系，判斷選項(xiàng)ACD時(shí)都可以采用假設(shè)存在P點(diǎn)滿足條件，然后結(jié)

合幾何關(guān)系推出與已知條件矛盾或不矛盾的結(jié)論，從而作出判斷；選項(xiàng)B考察空間里面直線和平面的夾

角，根據(jù)幾何關(guān)系可作出輔助線解決問題即可.

11.（2022?山東臨沂?模擬預(yù)測）如圖，在五棱錐P-ABCOE中，叫_L平面相8￡,

AB//CD,AC//ED,AE//BC,NABC=45,AB=2夜,8C=2AE=4,ZXPAB是等腰三角形.則

A.平面尸C￡)_L平面PAC

B.直線尸8與平面PC。所成的角為的大小為60°

C.四棱錐P-ACDE的體積為YZ

3

D.四邊形ACDE的面積為3

【答案】AD

【解析】

【分析】

在AA8c中，利用勾股定理證得AB,AC,又由24,平面ABCDE,證得%_L/W,進(jìn)而證得A8_L平面

PAC,得到CC平面R4C,可判定A正確；過點(diǎn)A作AH_LPC于點(diǎn)H,證得AH_L平面PCD,結(jié)合

A8//平面PC。，得到B到平面PC￡>的距離a=2,結(jié)合線面角的定義法，可判定B不正確：由CO,平面

PAC,得到8_LAC,得出四邊形A8E為直角梯形，結(jié)合梯形的面積公式和錐體的體積公式，可判定

C不正確，D正確.

【詳解】

因?yàn)镹ABC=45,AB=2"BC=4,

由余弦定理可得AC?=(2近產(chǎn)+42-2-2忘x4cos45=8,所以AC=2夜，

所以4B2+AC2=BC2,所以A8_LAC,

又由PA_L平面AB8E,ABI平面ABCDE,所以

因?yàn)镻AnAC=A,所以平面PAC,

又因?yàn)锳8〃C￡>,所以8,平面PAC,

因?yàn)镃"u平面PCD,所以平面PC￡>_L平面尸AC,所以A正確；

過點(diǎn)A作AH_LPC于點(diǎn)//,

因?yàn)槠矫鍼CDJ_平面PAC,且平面P8CI平面A4C=PC,所以A”_L平面PCD,

又因?yàn)?3〃CD,ABz平面PC。，所以AB//平面PC。，

所以點(diǎn)A到平面PC。的距離等于點(diǎn)8到平面PC。的距離，

在直角△R4C中，可得A//=2,即8到平面PCO的距離力=2,

h21

設(shè)直線尸8與平面PC。所成的角為。，可得sin，=e=a=§,

又由0°<"90°,所以。=30"，所以B不正確;

由Cr>J_平面PAC,可得8,AC,

因?yàn)锳C〃￡>E,所以四邊形ACDE為直角梯形，其面積為S=:（及+20）x夜=3,

2

所以四棱錐P-ACDE的體積為V=gx3*2忘=20,所以C不正確，D正確.

故選：AD.

12.（2022?福建龍巖?模擬預(yù)測）正多面體也稱帕拉圖立體，被喻為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由

一種正多邊形構(gòu)成（各面都是全等的正多邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成的二面角都

相等）.某中學(xué)在勞動技術(shù)課上，要求學(xué)生將一個(gè)近似正八面體的玉石切制成如圖所示的棱長為2的正八面

體P-ABCD-Q（其中E、F、”分別為孫，PB,8C的中點(diǎn)），則（）

A.AP與C。為異面直線

B.平面平面PCD

C.經(jīng)過E、F、H的平面截此正八面體所得的截面為正六邊形

D.此正八面體外接球的表面積為8兀

【答案】CD

【解析】

【分析】

對于選項(xiàng)A,根據(jù)圖像的共面可以得出該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B,求出兩個(gè)平面的二面角證明二面角不是90度即可得出結(jié)論；

對于選項(xiàng)C,根據(jù)中位線定理證明相等關(guān)系，即可證明該截面為正六邊形：

對于選項(xiàng)D,根據(jù)外接球的直徑，代入公式S=4萬箱即可.

【詳解】

對于A選項(xiàng)，由多面體的對稱性知，A,B,C,Z）四點(diǎn)共面，

又因?yàn)镻A=AQ=QC=CP,

結(jié)合PQ^AC,

所以四邊形以C。是正方形，

所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)，設(shè)A8中點(diǎn)為N,CO中點(diǎn)為M,

則ZNPM為平面PAB和平面PCD的二面角，

NP=d*-f=6,MP=4個(gè)-fNM=2

所以代尸+M尸KN”,

所以平面PAB和平面PCD的二面角不為直角，

所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C,設(shè)QC,CD,D4的中點(diǎn)分別為J,K,L,順次連接E,F,H,J,K,L,E,

根據(jù)中位線定理能夠得到EF=FH=HJ=JK=KL=LE,

所以經(jīng)過E、尺H的平面截此正八面體所得的截面為正六邊形，

故選項(xiàng)C正確；

對于選項(xiàng)D,根據(jù)題意，外接球的直徑為萬港=2&，

所以外接球的半徑為0,

表面積5=4乃/?2=8%,

故該選項(xiàng)正確.

故選：CD.

13.（2022?遼寧鞍山?二模）如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體ABC。一A4GR的表面上一個(gè)動點(diǎn)，則

()

A.當(dāng)P在平面BCG瓦上運(yùn)動時(shí)，四棱錐P一明的體積不變

B.當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動時(shí)，RP與AC所成角的取值范圍是[?,y]

C.使直線AP與平面ABC。所成的角為45。的點(diǎn)尸的軌跡長度為萬+40

D.若尸是A耳的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面ABC。上運(yùn)動，且滿足PF//平面BCA時(shí)，長度的最小值是否

【答案】ABC

【解析】

【分析】

A選項(xiàng)，考慮底面積和高均未變，所以體積不變；B選項(xiàng)，找到異面直線所成角即可判斷；

C選項(xiàng)，找到P的軌跡，計(jì)算即可；D選項(xiàng)，找到P的軌跡，計(jì)算即可.

【詳解】

A選項(xiàng)，底面正方形9DQ的面積不變，尸到平面的距離為正方體棱長，故四棱錐「一⑨口。的體

積不變，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，。，與AJ所成角即QPh/AC所成角，當(dāng)P在端點(diǎn)A,C時(shí)，所成角最小，%,當(dāng)尸在AC

TT

中點(diǎn)時(shí)，所成角最大，為g,故B選項(xiàng)正確；

2

C選項(xiàng)，由于P在正方體表面，P的軌跡為對角線40,ADt,以及以4為圓心2為半徑的;圓弧如圖，

4

故尸的軌跡長度為萬+40,C正確；

D選項(xiàng)，F(xiàn)P所在的平面為如圖所示正六邊形，故尸尸的最小值為幾，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

14.（2022?廣東?二模）在所有棱長都相等的正三棱柱中，點(diǎn)4是三棱柱的頂點(diǎn)，M,N、Q是所在棱的中

點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中直線4。與直線MN垂直的是（）

【答案】AC

【解析】

【分析】

建一M司『L角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求貓AO.M/VI。坐:林，汁片A&mV.用:用刃版A.B.C.D

的正誤.

【詳解】

所有棱長都相等的正三棱柱中，點(diǎn)A是三棱柱的頂點(diǎn)，M,N、。是所在棱的中點(diǎn),故可設(shè)棱長為2,在正

三棱柱中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

對于A,A(6,O,O),Q(O,O,O),M(O,1,1),N(O,O,2),

故雙=(-G,o,o),麗=(o,-i,i),

則福?麗=(->/IO,OA(O,-l,l)=O，故而JL麗，即AQ_LMN,故A正確;

對于B,40,1,0）,。（字卷2）,用440）”吟；,0），

,,——V33——

故AQ=(，,-],2),AW=(0,1,0),

則而?麗=(*,-|,2)-(0,1,0)=-|,故4。,〃義不垂直，故B不正確;

對于C,A(>/3,0,0),0(0,1,1),M(0,-1,1),N(y-,-12),

故而而v,=(三，5，1),

則而.麗=(-0,1,1).(且」,1)=0,故而_1_加，即AQJ-MN,故C正確;

22

對于D,A(0,1,0),Q(~~5~>2),Af,0),AT(0,—1,1),

2222

故彳0=(半，-：,2),〃M=(一咚,-；,1),

2222

則入河=(立,-±2)?(-立,-',1)=2,故AQ,MN不垂直，故D不正確；

2222

故選：AC

15.（2022?海南?？?模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，AA]=2AB=2AD,E,尸分別是棱

CR,CG的中點(diǎn)，則（）

A.ABDF是等邊三角形B.直線AE與BF是異面直線

C.A尸1平面8。尸D.三棱錐A-45。與三棱錐A-FOB的體積相等

【答案】AC

【解析】

【分析】

A選項(xiàng)可根據(jù)幾何關(guān)系求三角形的各個(gè)動長進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)證點(diǎn)4,E,B,尸四點(diǎn)共面得出矛盾；C選

項(xiàng)證AFLOF,AFLBF線線垂直，可得線面垂直；D選項(xiàng)點(diǎn)A與點(diǎn)尸到平面AO8的距離不相等，即

是高不相等，體積也不會相等.

【詳解】

對于A,設(shè)A8=l,則8。=8尸=。尸=&,故△8。尸是等邊?:角形，A正確；

對于B,連接EF、如圖所示：

易知EF,故點(diǎn)A，E,B,尸共面，B錯(cuò)誤；

對于C,設(shè)AB=1,則后，DF=6,4/=百，所以尸+4尸

所以

同理可知A尸，8尸，又因?yàn)椤?所以?平面3CE故C正確;

對于D,三棱錐A-AB。與三棱錐有公共的面AQB,

若要它們的體積相等，則點(diǎn)A與點(diǎn)F到平面AQB的距離相等，這顯然不成立，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

16.（2022?山東?肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）如圖，正方體ABCD-ABCQ的棱長為2,線段BQ上

有兩個(gè)動點(diǎn)E，F(xiàn),且EF=6,以下結(jié)論正確的有（）

A.EJFAB=2

B.正方體ABCD-4田心。體積是三棱錐A-BEF的體積的6倍

C.&C1AE

D.異面直線AE,8尸所成的角為定值

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)量積的定義判斷A,根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算即可判斷B,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷C,利用特殊

點(diǎn)判斷D；

【詳解】

解：對于A選項(xiàng)，易知。NCQ國=45。,所以喬.福=0、28$45。=2,所以A正確；

對于B項(xiàng)，連接8。交AC于點(diǎn)0,則ACL5。，又。?平面ABCD,ACu平面ABCD,

所以。QLAC,BDCDD、=D,BD,DRu平面DRB]B,所以4C_L平面?！辏﹥?nèi)8,

所以三棱錐A-BEF的體積匕8FF=-SAO=---EF-AB-BB,-sin45°=-x-xy/2x2x2x^=-,

…3皿3213223

所以正方體AB8-A5GR體積是三棱錐A-跳戶的體積的12倍，所以B錯(cuò)誤；

對于C項(xiàng),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則C（0,0,0）,A（2,2,2）,A（2,2,0）,R（2,0,2）,旦（0,2,2）,

所以小=（2,2,2）,碣=（0,—2,2）,福=（一2,0,2）,

所以玄?通;=0,區(qū)?福=0,GPC^lADf,C\±AB{,

因?yàn)锳RcAq=A,AA,44u平面ABQ,

所以AC,平面A8Q,而AEu平面A8Q,所以4＜，他，所以C正確;

對于D項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)E在。處，尸為〃片的中點(diǎn)時(shí)，異面直線4旦8廠所成的角是/FBG，

當(dāng)E在。4的中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)在耳的位置，異面直線AE,BF所成的角是NE44,顯然兩個(gè)角不相等，所以D

錯(cuò)誤；

故選：AC.

17.（2022?江蘇鹽城?三模）如圖，在棱長為2的正方體ABCO-ABGR中，點(diǎn)M在線段BG（不包含端

點(diǎn)）上，則下列結(jié)論正確的是（）

A.三棱錐R-AMC的體積隨著點(diǎn)M的運(yùn)動而變化

B.異面直線AM與AR所成角的取值范圍是（衿

C.直線A"〃平面ACR

D.三棱錐M-ACR的外接球表面積的最小值為3學(xué)ITT

【答案】BC

【解析】

【分析】

對于A選項(xiàng)，連接AR,由BG〃平面AC",即直線BG上任意點(diǎn)到平面ACR的距離相等;

對于B選項(xiàng)，VAB0為正三角形，則當(dāng)且僅當(dāng)M在Bq中點(diǎn)時(shí)，AtM±BCt,即可判斷;

對于C選項(xiàng)，證明A8G〃平面4cA即可,

對于D選項(xiàng)，當(dāng)M為Bq中點(diǎn)時(shí)，外接球半徑最小，計(jì)算即可.

【詳解】

對于A選項(xiàng)，因?yàn)锽G〃AA，所以8cl〃平面ACQ,所以%一AMC=?TS，為定值，即A錯(cuò)誤;

對于B選項(xiàng)，因?yàn)閂ABG為正三角形，AM與BG所成角的范圍為（全5,即B正確；

對于C選項(xiàng)，易知，AGII4C,ADt//BCt,AG?BQC,,AC\ADt=A,則平面〃平面AC。，

可知AMu平面ABC-AM〃平面ACQ,即C正確：

對于D選項(xiàng)，易知當(dāng)”為BQ中點(diǎn)時(shí)，外接球半徑最小，

3

此時(shí)設(shè)△ACA的中心為p,VA/G的中心為。，BG的中點(diǎn)為T，

則PA=半，PQ=竽，（27=半，則易知PT=J（竽）+（用＜PA，

所以最小球即為以P為球心，半徑/?=上4=偵，表面積S=4乃叱=亭，即D錯(cuò)誤.

33

故選：BC

18.（2022?遼寧?模擬預(yù)測）在三棱錐ABC中，底面ABC是等邊三角形，MC=4,點(diǎn)”為的

垂心，且47,側(cè)面MBC,則下列說法正確的是（）

A.BC±AM

B.MCJL平面ABH

C.MA,MB,互不相等

D.當(dāng)三棱錐M-ABC的體積最大時(shí)，其外接球的體積為36信

【答案】AB

【解析】

【分析】

對于A,延長交8c于點(diǎn)。，連接4力，由線面母直的性質(zhì)可判斷；對于B,連接并延長交MC于

點(diǎn)E,連接AE,由線面垂直的判定可判斷；對于C,過M作欣垂足為。，則MOJ■平面A8C,

延長CO交A8丁點(diǎn)F,連接MF,可得M4=M8=MC,由此可判斷；對于D,由三棱錐為正三

棱錐，得M8_LA7C時(shí)，的面積最大，平面MBC時(shí)，三棱錐A8C的體積最大，將三棱

錐A-MBC補(bǔ)成正方體AfiFG-M8DC,求得三棱錐A-MBC的外接球半徑R,由球體的體積公式計(jì)算可

判斷.

【詳解】

解：對于A,如圖，延長交8c于點(diǎn)。，連接AD,

因?yàn)?，為△A/BC的垂心，則BC_LM￡）,

又A”J_平面MBC,BCu平面M8C,所以

乂AHcMD=H'所以BC_L平面M4。，

又A”u平面M4Q,所以BC_LAM,A項(xiàng)正確；

對于B,因?yàn)?CLAD,又AABC為等邊三角形，所以。為BC的中點(diǎn),

連接8〃并延長交于點(diǎn)E,連接AE,則BE1MC,

因?yàn)?7JL平面M3C,MCu平面M8C,所以A4_LMC,

又AHCBE=H,所以MCL平面A8”，B項(xiàng)正確；

對于C,因?yàn)锳8i平面A8E,所以48八MC,過M作MO_LA￡）,垂足為。，則MO_L平面A8C,

又平面ABC,所以MO_LAB,延長CO交AB于點(diǎn)F,連接MF,

因?yàn)镸OcMC=M,所以AB_L平面MCF,因?yàn)镸F,CFu平面MCF,則CF1AB,得

所以M4=MB=MC,C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于D,因?yàn)槿忮FM-ABC為正三棱錐，當(dāng)AIBLMC時(shí)，△1/BC的面積最大，

'與陰4_1_平面MBC時(shí)，三棱錐M-ABC的體積最大，將三棱錐A-MBC補(bǔ)成正方體AEFG-MBDC,

此時(shí)正方體AEFG-MBDC的體對角線長即為三棱錐A-MBC的外接球的直徑，

設(shè)三棱錐A-MBC的外接球直徑為2R,則2R=《MA1+MB?+MC?=46，即R=2行，

因此三棱錐M-ABC的外接球的體積V=等"=yx（2^）3=32上兀,D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB.

19.（2022?山東濱州?二模）在邊長為4的正方形ABC。中，如圖1所示，E,F,M分別為BC,CD,BE

的中點(diǎn)，分別沿AE,A尸及EF所在直線把△AEB,VAFD和△￡：;（折起，使B,C,力三點(diǎn)重合于點(diǎn)P,

得到三棱錐P-田，如圖2所示，則下列結(jié)論中正確的是（）

ME

圖1

A.PAA.EF

B.三棱錐AEF的體積為4

C.三棱錐P-AEF外接球的表面積為24萬

D.過點(diǎn)M的平面截三棱錐P-的的外接球所得截面的面積的取值范圍為［%,6加

【答案】AD

【解析】

【分析】

將三棱錐補(bǔ)形為邊長為2,2,4的長方體，對A：由AP_L平面P研即可判斷；對B：由%r所=g%r肝即

可求解；對C：三棱錐P-A防外接球即為補(bǔ)形后長方體的外接球，從而即可求解；對D：由最大截面為

過球心。的大圓，最小截面為過點(diǎn)M垂直于球心。與M連線的圓即可求解.

【詳解】

解：由題意，將三棱錐補(bǔ)形為邊長為2,2,4的長方體，如圖所示：

A

對A：因?yàn)锳P1.PE，APA.PF,PECPF=P,所以平面尸所，所以E4_L￡F,故選項(xiàng)A正確；

對B：因?yàn)镸為BE的中點(diǎn)，所以乙_“￡〃=3匕5即=3*;*3*2*2、4=?,故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

對C：三棱錐尸-AE尸外接球即為補(bǔ)形后長方體的外接球，所以外接球的直徑（2R）2=22+22+4?=24,所

以三棱錐P-AE尸外接球的表面積為S=4%R2=24萬，故選項(xiàng)C正確；

對D：過點(diǎn)M的平面截三棱錐尸-g的外接球所得截面為圓，其中最大截面為過球心。的大圓，此時(shí)截

面圓的面積為萬心=萬（太『=6"，最小截面為過點(diǎn)M垂直于球心。與M連線的圓，此時(shí)截面圓半徑

r=yjR2-OM2=^/6^5=b截面圓的面積為萬產(chǎn)="，所以過點(diǎn)M的平面截三棱錐P-但的外接球所得

截面的面積的取值范圍為［肛6乃］,故選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

20.（2022?山東濟(jì)南?二模）在棱長為1的正方體A8CD-AAGR中，E,F,G分別為線段cq,CD,CB

上的動點(diǎn)（E,F,G均不與點(diǎn)C重合），則下列說法正確的是（）

A.存在點(diǎn)E,F,G,使得AE，平面EFG

B.存在點(diǎn)E,F,G,使得NFEG+NEFC+NEGC=乃

C.當(dāng)AC,平面E/G時(shí)，三棱錐A-EFG與CEFG體積之和的最大值為3

D.記CE,CF,CG與平面EFG所成的角分別為a,夕，Y,則sin?a+sin?￡+sin2/=1

【答案】ACD

【解析】

【分析】

以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CF=a,CG="CE=c,(a,"c€(O,l]),對于A,當(dāng)班＞〃尸G時(shí)，易

證得FG^AE,則要使AE_L平面EFG,只需AEJ.EF即可，利用向量法即可得出結(jié)論；對于B,要使

NFEG+NEFC+NEGC=兀,只需要NEEG=NFEC+NGEC即可，判斷NFEG和NFEC+NGEC是否相

等，即可；對于C,根據(jù)AC，平面EFG,可得。力，。的關(guān)系，由匕一EFG+%-EFG=；ACS,E?;，只要求出

久痔。的最大值即可；對于D,利用等體積法求出C到平面E尸G的距離d,分別求出sina,sin/?,siny,即

可判斷.

【詳解】

解：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)C7:^=a,CG=6,CE=G(a,b,cw(0,lD，

對于A,因?yàn)槲?，平面ABCD,8/)u平面A8CD，

所以AA

又因AC_LBO,4CcAA=4,

所以BO_L平面A4,CC，

又AEu平面MG。，所以8。，4盧，

當(dāng)5O/FG時(shí)，F(xiàn)GA.A.E,此時(shí)CF=CG,

要使AE，平面EFG,只需AELEF即可，

A(l,O,l),F(O,l-a,O),E(O,l,c),

則“=(—而=(0,-a,-c),

2

則庭?喬=-a—c(c—1)=0,BPa=c-c.

當(dāng)a=1時(shí)，c=(，

42

故存在點(diǎn)E,F,G,使得AE_L平面EFG,故A正確；

對于B,NEFC=--NFEC,NEGC=--NGEC,

22

則NFEG+NEFC+NEGC=兀+NFEG-ZFEC—NGEC,

要使ZFEG+ZEFC+ZEGC=乃.

只需要NFEG=NFEC+NGEC即可,

EF=y/a2+c2,EG=>Jb2+c2,FG=y/a2+b2，

a2+c2+b2+c2_(/+Z?2)2

cosZ.FEG=c

2耳+「2.“2+。2y/a2+C2'J從+/

cos/.FEC=二-,cosZ.GEC=:——,

7^774h^

則sinZFEC=-fJ==,sinZGEC=-^==,

7CT+C\!b+C~

2i

故cos(Z.FEC+ZGEC)=/。\,

因?yàn)榍?gt;0,所以COS(NFEC+NGEC)X8SNFEG,

所以ZFEG*NFEC+NGEC,

所以不存在點(diǎn)E,F,G,使得NFEG+N￡FC+NEGC=/r,故B錯(cuò)誤;

對于C,因?yàn)?cl平面EFG,

所以V4_eTO+VC_￡TO=-AC-S：=-ySMG,

A(l,0,l),F(0,l-a,0),E(0,1,C),G(Z7,1,0),C(0,1,0),

則而=0,a,O